高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式及其应用教案文(含解析)苏教版-苏教版高三全册

1、. .专心 . 第三节 基本不等式及其应用1基本不等式abab2(1) 基本不等式成立的条件：a0，b0. (2) 等号成立的条件：当且仅当ab. 2几个重要的不等式(1)a2b2 2ab(a，br)；(2)baab2(a，b同号 ) ；(3)abab22(a，br)；(4)ab22a2b22(a，br)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1) 如果xy是定值p， 那么当且仅当xy时，xy有最小值是2p( 简记： 积定和最小 ) (2)

2、如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是q24( 简记：和定积最大) 小题体验 1(2019南京调研) 已知m，n均为正实数， 且m2n1，则mn的最大值为 _解析：m2n1，m2nm2n2214，即mn18，当且仅当m2n12时，mn取得最大值18. 答案：182若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为 _解析：x22y2x2(2y)22x(2y) 22，所以x22y2的最小值为22. . .专心 . 答案： 22 3若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2. 解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10 x)m，由题知 0 x10，则面

3、积sx(10 x) x10 x22 25，当且仅当x 10 x，即x5 时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m2. 答案： 25 1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误3连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致 小题纠偏 1(2019启东检测) 函数yx9x1(x1)的最小值为 _解析：x1，x 10，yx9x1(x1) 9x112x 19x117，当且仅当x4 时取等号答案： 7 2函数f(x) x1x的值域为 _

4、答案： ( ， 2 2 ，)考点一利用基本不等式求最值重点保分型考点师生共研 典例引领 1(2018启东期末) 设正实数a，b满足ab1，则ba4b的最小值为 _解析：ab1，ba4bba4abbba4ab42ba4ab 48，当且仅当ba4ab，即a13，b. .专心 . 23时等号成立，ba4b的最小值为8. 答案： 8 2 (2019常州调研 ) 若实数x满足x 4， 则函数f(x) x9x4的最小值为 _解析：因为x 4，所以x 40，所以f(x) x9x4x49x442 x49x442，当且仅当x49x 4，即x 1 时取等号答案： 2 3 (2018徐州调研 ) 已知实数x，y满足

5、x2y23， |x| |y| ， 则12xy24x2y2的最小值为 _解析：因为 (2xy)2(x2y)25(x2y2) 15，所以令 (2xy)2t，(x2y)2，所以t15，12xy24x2y21t4115(t)1t411554tt115(5 4) 35，当且仅当t5，10 时取等号，所以12xy24x2y2的最小值为35. 答案：35 由题悟法 利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1) 对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有： 拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等(2) 条件变形，进行“

6、 1”的代换求目标函数最值 即时应用 1设 0 x32，则函数y4x(3 2x) 的最大值为 _解析：y4x(32x) 22x(3 2x) 22x32x2292，. .专心 . 当且仅当 2x32x，即x34时，等号成立又因为34 0，32，所以函数y4x(3 2x) 0 x32的最大值为92. 答案：922已知正数x，y满足x22xy30，则 2xy的最小值是 _解析：由题意得y3x22x，所以 2xy2x3x22x3x232x32x1x3，当且仅当xy1 时，等号成立答案： 3 3(2017天津高考) 若a，br，ab0，则a44b41ab的最小值为 _解析：因为ab0，所以a44b41a

7、b24a4b41ab4a2b21ab4ab1ab24ab1ab4，当且仅当a22b2，ab12时取等号，故a44b41ab的最小值是4. 答案： 4 考点二基本不等式的实际应用重点保分型考点师生共研 典例引领 经调查测算， 某产品的年销售量( 即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元 (m0)满足x 3km1(k为常数 ) ，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1 万件已知2018 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产1 万件该产品需要再投入16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5 倍( 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 ) (1) 将 2018 年该产

8、品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2) 该厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解： (1) 由题意可知，当m 0 时，x 1，. .专心 . 所以 13k，解得k2，即x 32m1，每 1 万件产品的销售价格为1.5 816xx( 万元 ) ，所以 2018 年的利润yx1.5 816xx(8 16xm) 48xm 48 32m1m2816m1m(m0)所以利润y表示为年促销费用的函数关系式是y 2816m 1m(m0)(2) 由(1) 知y16m1m1 29(m0)因为m0 时，16m1 (m1)2 16m1m18，当且仅当16m1m1，即m3 时取等号所

9、以y 82921，即当m3 时，y取得最大值21. 所以当该厂家2018 年的促销费用投入3 万元时，厂家获得的利润最大，为21 万元 由题悟法 解实际应用题的3 个注意点(1) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2) 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3) 在求函数的最值时，一定要在定义域( 使实际问题有意义的自变量的取值范围) 内求解 即时应用 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园abcd， 公园由形状为长方形的休闲区a1b1c1d1和人行道 ( 阴影部分 ) 组成已知休闲区a1b1c1d1的面积为4 000 m2，人行道的宽分

10、别为4 m和 10 m(如图所示 ) (1) 若设休闲区的长和宽的比a1b1b1c1x(x1) ， 求公园abcd所占面积s关于x的函数s(x). .专心 . 的解析式；(2) 要使公园所占面积最小，则休闲区a1b1c1d1的长和宽该如何设计？解： (1) 设休闲区的宽为a m，则长为ax m，由a2x4 000 ，得a2010 x. 则s(x) (a8)(ax20) a2x(8x20)a1604 000 (8x20)2010 x16080102x5x4 160(x 1) (2)s(x) 80102x5x4 160801022x5x4 160 1 600 4 160 5 760，当且仅当2x5

11、x，即x2.5 时，等号成立，此时a40，ax100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区a1b1c1d1的长和宽应分别设计为100 m,40 m. 考点三利用基本不等式求参数的值或范围重点保分型考点师生共研 典例引领 1(2019淮安调研)若x(0,1) 时， 不等式m1x11x恒成立， 则实数m的最大值为_解析：x(0,1) ， 1x(0,1) ，x(1 x) 1，1x11x1x11xx(1 x) 21xxx1x2 21xxx1x4，当且仅当1xxx1x，即x12时取等号，m4，即实数m的最大值为4. 答案： 4 2已知函数f(x) x2ax11x1(ar)，若对于任意的xn*，f(x) 3

12、 恒成立，则a的取值范围是 _解析：对任意xn*，f(x) 3，即x2ax11x13 恒成立，即ax8x 3. 设g(x) x8x，x n*，则g(x) x8x42，当x22时等号成立，. .专心 . 又g(2) 6，g(3) 173. 因为g(2) g(3) ，所以g(x)min173. 所以x8x383，所以a83，故a的取值范围是83，. 答案：83， 由题悟法 求解含参数不等式的求解策略(1) 观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围(2) 在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化 即时应用 1(201

13、9东台月考) 若对任意x0，xx23x 1a恒成立， 则a的最小值为 _解析：xx23x11x31x，x0，x31x3 2x1x325，当且仅当x1x，即x1时取等号，01x31x15，要使xx23x1a恒成立，则a15，故a的最小值为15. 答案：152已知正数x，y满足x22xy(xy) 恒成立，求实数的最小值解：依题意得x 22xyx (x2y) 2(xy) ，即x22xyxy2(当且仅当x2y时取等号 ) ，即x22xyxy的最大值为2. 又x22xyxy，因此有2，即的最小值为2. 一抓基础，多练小题做到眼疾手快. .专心 . 1 (2019连云港调研) 若x0，y0， 且 log2

14、xlog2y2， 则1x2y的最小值为 _解析：x0，y0，且 log2xlog2ylog2xy2，xy4，1x2y22xy2，当且仅当1x2y且xy4，即x2，y22时取等号，1x2y的最小值为2. 答案：2 2当x0 时，f(x) 2xx21的最大值为 _解析：因为x0，所以f(x) 2xx212x1x221，当且仅当x1x，即x1 时取等号答案： 1 3(2018苏州期末) 已知a 0，b0， 且1a1b1， 则 3a2bba的最小值为 _解析：a0，b0，且1a1b1，3a2bba3a1a1b2b1a1bba53ab3ba5 2911，当且仅当ab2时取等号，3a2bba的最小值为11

15、. 答案： 11 4当 3x12 时，函数yx312xx的最大值为 _解析：yx312xxx215x36xx36x15 2 x36x15 3. 当且仅当x36x，即x6时，ymax3. 答案： 3 . .专心 . 5(2018通州期末) 若 log4(a4b) log2ab，则ab的最小值是 _解析： log4(a4b) log2ab，log2a4blog2ab，a 4b0，ab0. a4bab，即a4bab，1b4a1，ab(ab)1b4a5ab4ba5 2ab4ba9，当且仅当a2b6 时取等号ab的最小值是9. 答案： 9 6某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800 元若每批生

16、产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是800 x元，每件产品的仓储费用是x8元，则800 xx82 800 xx8 20，当且仅当800 xx8，即x 80 时“”成立，所以每批生产产品80 件答案： 80 二保高考，全练题型做到高考达标1(2019盐城调研 ) 若x0，y0，且x1xy4y9，则1x4y的最大值为 _解析：令xyn，1x4ym，mn(xy)1x4y5yx4xy9.mn9，mn9? 9mnm9m. m29m90，解得9 352m935

17、2. 1x4y的最大值为9 352. . .专心 . 答案：93522已知ab14，a，b(0,1) ，则11a21b的最小值为 _解析：由题意得b14a，所以 014a1，即a14， 1 ，得11a21b11a8a4a111a24a1 2. 4(1 a) (4a1) 3，记s11a24a 1，则s444a24a113(4 4a) (4a 1)44 4a24a1 2 234 4a4a124a144a2423，当且仅当44a4a124a144a时等号成立，所以所求最小值为4423. 答案： 44233(2018连云港期末) 已知x0，y0，且 2x 4y 4，则2x1y的最小值是 _解析：x0，

18、y0，且 2x 4y 4，42x4y22x2y，即x2y2，2x1y122x1y(x2y) 1244yxxy12424yxxy4，当且仅当x2y时等号成立，2x1y的最小值是4. 答案： 4 4(2019湖北七市( 州)协作体联考 ) 已知直线axby60(a0，b0)被圆x2y22x4y0 截得的弦长为25，则ab的最大值是 _解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x1)2(y2)25，圆心坐标为(1,2) ，半径r5，故直线过圆心，即a2b6，所以a2b62a2b，可得ab92，当且仅当a2b3 时等号成立，即ab的最大值是92. . .专心 . 答案：925某地区要建造一条防洪堤，其横断面

19、为等腰梯形，腰与底边夹角为 60( 如图 ) ，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为93 m2，且高度不低于3 m，记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长 ( 梯形的上底与两腰长的和) 为y m，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省 ( 即横断面的外周长最小) ，则防洪堤的腰长x_. 解析：设横断面的高为h，由题意得adbc2x2bcx，h32x，所以 9312(adbc)h12(2bcx) 32x，故bc18xx2，由h32x3，bc18xx20，得 2x6，所以ybc2x18x3x2(2x6) ，从而y18x3x22 18x3x263，当且仅当18x3x2(2x6)

20、 ，即x23时等号成立答案： 23 6(2018苏州期末) 已知正数x，y满足xy1，则4x21y1的最小值为 _解析：令x2a，y1b，则ab4(a 2，b1) ，所以4x21y14a1b14(ab)4a1b1454baab14(54) 94，当且仅当a83，b43，即x23，y13时取等号 则4x21y1的最小值为94. 答案：94. .专心 . 7(2018南通三模) 若正实数x，y满足xy1，则yx4y的最小值是 _解析：因为正实数x，y满足xy1， 所以yx4yyx4xyyyx4xy42yx4xy48，当且仅当yx4xy，即x13，y23时取“”，所以yx4y的最小值是8. 答案：

21、8 8(2018扬州期末) 已知正实数x，y满足xyxy，则3xx12yy1的最小值为_解析：xyxy，3xx12yy13xy1 2yx 1x1y15xy3x2yxyxy 15x 5y3x2yxyxy12x3y. 又xyxy可化为1y1x 1，2x3y(2x3y)1y1x2xy3yx522xy3yx5265，当且仅当2x23y2时取等号，3xx12yy1的最小值为265. 答案： 265 9(1) 当x32时，求函数yx82x 3的最大值；(2) 设 0 x2，求函数yx42x的最大值解： (1)y12(2x3) 82x33232x2832x32. 当x32时，有 32x0，所以3 2x283

22、2x2 3 2x283 2x4，当且仅当32x2832x，即x12时取等号. .专心 . 于是y 43252，故函数的最大值为52. (2) 因为 0 x2，所以 2x0，所以yx42x2x2x 2x 2x22，当且仅当x2x，即x1 时取等号，所以当x1 时，函数yx42x的最大值为2. 10(2019泰州调研) 已知x0，y0，且 2xy4. (1) 求xy的最大值及相应的x，y的值；(2) 求 9x3y的最小值及相应的x，y的值解： (1) 因为 42xy2 2xy?xy2，所以xy的最大值为2，当且仅当2xy2，即x1，y2 时取“”(2) 因为 9x3y32x3y232xy18，所以

23、 9x3y的最小值为18，当且仅当 9x 3y，即 2xy2?x1，y2 时取“”三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018启东期中) 已知为锐角，则2tan 3tan 2的最小值为 _解析：为锐角， tan 0， 2tan 3tan 2 2tan 31tan22tan 32tan tan 22 32tan tan 23，当且仅当 tan 3，即3时取得等号，2tan 3tan 2的最小值为3. 答案：3 2(2018苏北四市联考) 已知对满足xy42xy的任意正实数x，y，都有x22xyy2axay10，则实数a的取值范围为_解析：法一：由xy42xyxy22得(xy)22(xy) 80，又

24、x，y是正实. .专心 . 数，得xy4. 原不等式整理可得(xy)2a(xy) 10，令xyt，t4，则t2at10，t 4 ，)(*) 恒成立，当a240，即 2a2时， (*) 式恒成立；当a 2 时，对称轴ta2 1，(*) 式恒成立； 当a2 时，对称轴ta2，要使 (*) 式恒成立，则a24，且 164a10，得 2a174. 综上可得 (*) 式恒成立时，a174，则实数a的取值范围是，174. 法二：由xy4 2xyxy22得(xy)22(xy) 80，又x，y是正实数，得xy4. 原不等式整理可得(xy)2a(xy) 10，令xyt，t4，则t2at10，t4 ，)(*) 恒

25、成立，则at1tmin174，故实数a的取值范围是，174. 答案：，1743某工厂某种产品的年固定成本为250 万元，每生产x千件，需另投入成本为c(x) ，当年产量不足80 千件时，c(x) 13x210 x( 万元 ) 当年产量不小于80 千件时，c(x) 51x10 000 x1 450( 万元 ) 每件商品售价为0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1) 写出年利润l(x)( 万元 ) 关于年产量x( 千件 ) 的函数解析式(2) 当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解： (1) 因为每件商品售价为0.05 万元，则x千件商品销售额为0.051

26、000 x万元，依题意得：当 0 x80 时，l(x) (0.05 1 000 x) 13x210 x25013x240 x250. 当x80 时，l(x) (0.05 1 000 x) 51x10 000 x1 4502501 200 x10 000 x. 所以l(x) 13x240 x250，0 x80，1 200 x10 000 x，x80.(2) 当 0 x80 时，l(x)13(x60)2 950. . .专心 . 此时，当x60 时，l(x)取得最大值l(60) 950 万元当x80 时，l(x) 1 200 x10 000 x1 200 2 x10 000 x1 200 2001

27、 000. 此时x10 000 x，即x100 时，l(x) 取得最大值1 000 万元由于 9501 000 ，所以，当年产量为100 千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000 万元命题点一一元二次不等式1.(2017 山东高考改编)设函数y4x2的定义域为a，函数y ln(1 x) 的定义域为b，则ab_. 解析：由题意可知ax| 2x2，bx|x 1，故abx| 2x1答案： 2,1) 2(2014江苏高考) 已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1 ， 都有f(x)0 成立，则实数m的取值范围是_解析：由题可得f(x) 0 对于xm，m1 恒成立， 即fm

28、 2m210，fm12m23m0，解得22m0. 答案：22，03(2012江苏高考 ) 已知函数f(x)x2axb(a，br)的值域为 0 ，) ，若关于x的不等式f(x) c的解集为 (m，m6)，则实数c的值为 _解析：因为f(x) 的值域为 0 ， ) ，所以0，即a24b，所以x2axa24c0的解集为 (m，m6)，易得m，m6 是方程x2axa24c0 的两根，由一元二次方程根与系数的关系得2m6a，m m6a24c，解得c9. . .专心 . 答案： 9 命题点二简单的线性规划问题1.(2016 江苏高考) 已知实数x，y满足x2y40，2xy20，3xy30，则x2y2的取值

29、范围是_解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y) 为阴影区域内的动点dx2y2可以看做坐标原点o与可行域内的点 (x，y) 之间的距离数形结合，知d的最大值是oa的长，d的最小值是点o到直线 2xy20 的距离由x2y40，3xy30可得a(2,3) ，所以dmax223213，dmin| 2|22 1225. 所以d2的最小值为45，最大值为13. 所以x2y2的取值范围是45，13 . 答案：45，132(2018全国卷) 若x，y满足约束条件x2y20，xy10，y0，则z3x2y的最大值为 _解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示由z3x2y，得y3

30、2xz2. 作直线l0：y32x. 平移直线l0，当直线y32xz2过点 (2,0) 时，z取最大值，zmax3220 6. 答案： 6 . .专心 . 3(2017全国卷改编) 设x，y满足约束条件3x2y60，x0，y0，则zxy的取值范围是 _解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：yx，平移直线l0，当直线zxy过点a(2,0) 时，z取得最大值 2，当直线zxy过点b(0,3) 时，z取得最小值3，所以zxy的取值范围是 3,2 答案： 3,2 4(2018全国卷) 若x，y满足约束条件x2y50，x2y30，x50，则zxy的最大值为_解析：作出不等式组所表

31、示的可行域如图中阴影部分所示由图可知当直线xyz过点a时z取得最大值由x5，x2y30，得点a(5,4)，zmax549. 答案： 9 5(2018北京高考) 若x，y满足x1y2x，则 2yx的最小值是 _解析：由条件得x1y，y2x，即xy10，2xy0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示设z2yx，即y12x12z，作直线l0：y12x并向上平移，显然当l0过点a(1,2)时，z取得最小值，zmin22 13. 答案： 3 . .专心 . 6(2017天津高考) 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时

32、长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长( 分钟 ) 广告播放时长( 分钟 ) 收视人次( 万) 甲70560 乙60525 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 分钟， 广告的总播放时间不少于 30 分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2 倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1) 用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2) 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解： (1) 由已知，x，y满足的数学关系式为70 x60y600，5x5y30，x2y，x0，y0，即7x6y60，xy6，x2

33、y0，x0，y0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点(2) 设总收视人次为z万，则目标函数为z60 x 25y. 考虑z60 x25y，将它变形为y125xz25，这是斜率为125，随z变化的一族平行直线 .z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z 60 x 25y经过可行域上的点m时，截距z25最大，即z最大解方程组7x6y60，x2y0，得点m的坐标为 (6,3) 所以电视台每周播出甲连续剧6 次、乙连续剧3 次时才能使总收视人次最多. .专心 . 命题点三基本不等式1.(2017 江苏高考) 某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买x吨，运费为6 万元 /次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析：由题意，一年购买600 x次，则总运费