高考数学压轴题解题技巧和方法

1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如： （1）)0( 12222babyax与直线相交于a、b，设弦ab 中点为m(x0,y0)，则有02020kbyax。（2）)0, 0(12222babyax与直线 l 相交于 a、b，设弦 ab中点为 m(x0,y0) 则有02020kbyax（3）y2=2px（p0）与直线 l 相交于 a、b设弦 ab中点为 m(x0,y0), 则有

2、2y0k=2p,即 y0k=p. 典型例题给定双曲线xy2221。 过 a （2， 1） 的直线与双曲线交于两点p1及p2，求线段p1p2的中点 p的轨迹方程。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点p，与两个焦点f1、f2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设 p(x,y) 为椭圆xayb22221上任一点，fc10(, )，fc20( , )为焦点，pf f12，pf f21。（1）求证离心率sinsin)sin(e；（2）求|pfpf1323的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、

3、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程，直线与 轴的交点在抛物线准线的右边。yp xpxytx210() ()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为a、b，且 oa ob ，求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值

4、不等式）求最值。（1） ，可以设法得到关于a 的不等式， 通过解不等式求出a 的范围，即： “求范围，找不等式 ” 。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（ 2）首先要把 nab的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值, 即：“最值问题，函数思想” 。最值问题的处理思路： 1 、建立目标函数。 用坐标表示距离， 用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y 的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线 y2=2px(p

5、0) ，过 m （a,0 ）且斜率为1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点 a、b，|ab| 2p （1）求 a 的取值范围；（2）若线段 ab的垂直平分线交x 轴于点 n，求 nab面积的最大值。（5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线 l 过原点，抛物线c 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点a （-1，0）和点 b（0，8）关于 l 的对称点都在c上，求直线 l 和抛物线 c的方程。2曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点q （2，0）和圆 c：x2+y2=1, 动点 m到圆 c 的切线长与 |mq|的比等于常数（0）,

6、求动点 m的轨迹方程，并说明它是什么曲线。（6） 存在两点关于直线对称问题m n q o 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题已知椭圆c 的方程xy22431，试确定m 的取值范围，使得对于直线yxm4，椭圆 c上有不同两点关于直线对称（7）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kkyyxx1212121来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题已知直线l的斜率为k，且过点p(, )2 0，抛物线c yx:()241，直线l与抛物线 c有两个不同的交点（

7、如图） 。（1）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角为何值时， a、b与抛物线 c的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题设直线340 xym与圆xyxy2220相交于 p、q两点，o为坐标原点，若op oq，求m的值。（2） 充分利用韦达定理及“设而不求

8、”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点o，焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于 p、q两点，且op oq，|pq102，求此椭圆方程。（3） 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆cxyxy122420：和cxyy22224：0 的交点，且圆心在直线l：2410 xy上的圆的方程。（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。典型例题p为椭圆22221xyab上

9、一动点， a为长轴的右端点， b为短轴的上端点，求四边形 oapb 面积的最大值及此时点p的坐标。（5）线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地， 求直线与圆锥曲线相交的弦ab长的方法是： 把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的两根设为xa，xb，判别式为，则|abkxxab12|12ak，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例求直线xy10被椭圆xy22416所截得的线段ab的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例f1、f2是

10、椭圆xy222591的两个焦点， ab是经过f1的弦，若|ab8，求值|22bfaf 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例点 a （3，2）为定点，点 f 是抛物线yx24的焦点，点 p在抛物线y24x上移动，若| |papf取得最小值，求点p的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率tan,0,)k点到直线的距离0022axbycdab夹角公式：2121tan1kkk k（3）弦长公式直线ykxb上两点1122(,),(,)a xyb xy间的

11、距离：2121abkxx221212(1)()4kxxx x或12211abyyk（4）两条直线的位置关系1212llk k=-1 212121/bbkkll且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)xymnmnmn且距离式方程：2222()()2xcyxcya参数方程：cos ,sinxayb(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)xym nmn距离式方程：2222|()()| 2xcyxcya(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21ff 、是椭圆13422yx的两个焦点，平面内一个

12、动点m 满足221mfmf则动点 m 的轨迹是（）a、双曲线； b、双曲线的一支； c、两条射线； d、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：122tan2f pfpb在椭圆上时， s（其中2221212121212|4,cos,|cos| |pfpfcf pfpfpfpfpfpfpf?uu u ruuu u ruuu ru uu u r）(6)、记住焦半径公式：（1）00;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减” 。（2）0|xe xa双曲线焦点在轴上时为（3）11|,|22ppxxy抛物线焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为(6)、椭圆和双曲线的基本量三

13、角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设11, yxa、22,yxb，bam,为椭圆13422yx的弦ab中点则有1342121yx，1342222yx；两式相减得03422212221yyxx3421212121yyyyxxxxabk=ba432、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程， 并且与曲线的方程联立， 消去一个未知数， 得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)a xyb xy， 将这两点代入曲线方程得到12 两个式子，然后1-2 ，整体消元

14、 ，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点a、b、f 共线解决之。若有向量的关系， 则寻找坐标之间的关系， 根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着 k 存在。例 1、已知三角形 abc 的三个顶点均在椭圆805422yx上，且点 a 是椭圆短轴的一个端点（点a 在 y 轴正半轴上） . （1）若三角形 abc 的重心是椭圆的右焦点，试求直线bc 的方程; （2）若角 a 为090，ad 垂直 bc于 d，试求点 d 的轨迹方程 . 分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦bc 的斜率，从而写出直线bc 的方程

15、。第二问抓住角a 为090可得出 abac，从而得016)(14212121yyyyxx， 然后利用联立消元法及交轨法求出点d 的轨迹方程；解： （1）设 b （1x,1y） ,c(2x,2y),bc中点为(00, yx),f(2,0) 则有11620,1162022222121yxyx两式作差有016)(20)(21212121yyyyxxxx04500kyx(1) f(2,0)为三角形重心，所以由2321xx，得30 x，由03421yy得20y，代入（ 1）得56k直线 bc 的方程为02856yx2)由 abac 得016)(14212121yyyyxx（2）设直线 bc 方程为805

16、4,22yxbkxy代入，得080510)54(222bbkxxk2215410kkbxx，222154805kbxx2222122154804,548kkbyykkyy代入（ 2）式得0541632922kbb，解得)(4 舍b或94b直线过定点（ 0，)94，设 d（x,y） ，则1494xyxy，即016329922yxy所以所求点 d 的轨迹方程是)4()920()916(222yyx。4、设而不求法例 2、 如图，已知梯形 abcd 中cdab2， 点 e 分有向线段ac所成的比为， 双曲线过 c、 d、 e 三点，且以 a、 b 为焦点当4332时，求双曲线离心率e的取值范围。分析

17、：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xoy，如图，若设 chc,2，代入12222byax，求得hl，进而求得,eexyll再代入12222byax，建立目标函数( , , ,)0f a b c，整理( ,)0f e，此运算量可见是难上加难 .我们对h可采取设而不求的解题策略, 建立目标函数( , , ,)0f a b c，整理( ,)0f e,化繁为简 . 解法一：如图，以ab 为垂直平分线为y轴，直线 ab 为x轴，建立直角坐标系xoy，则 cdy轴因为双曲线经过点c、d，且以 a、b 为焦点，由双曲线

18、的对称性知c、d 关于y轴对称依题意，记 a0, c，chc,2，e00, yx，其中|21abc为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得122120cccx，10hy设双曲线的方程为12222byax，则离心率ace由点 c、e 在双曲线上，将点c、e 的坐标和ace代入双曲线方程得14222bhe，11124222bhe由式得14222ebh，将式代入式，整理得214442e，故1312e由题设4332得，43231322e解得107e所以双曲线的离心率的取值范围为10,7分析：考虑,aeac为焦半径 ,可用焦半径公式 , ,aeac用,e c的横坐标表示，回避h的计算 , 达

19、到设而不求的解题策略解法二：建系同解法一，,ecaeaexacaex，22121ecccx，又1aeac，代入整理1312e，由题设4332得，43231322e解得107e所以双曲线的离心率的取值范围为10,75、判别式法例 3 已知双曲线122:22xyc，直线l过点0 ,2a，斜率为k，当10k时，双曲线的上支上有且仅有一点b 到直线l的距离为2，试求k的值及此时点 b的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点b 作与l平行的直线，必与双曲线c 相切. 而相切的代数

20、表现形式是所构造方程的判别式0. 由此出发，可设计如下解题思路：10)2(:kxkyl解题过程略 . 分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 b 到直线l的距离为2” ， 相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：简解：设点)2,(2xxm为双曲线 c上支上任一点，则点m 到直线l的距离为：把直线l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式0直线l在l的上方且到直线l的距离为2转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程10212222kkkxkx有唯一于是，问题即可转化为如上关于x的方程 . 由于10k，所以kxxx22，从而有于是关于x

21、的方程由10k可知：方 程022)1(22)1(22122222kkxkkkxk的二 根 同 正， 故02) 1(22kxkk恒成立，于是等价于022)1(22) 1(22122222kkxkkkxk. 由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得552k. 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性 . 例 4 已知椭圆 c:xy2228和点 p（4，1） ，过 p 作直线交椭圆于a、b 两点，在线段 ab 上取点 q，使appbaqqb，求动点 q 的轨迹所在曲线的方程 . 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手

22、。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的 . 由于点),(yxq的变化是由直线 ab 的变化引起的， 自然可选择直线ab 的斜率k作为参数，如何将yx,与k联系起来？一方面利用点q 在直线 ab 上；另一方面就是运用题目条件：appbaqqb来转化 .由 a、b、p、q 四点共线，不难得到)(82)(4bababaxxxxxxx，要建立x与k的关系，只需将直线ab 的方程代入椭圆c 的方程，利用韦达定理即可. 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数

23、. 在得到kfx之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于yx,的方程（不含k） ，则可由1)4(xky解得41xyk，直接代入kfx即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设),(),(,2211yxqyxbyxa，则由qbaqpbap可得：xxxxxx212144，解之得：)(82)(4212121xxxxxxx（1）设直线 ab 的方程为：1)4(xky，代入椭圆 c的方程，消去y得出关于x 的一元二次方程：08)41 (2)41(412222kxkkxk（2）.128)41(2,12) 14(42221221kkxxkkkxx代入（1） ，化简得：.234k

24、kx(3) 与1)4(xky联立，消去k得：.0)4(42xyx在（2）中，由02464642kk，解得41024102k，结合（ 3）可求得.910216910216x故知点 q 的轨迹方程为：042yx（910216910216x）. 点评：由方程组实施消元 ，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参 .，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道 . 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点 q满足直线 ab的方程：y = k (x4)+1 ，消去参数点 q的轨迹方

25、6、求根公式法例 5 设直线l过点 p （0，3） ，和椭圆xy22941顺次交于 a、b 两点，试求appb的取值范围 . 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：appb=baxx， 但从此后却一筹莫展 , 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析 1:从第一条想法入手，appb=baxx已经是一个关系式，但由于有两个变量baxx ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3 个变量直线ab的斜率k. 问题就转化为

26、如何将baxx ,转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出 . 简解 1：当直线l垂直于 x 轴时，可求得51pbap; 当l与 x 轴不垂直时，设)(,2211yxbyxa，直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk解之得.4959627222,1kkkx因为椭圆关于 y 轴对称，点 p 在 y 轴上，所以只需考虑0k的情形 . 当0k时，4959627221kkkx，4959627222kkkx，所以21xxpbap=5929592922kkkk=59291812kkk=25929181k.

27、 由049180)54(22kk, 解得952k，所求量的取值范围把直线l的方程y = kx+3 代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xa= f（k） ，xb = g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式ap/pb = （xa / 由判别式得出k的取值范围所以51592918112k，综上511pbap. 分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到： 判别式往往是产生不等的根源 . 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来 . 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21xxpbap不是关于

28、21,xx的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了， 即我们可以构造关于21, xx的对称关系式 . 简解 2：设直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk（*）则.4945,4954221221kxxkkxx令21xx，则，.20453242122kk在（*）中，由判别式,0可得952k，从 而 有5362045324422kk， 所 以536214， 解 得551. 结合10得151. 综上，511pbap. 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法， 均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的

29、角把直线l的方程y = kx+3 代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xa+ xb = f（k） ，xa xb = g（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理ap/pb = （xa / xb）由判别式得出k的取值范围度入手，给出又一优美解法. 解题犹如打仗， 不能只是忙于冲锋陷阵， 一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知着，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里. 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据， 选择

30、恰当的解题方法， 达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。在推理过程中， 必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例 6 椭圆长轴端点为ba,，o为椭圆中心，f为椭圆的右焦点，且1fbaf，1of（）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为m，直线l交椭圆于qp,两点，问：是否存在直线l，使点f恰为pqm的垂心？若存在，求出直线l的方程 ;若不存在，请说明理由。思维流程：（）（）消元解题过程：写出椭圆方由1affb?uuu ruu u r，()()1ac ac，1c由 f 为pqm的重两 根

31、之得出关于解出 m （）如图建系，设椭圆方程为22221(0)xyabab,则1c又1fbaf即22() ()1acacac，22a故椭圆方程为2212xy（）假设存在直线l交椭圆于qp,两点，且f恰为pqm的垂心，则设1122(,),(,)p x yq xy，(0,1),(1,0)mf，故1pqk，于是设直线l为yxm，由2222yxmxy得，2234220 xmxm12210(1)(1)mp fqx xyyuuu r uuu r又(1,2)iiyxm i得1221(1)()(1)0 x xxm xm即212122()(1)0 x xxxmmm由韦达定理得解得43m或1m（舍）经检验43m符

32、合条件点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零例 7、已知椭圆e的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过( 2,0)a、(2,0)b、31,2c三点（）求椭圆e的方程：（）若点d为椭圆e上不同于a、b的任意一点，( 1,0),(1,0)fh， 当dfh内切圆的面积最大时，求dfh内心的坐标；思维流程：（）（）由椭圆经过a、b、c设方程为122nymx得 到nm,的 方解出nm,由dfh内 切 圆 面 积转化为dfh面积最转化为点d的纵坐标的绝对值最d为 椭 圆 短 轴解题过程：（）设椭圆方程为122nymx0,0 nm，将( 2,0)a、(2,0)b、3(1,

33、)2c代入椭圆e的方程，得41,914mmn解得11,43mn.椭圆e的方程22143xy（）| 2fh，设dfh边上的高为hhsdfh221当点d在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以dfhs的最大值为3设dfh的内切圆的半径为r， 因为dfh的周长为定值 6 所以，621rsdfh所以r的最大值为33所以内切圆圆心的坐标为3(0,)3. 点石成金：的内切圆的内切圆的周长rs21例 8、已知定点)01(，c及椭圆5322yx，过点c的动直线与椭圆相交于ab，两点. （）若线段ab中点的横坐标是12，求直线ab的方程；（）在x轴上是否存在点m，使mbma为常数？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请

34、说明理由. 思维流程：（）解：依题意，直线ab的斜率存在，设直线ab的方程为(1)yk x，将(1)yk x代入5322yx， 消去y整理得2222(31)6350.kxk xk设1122()()a xyb xy，则4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31kkkkxxk，由线段ab中点的横坐标是12，得2122312312xxkk，解得33k，符合得出d点坐标为33, 0题意。所以直线ab的方程为310 xy，或310 xy. （）解：假设在x轴上存在点(,0)m m，使mbma为常数. 当直线ab与x轴不垂直时，由（）知22121222635. (3)3131kkxx

35、x xkk，所以212121212()()()()(1)(1)ma mbxm xmy yxm xmkxxuu u r uuu r22221212(1)()().kx xkmxxkm将(3)代 入 ， 整 理 得222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkma mbmmkkuu u r u uu r2216142.33(31)mmmk注意到mbma是与k无关的常数， 从而有761403mm， 此时4.9ma mbuu u r u uu r 当直线ab与x轴垂直时，此时点ab，的坐标分别为221133，、，当73m时， 亦有4.9ma mbuuu r uuu r综上，在x轴上

36、存在定点703m，使mbma为常数 . 点石成金：222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkma mbmmkkuu u r u uu r例 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2 倍且经过点 m（2，1） ，平行于 om 的直线l在 y 轴上的截距为 m（m0） ，l交椭圆于a、b 两个不同点。（）求椭圆的方程；（）求 m 的取值范围；（）求证直线 ma、mb 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程：解： （1）设椭圆方程为)0(12222babyax则2811422222bababa解得椭圆方程为12822yx（）直线l平行于 om，且在

37、y 轴上的截距为 m 又 kom=21mxyl21的方程为：由0422128212222mmxxyxmxy直线 l 与椭圆交于 a、b 两个不同点，0, 22, 0)42(4)2(22mmmm且解得（）设直线 ma、mb 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0 即可设42,2),(),(221212211mxxmxxyxbyxa且则21,21222111xykxyk由可得042222mmxx而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121xxxyxyxyxykk故直线 ma、mb 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 点石成金：直线ma、mb 与 x 轴始终围成

38、一个等腰三角形021kk例 10、已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bbaa的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点c，d 且c，d都在以b为圆心的圆上，求k的值. 思维流程：解 ： （ 1 ）,332ac原 点 到 直 线ab：1byax的 距 离.3,1.2322abcabbaabd. 故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去y，整理得07830)31(22kxxk. 设cdyxdyxc),(),(2211的中点是),(00yxe，则即7,0,03153115222kkk

39、kkkk又故所求k=7. 点石成金 : c，d都在以b为圆心的圆上bc=bdbecd; 例 11、已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆c上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为 1（）求椭圆c的标准方程；（ii ）若直线:ly=kx+m与椭圆c相交于a、b两点（a、b不是左右顶点），且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标思维流程：解： （）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，由已知得：31acac，222213acbac，椭圆的标准方程为22143xy（ii）设1122()()a xyb xy，联立221.43ykxmxy，得222(

40、34)84(3)0kxmkxm，则又22221212121223(4)()()()34mky ykxm kxmk x xmk xxmk因为以ab为直径的圆过椭圆的右顶点(2 0)d，1adbdkk，即1222211xyxy. 1212122()40y yx xxx2222223(4)4(3)1540343434mkmmkkkk2271640mmkk解得：12227kmkm，且均满足22340km当12mk时，l的方程(2)yk x，直线过点(2 0)，与已知矛盾；当227km时，l的方程为27ykx，直线过定点207，所以，直线l过定点，定点坐标为207，点石成金：以ab为直径的圆过椭圆c的右

41、顶点cacb; 例 12、 已知双曲线)0, 0( 12222babyax的左右两个焦点分别为21ff 、,点 p在双曲线右支上 . （）若当点 p的坐标为)516,5413(时,21pfpf,求双曲线的方程；（）若|3|21pfpf,求双曲线离心率e的最值 ,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程：解： （）(法一)由题意知 ,1pf)516,5413( c, 2pf)516,5413(c, 21pfpf,021pfpf)5413( c0)516()5413(2c（1 分）解得5,252cc. 由双曲线定义得 : ,2|21apfpf2222)516()54135()516()54135(

42、2a6)341()341(22,4,3 ba所求双曲线的方程为 : 116922yx(法二) 因21pfpf,由斜率之积为1,可得解 . （）设2211| ,|rpfrpf, ( 法一) 设p的坐标为),(yx, 由焦半径公式得aexexarexaexar|,|21,caxaexexarr2212),(3,3,2,2acaaxca2，e的最大值为 2,无最小值 . 此时31,2222eaacabac, 此时双曲线的渐进线方程为xy3(法二)设21pff,0(. (1)当时, 22121423,2rcrrcrr，且, 22122rrra此时2242222rrace. (2)当），（0,由余弦定理

43、得 : cos610cos2222222122212rrrrrrc）（2cos6102cos6102222rrace, ) 1, 1(cos,)2, 1(e,综上,e的最大值为 2,但e无最小值 . (以下法一 ) 附：1. 圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件：椭圆中 ，与两个定点 f1，f2的距离的和等于常数2a，且此 常数2a一定要大于21ff，当常数等于21ff时，轨迹是线段 f1f2，当常数小于21ff时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于 |f1f2| ，定义中的 “绝对值” 与2a|f1f2

44、| 不可忽视 。若2a|f1f2| ，则轨迹是以f1，f2为端点的两条射线，若2a|f1f2| ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如 （1）已知定点)0, 3(),0, 3(21ff，在满足下列条件的平面上动点p的轨迹中是椭圆的是a 421pfpf b621pfpf c1021pfpfd122221pfpf（答： c） ；（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是 _（答：双曲线的左支）（2） 第二定义 中要 注意定点和定直线是相应的焦点和准线， 且 “点点距为分子、点线距为分母 ” ，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与

45、此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化 。如已知点)0,22(q及抛物线42xy上一动点p（x,y ）, 则 y+|pq| 的最小值是_（答： 2）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ：（1）椭圆 ：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay1（0ab） 。方程22axbyc表示椭圆的充要条件是什么？（abc 0，且 a，b，c同号， ab） 。如（ 1） 已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为_（答：11( 3,)(,2

46、)22u） ；（2）若ryx,，且62322yx，则yx的最大值是 _，22yx的最小值是_（答：5, 2）（ 2） 双 曲 线 ： 焦点 在x轴 上 ：2222byax =1 ， 焦 点 在y轴 上 ：2222bxay 1（0,0ab） 。方程22axbyc表示双曲线的充要条件是什么？（abc 0，且 a，b异号） 。如（ 1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程 _（答：2214xy） ；（2）设中心在坐标原点o，焦点1f、2f在坐标轴上，离心率2e的双曲线c过点)10, 4(p，则 c的方程为 _（答：226xy）（3）抛物线 ：开口向右时22(0)

47、ypx p，开口向左时22(0)ypx p，开口向上时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy p。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆 ：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程12122mymx表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 _（答：)23, 1() 1,(）（2）双曲线 ：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒 ： （1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点f1，f2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决

48、定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件； 在求解抛物线问题时， 首先要判断开口方向；（2） 在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。4. 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例） ：范围 ：,axabyb；焦点 ：两个焦点(,0)c； 对称性 ：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0 ） ，四个顶点(,0),(0,)ab， 其中长轴长为2a， 短轴长为 2b； 准线 ： 两条准线2axc；离心率 ：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（ 1

49、）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是 _（答： 3 或325） ；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：22）（2）双曲线 （以22221xyab（0,0ab）为例） ：范围 ：xa或,xa yr；焦点 ：两个焦点(,0)c；对称性 ：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（ 0,0 ） ，两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0 xyk k；准线 ：两条准线2axc；离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；

50、两条渐近线 ：byxa。如 （1） 双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于_ （答：132或133） ；（2）双曲线221axby的离心率为5，则:a b= （答： 4 或14） ；（3）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率e2,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_（答：,32） ；（3）抛物线 （以22(0)ypx p为例） ： 范围 ：0,xyr；焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性 ：一条对称轴0y，没有对称中心， 只有一个顶点 （0,0 ） ；准线 ：一条准线2px； 离心率 ：cea，抛物线1e。如设raa,0，则抛物线

51、24axy的焦点坐标为 _（答：)161,0(a） ；5、点00(,)p xy和椭圆12222byax（0ab）的关系 ： （1）点00(,)p xy在椭圆外2200221xyab； （2）点00(,)p xy在椭圆上220220byax1； （3）点00(,)p xy在椭圆内2200221xyab6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交 ：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时

52、，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是 _（答： (-315,-1) ） ；（2） 直线 ykx1=0 与椭圆2215xym恒有公共点， 则 m的取值范围是 _（答： 1 ，5）（ 5，+） ） ；（3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于a、b两点，若 ab 4，则这样的直线有 _条（答： 3） ；（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离 ：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。

53、特别提醒 ： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交, 但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交, 也只有一个交点； （2）过双曲线2222byax1 外一点00(,)p xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：p 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；p 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； p在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近

54、线平行的直线，一条是切线； p 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（ 1）过点)4 ,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有_（答： 2） ； （2）过点 (0,2) 与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 _（答：44 5,33） ；（3）过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于 a、b两点，若ab4，则满足条件的直线l有_条（答： 3） ；（4）对于抛物线c：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxm在抛物线的内部，若点),(00yxm在抛物线

55、的内部，则直线l：)(200 xxyy与抛物线c 的位置关系是_（答：相离）；（5）过抛物线xy42的焦点f作一直线交抛物线于p、q两点，若线段 pf与 fq的长分别是p、q，则qp11_（答： 1） ；（6）设双曲线191622yx的右焦点为f，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于rqp,，则pfr和qfr的大小关系为 _(填大于、小于或等于 ) （答：等于）；（7）求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离（答：8 1313） ；（8）直线1axy与双曲线1322yx交于a、b两点。当a为何值时，a、b分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以ab 为直径的圆过坐

56、标原点？（答：3,3；1a） ；7、焦半径 （圆锥曲线上的点p到焦点 f的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径red，其中d表示 p到与 f所对应的准线的距离。如（ 1）已知椭圆1162522yx上一点 p到椭圆左焦点的距离为3，则点 p到右准线的距离为 _（答：353） ；（2）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（3）若该抛物线上的点m到焦点的距离是4，则点m的坐标为 _（答：7,(2,4)） ；（4）点 p 在椭圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 p的横坐标为

57、_（答：2512） ；（5）抛物线xy22上的两点 a、 b到焦点的距离和是5， 则线段 ab的中点到y轴的距离为 _（答： 2） ；（ 6） 椭圆13422yx内有一点)1, 1(p，f 为右焦点，在椭圆上有一点m ，使mfmp2之值最小，则点m的坐标为 _（答：)1,362(） ；8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：常利用第一定义和正弦、 余弦定理求解。 设椭圆或双曲线上的一点00(,)p xy到两焦点12,f f的距离分别为12,r r，焦点12f pf的面积为s，则在椭圆12222byax中，) 12arccos(212rrb， 且当12rr即p为 短

58、 轴端 点 时，最 大 为max222arccosacb；20tan|2sbc y，当0|yb即p为短轴端点时，m axs的最大值为 bc；对于双曲线22221xyab的 焦 点 三 角 形 有 ： 21221arccosrrb； 2cotsin21221brrs。如（1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1f、2f，过1f作直线交椭圆于 a、b两点，则2abf的周长为 _（答： 6） ；（2）设 p 是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点， f1、f2是左右焦点，若0212ffpf，|pf1|=6 ，则该双曲线的方程为（答：224xy） ；（3）椭圆22194xy的焦点为 f1、f

59、2，点 p为椭圆上的动点， 当pf2pf1 0 时，点 p的横坐标的取值范围是（答：3 5 3 5(,)55） ；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率 e26，f1、f2是它的左右焦点，若过f1的直线与双曲线的左支交于a、 b 两点，且ab是2af与2bf等差中项，则ab_（答：8 2） ；（5）已知双曲线的离心率为2，f1、f2是左右焦点， p 为双曲线上一点，且6021pff，31221fpfs求该双曲线的标准方程（答：221412xy） ；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 ab为焦点弦， m 为准线与 x 轴的交点， 则 amf

60、 bmf ； （3）设 ab为焦点弦， a、b在准线上的射影分别为a1，b1，若 p为 a1b1的中点，则 pa pb； （4）若 ao的延长线交准线于c，则 bc平行于 x 轴，反之，若过b 点平行于 x轴的直线交准线于c点，则 a，o，c三点共线。10、弦长公式 ：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点a、b，且12,x x分别为 a、b 的横坐标，则ab2121kxx，若12,yy分别为a、 b 的纵坐标，则ab21211yyk，若弦 ab所在直线方程设为xkyb，则ab2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和