高考复数的知识题型总结归类

1、高考复数的知识题型总结一、复数的有关概念（1）复数1. 定义：形如 abi （a，br）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足 i21. （i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1）2. 表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi （a，br） ，叫做复数的代数形式， a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部 .（注意 b 是虚部而不是bi ）（2）复数集1. 定义：全体复数所成的集合叫做复数集. 2. 表示：大写字母 c. （3）复数的分类复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系( 4 )复数相等的充要条件abi cdi ? ac 且 bdabi 0

2、?ab0. （a,b,c,d均为实数）说明：要求复数相等要先将复数化为zabi （a，br）的形式，即分离实部和虚部. 二、复平面的概念点 z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi (a、br) 可用点 z( a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做 实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0) 三、复数的两种几何意义（1）复数zabi （a，br）对应复平面内的点z（a，b）. （2）复数zabi （a，br）平面向量oz四、复数的模复数zabi （a，br

3、）对应的向量为oz，则oz的模叫做复数z的模，记作 |z| ，且注意：两个虚数是不可以比较大小的，但它们的模表示实数，可以比较大小. 五、复数的运算设 z1=a+bi ，z2=c+di (a、b、c、dr) 是任意两个复数，z1与 z2的加法运算律： z1+z2=(a+bi )+( c+di )=( a+c)+( b+d)i .z1与 z2的减法运算律： z1- z2=(a+bi )-( c+di )=( a- c)+( b- d)i . z1与 z2的乘法运算律： z1z2= ( a+bi )( c+di )=( acbd)+( bc+ad)i . z1与z2的除法运算律：z1z2=(a+b

4、i )(c+di )=（分母要利用平方差实数化）六、共轭复数1. 定义：当两个复数的实部相等， 虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记 复数的共轭复数为。例如=35i 与=35i 互为共轭复数2. 共轭复数的性质（1）实数的共轭复数仍然是它本身（2）（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称七、常用结论（1），（2）ii212（3）ii1（4）iii11（5）iii11（6）22babiabia题型分类题型一：复数定义的考查1.设有下面四个命题：若复数z满足，则；：若复数z满足，则；：若复数，满足，则；：若复数，则其中的真命题为a. ，b

5、. ，c. ，d. ，解：若复数z满足，则，故命题为真命题；：复数满足，则，故命题为假命题；：若复数，满足，但，故命题为假命题；：若复数，则，故命题为真命题故选b2. 下列命题：若 ar ，则（ a1）i 是纯虚数；若 a，br ，且 ab，则 ai bi ；若（ x24）（ x23x2）i 是纯虚数，则实数x2；实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（）a.b. c. d.解：对于复数abi （a，br） ，当a0且b0 时，为纯虚数 . ，若a 1，则（a1）i 不是纯虚数，即错误，两个虚数不能比较大小，则错误. ，若x 2，则x240，x23x20，此时（x24）（x23x2）i 0，不

6、是纯虚数，则错误. ，显然正确 . 故选 d. 3. 给出下列命题：若，则；若a，且，则；若，则是纯虚数；若，则在复平面内对应的点位于第一象限其中正确的命题是_ 填上所有正确命题的序号解：若，则不成立比如；因为复数不能比较大小，所以不成立；，则不一定是纯虚数，比如就不是纯虚数，故不成立；，则对应的点在复平面内的第一象限，故成立故答案为：4. 关于复数，下列命题：若，则；若 z 是实数，则；若 zi 是纯虚数，则；若，则其中真命题个数为a. 1b. 2c. 3d. 4解：若，即，得，所以，故为真命题；因为，若 z是实数，则，故为真命题；因为，若 zi 是纯虚数，则，故为真命题；因为，即，从而可得

7、，解得：，即，故假命题综上，其中真命题有：，共 3 个题型二、复数分类1.设，若是纯虚数，求实数x的取值范围；若，求实数x的取值范围解：依题意得所以实数x的取值范围是依题意得所以检验：当时，满足符合题意所以实数x的取值范围是2. 当实数a为何值时为纯虚数；为实数；对应的点在第一象限解：复数z是纯虚数，则由，得，即若复数z是实数，则，得或在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限，则，即，解得或3.当实数m为何值时，复数lg （m22m7）（m25m6）i 是（1）纯虚数；（2）实数 . 解： （1）lg （m22m7）0，m25m60，解得m4. （2）m22m70，m25m60，解得m2 或m

8、 3. 4 已知复数zm(m1)(m22m3)i(mr) (1) 若z是实数，求m的值；(2) 若z是纯虚数，求m的值；(3) 若在复平面c内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围解：(1) z为实数，m22m30，解得m 3 或m1. (2) z为纯虚数，mm1 0，m22m30.解得m0. (3) z所对应的点在第四象限，mm1 0，m22m 30.解得 3m0.题型三、复数的相等1.已知i是虚数单位，a，得“”是“”的a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件解：当“”时，“”成立，故“”是“”的充分条件；当“”时，“”或“”，故“”不是“”的

9、必要条件；综上所述，“”是“”的充分不必要条件2. （ 1）若（xy）yi （x1）i ，求实数x，y的值；（ 2）已知a2（m2i ）a2mi 0（mr）成立，求实数a的值；解：（1）由复数相等的充要条件，得xy0，yx1，解得x12，y12.（2）因为a，mr，所以由a2am2（ 2am）i 0，可得a2am2 0，2am0，解得a2，m 22或a2，m22，所以a2. 题型四：复平面1、已知复数z（a21）（2a1）i ，其中ar. 当复数z在复平面内对应的点z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）. （1）在实轴上；（2）在第三象限 . 解： （1）若对应的点在实轴上，则有2a1 0，

10、解得a12. （2）若z对应的点在第三象限，则有a210，2a10.解得 1a12. 故a的取值范围是 1，12. 2、求实数a取什么值时，复平面内表示复数za2a2（a23a2）i 的点（1）位于第二象限；（2）位于直线yx上. 解：复平面内表示复数za2a2（a2 3a2） i 的点就是点z（a2a2，a2 3a2）. （1）由点z位于第二象限，得a2a20，解得 2a1. 故满足条件的实数a的取值范围为（2，1）. （2）由点z位于直线yx上，得a2a2a23a2，解得a1. 故满足条件的实数a的值为 1. 题型五、复数的模1. 已知复数z满足z|z| 28i ，求复数z. 解：设zab

11、i （a，br） ，则|z| a2b2，代入原方程得abi a2b228i ，根据复数相等的充要条件，得aa2b22，b8，解得a 15，b8.所以z 158i. 2. 已知复数z满足，则_ 解：由，得，设，由，得，即，解得：则题型六、共轭复数1.复数为虚数单位的共轭复数是a. b. c. d. 解：化简可得，的共轭复数2. 若复数z满足，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则复数a. b. c. 4d. 5解：复数，a、，即，解得，3. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限解：复数，则复数的共轭复数为即共轭复数对应点的坐标在第四象限题型

12、七、复数的运算1.复数为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限解：，复数在复平面对应的点的坐标是，它对应的点在第四象限，2. 若复数z满足，则z的虚部为a. b. c. 4id. 4解：由题意，的虚部为3. 设的实部与虚部相等，其中a 为实数，则 a 等于a. b. c. 2d. 3解：的实部与虚部相等，可得：，解得4. 设，则a. 2b. c. d. 1解：由，得5. 已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 _解：，i为虚数单位，由为实数，可得，解得6.i是虚数单位，复数z满足，则z的实部为 _解：由，得，的实部为1题型八、复数的几何意义1.已知复数，是实数，i是虚数单位求复数z；若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围解：，是实数，即，复数所表示的点在第一象限，解得，即2. 复数，则的最大值是 _解：根据题意，有，则表示的点为距离原点距离为3 的点，即以原点为圆心，的圆，那么的几何意义为圆上的点与点的距离，设，由点与圆的位置关系，分析可得的最大值是，即3. 复数z满足，则的最小值是 _解：复数z满足，复数z到点的距离为1，的几何意义是复数对应点，与的距离，所求的最小值为：，4. 如图，已知复平面内平行四边形abcd中，点a对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为 求d点对应的复数； 求平行四边形abc