高考全国卷Ⅰ文科数学解析几何汇编

1、新课标全国卷文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2020， 5】已知f是双曲线22:13ycx的右焦点，p是c上一点，且pf与x轴垂直，点a的坐标是(1,3)， 则apf的面积为（）a13b12c23d32【解法】选d由2224cab得2c， 所以(2,0)f， 将2x代入2213yx， 得3y， 所以3pf， 又 a 的坐标是 (1,3)， 故 apf 的面积为133 (21)22， 选 d【2020， 12】设 a、b 是椭圆 c：2213xym长轴的两个端点，若 c 上存在点m 满足 amb =120 ， 则m 的取值范围是( ) a(0,19,)ub(0,39,)uc(0,14,)u

2、d(0,34,)u【解法】选a图 1 图 2 解法一：设ef、是椭圆 c 短轴的两个端点，易知当点m是椭圆 c 短轴的端点时amb最大， 依题意只需使0120aeb1当 03m时， 如图 1，03tantan6032aebabm， 解得1m， 故 01m；2 当3m时， 如图 2，0tantan60323aebamb， 解得9m综上可知，m的取值范围是(0,19,)u， 故选 a解法二：设ef、是椭圆 c 短轴的两个端点，易知当点m是椭圆 c 短轴的端点时amb最大， 依题意只需使0120aeb1当 03m时， 如图 1，01cos,cos1202ea ebuuu r u uu r， 即12e

3、a ebea ebuu u ruu u ru u u r uuu r，带入向量坐标，解得1m， 故 01m；2 当3m时， 如图 2，01cos,cos1202ea ebuu u r u uu r， 即12ea ebea ebuu u ruu u ru u u r uuu r，带入向量坐标，解得9m综上可知，m的取值范围是(0,19,)u， 故选 a【2016， 5】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14， 则该椭圆的离心率为（）a13b12c23d34解析：选 b 由等面积法可得1112224bcab， 故12ca， 从而12cea故选 b【2015， 5】

4、已知椭圆e 的中心为坐标原点，离心率为12， e 的右焦点与抛物线c: y2=8x， 的焦点重合，a,b 是 c 的准线与e 的两个交点，则|ab|=( ) a3 b 6 c9 d12 解：选b抛物线的焦点为(2,0)， 准线为x=-2， 所以 c=2， 从而 a=4， 所以 b2=12， 所以椭圆方程为2211612xy， 将 x=-2 代入解得 y= 3， 所以 |ab|=6， 故选 b 【2014， 10】10已知抛物线c：y2=x 的焦点为f， a(x0,y0)是 c 上一点，|af|=054x， 则 x0=( )a a1 b2 c4 d8 解：根据抛物线的定义可知|af|=00154

5、4xx， 解之得 x0=1 故选 a 【2014， 4】4已知双曲线)0(13222ayax的离心率为2， 则 a= ( ) d a2 b26c25d1 解：2222232cabaeaaa， 解得 a=1， 故选 d 【2013， 4】已知双曲线c：2222=1xyab(a0， b0)的离心率为52， 则 c 的渐近线方程为()ay14xby13xc y12xdy x解析：选c52e， 52ca， 即2254ca c2a2b2， 2214ba12ba双曲线的渐近线方程为byxa， 渐近线方程为12yx故选 c【2013， 8】o 为坐标原点，f 为抛物线c： y24 2x的焦点， p 为 c

6、上一点， 若|pf|4 2， 则 pof的面积为 ()a2 b2 2c2 3d4 答案： c 解析：利用 |pf|24 2px， 可得 xp3 2， yp26 spof12|of| |yp|2 3故选 c【2012， 4】4设1f、2f是椭圆 e：2222xyab（0ab）的左、右焦点，p 为直线32ax上一点，21f pf是底角为30 的等腰三角形，则 e 的离心率为（）a12b23c34d45【解析】如图所示，21f pf是等腰三角形，212130f f pf pf，212| |2f pf fc，260pf q，230f pq，2|f qc，又23|2af qc， 所以32acc， 解得3

7、4ca， 因此34cea， 故选择 c【2012， 10】10等轴双曲线c 的中心在原点，焦点在x轴上，c 与抛物线216yx的准线交于a， b两点，| 4 3ab， 则 c 的实轴长为（）a2b2 2c4 d8 【解析】设等轴双曲线c 的方程为22221xyaa， 即222xya（0a） ，抛物线216yx的准线方程为4x， 联立方程2224xyax， 解得2216ya，因为|4 3ab， 所以222|(2 |)448abyy， 从而212y， 所以21612a，24a，2a， 因此 c 的实轴长为24a， 故选择 c【2011， 4】椭圆221168xy的离心率为（）a13b12c33d2

8、2【解析】选 d因为221168xy中，2216,8ab，所以2228cab， 所以2 2242cea【2011， 9】已知直线l过抛物线的焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a，b两点，12ab，p为c的准线上一点，则abp的面积为（）a18b24c36d48【解析】不妨设抛物线的标准方程为220ypx p， 由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为2px代入22ypx得yp， 即2abp， 又12ab， 故6p， 所以抛物线的准线方程为3x， 故16 12362abps故选 c二、填空题【2016， 15】设直线2yxa与圆22:220cxyay相交于,a b两点， 若2 3ab， 则

9、圆c的面积为解析：4由题意直线即为20 xya， 圆的标准方程为2222xyaa，所以圆心到直线的距离2ad， 所以22222aaba2222 32a，故2224ar， 所以24sr故填4【2015， 16】已知 f 是双曲线c:2218yx的右焦点，p 是 c 左支上一点，(0,66)a， 当 apf 周长最小时，该三角形的面积为解：12 6 a=1，b2=8， c=3，f(3,0) 设双曲线的的左焦点为f1， 由双曲线定义知|pf|= 2+|pf1|， apf 的周长为 |p a|+ |pf|+|af|=|pa|+|af|+|pf1|+ 2， 由于 |af|是定值，只要 |pa|+|pf1

10、|最小，即 a,p,f1共线，(0,66)a， f1(-3,0)， 直线af1的方程为136 6xy， 联立8x2-y2=8 消去x 整理得y2+6 6y-96=0， 解得 y=2 6或 y=8 6(舍去 )， 此时 s apf=s aff 1-s pff13 (662 6)12 6三、解答题【2020， 20】设 a， b 为曲线 c：42xy上两点，a 与 b 的横坐标之和为4（1）求直线ab的斜率；（2） 设 m 为曲线 c 上一点， c 在 m 处的切线与直线ab平行， 且bmam， 求直线 ab 的方程解析：第一问： 【解法 1】设1122(,),(,)a x yb xy,ab 直线

11、的斜率为k， 又因为 a,b 都在曲线c 上， 所以4/211xy4/222xy-得2221122121()()44xxxxxxyy由已知条件124xx所以，21211yyxx即直线 ab的斜率 k=1【解法 2】设),(),(2211yxbyxa,ab 直线的方程为y=kx+b, 所以4/2xybkxy整理得：,4, 044212kxxbkxx且421xx所以 k=1 第二问：设00(,)m xy所以200/ 4yx又12yx所以00011,2,12kxxy所以 m（2,1） ，11(2,1)maxy，22(2,1)mbxy， 且ambm，0am bmg即05)()(221212121yyy

12、yxxxx， 设 ab 直线的方程为yxb，,4/2xybxy化简得0442bxx， 所以2212121,24,4byybyybxx由得0772bb所以 b=7 或者 b=-1(舍去 ) 所以 ab 直线的方程为y=x+7 【2016，20】在直角坐标系xoy中，直线:(0)lyt t交y轴于点m，交抛物线2:2(0)cypx p于点p，m关于点p的对称点为n， 连结on并延长交c于点h（1）求ohon；（ 2）除h以外，直线mh与c是否有其他公共点？请说明理由解析（1）如图 ，由题意不妨设0t，可知点,m p n的坐标分别为0,mt，2,2tptp，2,nttp，hnpmoyx从而可得直线o

13、n的方程为yxpt， 联立方程22pxtypxy， 解得22xtp，2yt即点h的坐标为22,2ttp， 从而由三角形相似可知22hnohytonyt（2）由于0,mt，22,2thtp， 可得直线mh的方程为22tytxtp，整理得2220typxt， 联立方程222202tyypxtpx， 整理得22440tyyt，则2216160tt， 从而可知mh和c只有一个公共点h【2015， 20】已知过点 a(0, 1)且斜率为 k的直线 l与圆c：(x-2)2+(y-3)2=1交于m,n两点. ()求k的取值范围；()uuuu r uuu rom on =12， 其中o为坐标原点，求|mn|.

14、 解：()依题可设直线 l的方程为 y=kx+1， 则圆心 c(2,3)到的l距离2|231|11kdk. 解得474733k-+. 所以k的取值范围是4747(,)33. ()将y=kx+1代入圆c的方程整理得 (k2+1)x2-4(k+1)x+7=0. 设m(x1, y1),n(x2, y2)， 则1212224(1)7,.11kxxx xkk所以uuuu r uuu rom on =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k (x1+x2)+1 24 ( +1)8+1k kk=12， 解得k=1 =1k， 所以l的方程为 y=x+1. 故圆心在直

15、线 l上， 所以|mn|=2. 【 2013， 21 】已知圆 m：(x1)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆 p与圆 m外切并且与圆n内切，圆心 p的轨迹为曲线 c. (1)求c的方程；(2)l是与圆 p， 圆 m都相切的一条直线，l与曲线 c交于 a， b两点，当圆 p的半径最长时，求 |ab|. 解：由已知得圆m 的圆心为m(1,0)， 半径 r1 1；圆 n 的圆心为n(1,0)， 半径 r2 3.设圆 p 的圆心为 p(x， y)， 半径为 r. (1)因为圆 p 与圆 m 外切并且与圆n 内切，所以 |pm|pn|(r r1)(r2r)r1r2 4. 由椭圆的定义可知，曲线 c

16、 是以 m， n 为左、右焦点，长半轴长为2， 短半轴长为3的椭圆 (左顶点除外 )， 其方程为22=143xy(x2)(2)对于曲线c 上任意一点p(x， y)， 由于 |pm|pn|2r2 2，所以 r2， 当且仅当圆p 的圆心为 (2,0)时， r2. 所以当圆p 的半径最长时，其方程为 (x2)2y24. 若 l 的倾斜角为90 ， 则 l 与 y轴重合，可得 |ab|2 3. 若 l 的倾斜角不为90 ， 由 r1 r 知 l 不平行于 x 轴， 设 l 与 x 轴的交点为q， 则1|qprqmr， 可求得 q(4,0)， 所以可设l：yk(x4)由 l 与圆 m 相切得2|3 |1

17、kk1， 解得 k24. 当 k24时， 将224yx代入22=143xy，并整理得7x28x80，解得 x1,246 27，所以 |ab|21k|x2x1|187. 当 k24时， 由图形的对称性可知|ab|187. 综上，|ab|2 3或 |ab|187. 【2011， 20】在平面直角坐标系xoy中， 曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆c上（1）求圆c的方程；（ 2）若圆c与直线0 xya交于a，b两点， 且oaob，求a的值【解析】（ 1）曲线261yxx与y轴的交点为(0,1)， 与x轴的交点为322,0 ,32 2,0故可设c的圆心为3,t，则有2222312 2tt，解得1t则

18、圆c的半径为22313t， 所以圆c的方程为22319xy（2）设11,a x y，22,b xy， 其坐标满足方程组220,319.xyaxy消去y， 得方程22228210 xaxaa由已知可得，判别式2561640aa， 因此21,28256 1644aaax，从而124xxa，212212aax x由于oaob， 可得12120 x xy y又11yxa，22yxa所以212122()0 x xa xxa由得1a， 满足0， 故1a【2012， 20】设抛物线c：pyx22（0p）的焦点为f， 准线为l， a 为 c上一点，已知以 f为圆心，fa为半径的圆f交l于 b， d 两点。（1）若 bfd =90，abd 的面积为24， 求p的