初中数学数与式提高练习与难题和培优综合题压轴题

1、学习必备欢迎下载中学数学数与式提高练习与难题和培优综合题压轴题 含解析 一挑选题（共10 小题）1设 y=| x 1|+| x+1| ，就下面四个结论中正确选项（）ay 没有最小值b只有一个 x 使 y 取最小值c有限个 x（不止一个） y 取最小值d有无穷多个 x 使 y 取最小值2以下说法错误选项（）a2 是 8 的立方根 b± 4 是 64 的立方根c是的平方根d4 是的算术平方根3用同样多的钱，买一等毛线，可以买3 千克；买二等毛线，可以买4 千克，假如用买 a 千克一等毛线的钱去买二等毛线，可以买（）aa 千克 ba 千克 ca 千克 da 千克 4如图，长方形内的阴影部分

2、是由四个半圆围成的图形，就阴影部分的面积是（）abcd5已知 a，b，c 分别是 abc的三边长，且满意2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，就abc是（）a等腰三角形b等腰直角三角形 c直角三角形d等腰三角形或直角三角形6现有一列式子：552452； 5552 4452； 55552 44452就第个式子的运算结果用科学记数法可表示为（）a1.1111111×1016 b 1.1111111× 1027c1.111111× 1056d1.1111111×10177如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒学习必备欢迎下

3、载置，墨水水面高为h 厘米，就瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）abcd8假如 m 为整数，那么使分式的值为整数的 m 的值有（）a2 个 b3 个 c4 个 d5 个9如 4与可以合并，就 m 的值不行以是（）abcd10设 a 为的小数部分， b 为的小数部分就的值为（）a+ 1b+1c 1 d+1二填空题（共12 小题）11与最接近的整数是12规定用符号 m 表示一个实数 m 的整数部分，例如： =0， 3.14 =3按此规定 的值为13如，就=14如图，边长为 m+4 的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，如拼成的矩形一边长为4，就另一边长为15已知

4、a=2x+1，b 是多项式，在运算b+a 时，某同学把b+a 看成了 b÷a，结果得 x2 3，就 b+a=学习必备欢迎下载16如 m 为正实数，且 m=3，就 m2=17因式分解： x2 y2+6y9=18已知： x2x1=0，就 x3+2x2+2002 的值为19如=+，对任意自然数n 都成立，就 a=，b=；运算： m=+=20已知三个数x，y，z 满意=3，=，=就的值为21无论 x 取任何实数，代数式都有意义，就 m 的取值范畴为22化简二次根式的正确结果是三解答题（共18 小题）23对于任何实数，我们规定符号的意义是：=adbc依据这个规定 请你运算：当 x23x+1=0

5、 时，的值24分解因式： a2+4b2+c44ab2ac2+4bc2125（ 1）运算：（ 2）先化简，再求值：，其中26如实数 x，y 满意（ x）（ y） =2021（ 1）求 x，y 之间的数量关系；（ 2）求 3x22y2+3x3y 2021 的值27已知 x， y 都是有理数，并且满意，求的值28已知+=0，求的值29已知 a2+b24a 2b+5=0，求的值30老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：学习必备欢迎下载（）÷=（ 1）求所捂部分化简后的结果：（ 2）原代数式的值能等于1 吗？为什么？ 31阅读以下材料，解决后面两个问题：

6、我们可以将任意三位数（其中 a、b、c 分别表示百位上的数字，十位上的数 字和个位上的数字， 且 a0），明显=100a+10b+c；我们形如和的两个三位数称为一对 “姊妹数 ”（其中 x、y、z 是三个连续的自然数）如：123 和 321是一对姊妹数， 678 和 876 是一对 “姊妹数 ”（ 1）写出任意两对 “姊妹数 ”，并判定 2331 是否是一对 “姊妹数 ”的和；（ 2）假如用 x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数 ”的和能被 37 整除32如我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（ xm+yn）例如：题：=1×19× 3÷（ 24+3

7、1）=3请依据这个规定解答以下问（ 1）运算：=；（ 2）代数式为完全平方式，就k=；（ 3）解方程：=6x2+7 33阅读与运算： 对于任意实数 a，b，规定运算 的运算过程为： ab=a2+ab依据运算符号的意义，解答以下问题（ 1）运算（ x1）（x+1）；（ 2） 当 m（ m+2）=（m+2）m 时 ， 求 m 的 值 34我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术 ”，即已知三角形 的 三边 长 ， 求 它 的 面 积 用现 代 式 子 表 示 即 为 ：学习必备欢迎下载（其中 a、b、c 为三角形的三边长， s 为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s

8、=（其中 p=）（ 1）如已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式和公式，计 算该三角形的面积s；（ 2）你能否由公式推导出公式？请试试35斐波那契（约11701250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列 数，他发觉该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n 为正整数）个数 an 可表示为 （）n（）n （ 1）运算第一个数a1；（ 2）运算其次个数a2；（ 3）证明连续三个数之间an1，an， an+1 存在以下关系： an +1an=an1（n2）；（ 4）写出斐波那契数列中的前8 个数36问题提出我们在分析解决某些数学问题时， 常常要比较两个数或代数式的大小

9、， 而解决问题的策略一般要进行肯定的转化，其中 “作差法 ”就是常用的方法之一所谓 “作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式 m 、n 的大小，只要作出它们的差mn，如 m n0，就 m n；如 m n=0，就 m=n；如 mn0，就 m n问题解决如图 1，把边长为 a+b（ a b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b 的小正方形及两个矩形， 试比较两个小正方形面积之和m 与两个矩形面积之和n 的大小解：由图可知： m=a2+b2，n=2ab mn=a2+b2 2ab=（ a b） 2 a b，（ ab）20 mn0 mn学习必备欢迎下载类比应用（ 1）

10、已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/ 千克和元/千克（a、b 是正数，且 ab），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低（ 2）试比较图 2 和图 3 中两个矩形周长m 1、n1 的大小（ bc）联系拓广小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4 所示（其中 bac 0），售货员分别可按图5、图 6、图 7 三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由37附加题：如 a=， b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b 的大小观看 a、b 的特点，以及你比较大小的过程，直接写出你发觉的一个一般结论 38解答一个问题后，将结论作为

11、条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个 “逆向”问题例如，原问题是 “如矩形的两边长分别为 3 和 4，求矩形的周长 ”，求出周长等于 14 后，它的一个 “逆向”问题可以是 “如矩形的周长为 14，且一边长为 3，求另一边的长 ”；也可以是 “如矩形的周长为 14，求矩形面积的最大值 ”，等等（ 1）设 a=，b=，求 a 与 b 的积；（ 2）提出（ 1）的一个 “逆向”问题，并解答这个问题 39能被 3 整除的整数具有一些特别的性质：学习必备欢迎下载（ 1）定义一种能够被3 整除的三位数的“f运”算：把的每一个数位上的数 字都立方， 再相加， 得到一个新数 例如=2

12、13 时，就：213 36（23+13+33=36）243（33+63=243）数字 111 经过三次 “ f运”算得，经过四次 “ f运”算得，经过五次 “f运”算得，经过 2021 次“f运”算得（ 2）对于一个整数，假如它的各个数位上的数字和可以被3 整除，那么这个数就肯定能够被 3 整除，例如，一个四位数，千位上的数字是 a，百位上的数字是b，十位上的数字为 c，个为上的数字为 d，假如 a+b+c+d 可以被 3 整除，那么这个四位数就可以被 3 整除你会证明这个结论吗？写出你的论证过程 （以这个四位数为例即可）40观看并验证以下等式：13+23=（1+2）2=9，13+23+33=

13、（1+2+3） 2=36，13+23+33+43 =（1+2+3+4） 2=100，（ 1）续写等式： 13+23+33+43+53= ；（写出最终结果）（ 2）我们已经知道 1+2+3+ +n= n（n+1），依据上述等式中所表达的规律，猜想结论： 13+23+33+ +（ n 1） 3+n3= ；（结果用因式乘积表示）（ 3）利用（ 2）中得到的结论运算： 33+63+93+ +573+603 13+33+53+ +（ 2n1）3（ 4）试对（ 2）中得到的结论进行证明学习必备欢迎下载中学数学数与式提高练习与难题和培优综合题压轴题 含解析 参考答案与试题解析一挑选题（共10 小题）1（ 2

14、021 秋.和平区校级期中）设y=| x 1|+| x+1| ，就下面四个结论中正确选项（）ay 没有最小值b只有一个 x 使 y 取最小值c有限个 x（不止一个） y 取最小值d有无穷多个 x 使 y 取最小值【分析】 依据非负数的性质，分别争论x 的取值范畴，再判定y 的最值问题【解答】 解：方法一：由题意得：当x 1 时， y=x+11x= 2x；当 1x 1 时， y=x+1+1+x=2；当 x1 时， y=x 1+1+x=2x；故由上得当 1x1 时， y 有最小值为 2； 应选 d方法二：由题意， y 表示数轴上一点 x，到 1， 1 的距离和，这个距离和的最小值为 2，此时 x

15、的范畴为 1 x1，应选 d【点评】此题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，留意按未知数的取值分情形争论2（2021 秋.郑州月考）以下说法错误选项（）a2 是 8 的立方根 b± 4 是 64 的立方根c是的平方根d4 是的算术平方根【分析】 正数平方根有两个，算术平方根有一个，立方根有一个【解答】 解： a、2 是 8 的立方根是正确的，不符合题意；b、4 是 64 的立方根，原先的说法错误，符合题意；学习必备欢迎下载c、是的平方根是正确的，不符合题意；d、4 是的算术平方根是正确的，不符合题意应选： b【点评】 此题考查立方根，平方根和算术平方根的概念3（2021 秋.

16、全椒县期中）用同样多的钱，买一等毛线，可以买3 千克；买二等毛线，可以买 4 千克，假如用买 a 千克一等毛线的钱去买二等毛线，可以买（）aa 千克 ba 千克 ca 千克 da 千克【分析】 先设出买 1 千克的一等毛线花的钱数和买1 千克的二等毛线花的钱数，列出一等毛线和二等毛线的关系，再乘以a 千克即可求出答案【解答】 解：设买 1 千克的一等毛线花x 元钱，买 1 千克的二等毛线花y 元钱，依据题意得：3x=4y， 就=，故买 a 千克一等毛线的钱可以买二等毛线a 应选 a【点评】此题考查了列代数式，解题的关键是认真读题，找出等量关系，列出代数式，是一道基础题4（2021.江干区模拟）

17、如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，就阴影部分的面积是（）abcd【分析】 观看图形可知：阴影部分的面积=大圆的面积小圆的面积，大圆的直学习必备欢迎下载径=a，小圆的直径 =，再依据圆的面积公式求解即可【解答】 解：据题意可知：阴影部分的面积s=大圆的面积 s1小圆的面积 s2，据图可知大圆的直径 =a，小圆的半径 =，阴影部分的面积s=（） 2 （）2 =（2ab b2）应选 a【点评】此题主要考查同学的观看才能，只要判定出两圆的直径， 问题就迎刃而解此题涉及到圆的面积公式、 整式的混合运算等学问点，是整式的运算与几何相结合的综合题5（ 2021.湖北校级自主招生）已知a， b，

18、 c 分别是 abc 的三边长，且满意2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，就 abc是（） a等腰三角形b等腰直角三角形 c直角三角形d等腰三角形或直角三角形【分析】 等式两边乘以 2，利用配方法得到（ 2a2 c2）2+（2b2 c2）2=0，依据非负数的性质得到 2a2c2=0，2b2 c2=0，就 a=b，且 a2+b2=c2然后依据等腰三角形和直角三角形的判定方法进行判定【解答】 解： 2a4+2b4+c4=2a2 c2+2b2c2， 4a4 4a2c2+c4+4b4 4b2c2+c4=0，（ 2a2c2）2+（ 2b2 c2）2 =0， 2a2 c2=0，2b2c2=0，

19、c=a，c=b， a=b，且 a2+b2=c2 abc为等腰直角三角形应选： b【点评】 此题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式是解决问题的关键6（2021.河北模拟）现有一列式子： 552452；5552 4452；55552 44452就第个式子的运算结果用科学记数法可表示为（）学习必备欢迎下载a1.1111111×1016 b 1.1111111× 1027c1.111111× 1056d1.1111111×1017【分析】依据题意得出一般性规律，写出第8 个等式，利用平方差公式运算，将结果用科学记数法表示即可【 解 答 】 解 ： 根 据 题

20、 意 得 ： 第 个 式 子 为5555555552 4444444452=（ 555555555+444444445）×（ 555555555444444445） =1.1111111×1017应选 d【点评】 此题考查了因式分解运用公式法，以及科学记数法表示较大的数， 娴熟把握平方差公式是解此题的关键7（2021 春.雁江区期末）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置， 墨水水面高为 h 厘米， 就瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）abcd【分析】设第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用其次个图可得空余部分的体积

21、，进而可得玻璃瓶的容积， 让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可【解答】 解：设规章瓶体部分的底面积为s 倒立放置时，空余部分的体积为bs，正立放置时，有墨水部分的体积是as因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的=，应选 a【点评】考查列代数式； 用墨水瓶的底面积表示出墨水的容积及空余部分的体积是解决此题的突破点学习必备欢迎下载8（2021 秋.乐亭县期末）假如m 为整数，那么使分式的值为整数的m 的值有（）a2 个 b3 个 c4 个 d5 个【分析】 分式，争论就可以了即 m+1 是 2 的约数就可【解答】 解：=1+，如原分式的值为整数，那么m+1= 2， 1，1 或 2由 m+1=2 得 m=3

22、；由 m+1=1 得 m=2； 由 m+1=1 得 m=0；由 m+1=2 得 m=1 m= 3， 2，0，1应选 c【点评】 此题主要考查分式的学问点，认真审题，要把分式变形就好争论了9（2004.十堰）如 4与可以合并，就 m 的值不行以是（）abcd【分析】依据同类二次根式的定义，把每个选项代入两个根式化简，检验化简后被开方数是否相同【 解 答 】 解 ： a 、 把代 入 根 式 分 别 化 简 ： 4=4=，=，应选项不符合题意；b、把代入根式化简： 4=4=；=，应选项不合题意；c、把代入根式化简： 4=4=1；=，应选项不合题意；d、把代入根式化简： 4=4=，=，故符合题意学习

23、必备欢迎下载应选 d【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开 方数相同， 这样的二次根式叫做同类二次根式需要留意化简前， 被开方数不同也可能是同类二次根式10（2021.邯郸校级自主招生） 设 a 为的小数部分， b 为的小数部分就的值为（）a+ 1b+1c 1 d+1【分析】 第一分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b 对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题【解答】 解：=， a 的小数部分 = 1；=， b 的小数部分 = 2，=应选 b【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是敏捷运用二次根式的运算法就来分析、判定、解答

24、学习必备欢迎下载二填空题（共12 小题）11（ 2021.雨花区校级自主招生）与最接近的整数是6【分析】 先利用完全平方公式将分母化简变形，再进行分母有理化即可【解答】解：=5.828，与最接近的整数是6故答案为： 6【点评】此题主要考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再分母有理化是解决问题的关键12（ 2021.常德）规定用符号 m 表示一个实数 m 的整数部分，例如： =0， 3.14 =3按此规定 的值为4【分析】 求出的范畴，求出+1 的范畴，即可求出答案【解答】 解： 34， 3+1+1 4+1， 4+15， +1 =4，故答案为： 4【点评】此题考查了估量无理数的应用

25、，关键是确定+1 的范畴， 题目比较新奇，是一道比较好的题目13（ 2021.德阳）如，就=6【分析】 依据非负数的性质先求出a2+、b 的值，再代入运算即可【解答】 解：，学习必备欢迎下载+（b+1） 2=0， a23a+1=0，b+1=0， a+=3，（ a+） 2=32， a2+=7； b=1=71=6故答案为： 6【点评】此题考查了非负数的性质，完全平方公式，整体思想，解题的关键是整体求出 a2+的值14（ 2021.佛山）如图，边长为 m+4 的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，如拼成的矩形一边长为 4，就另一边长为2m+4 【分析】依据拼成的矩形

26、的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解【解答】 解：设拼成的矩形的另一边长为x， 就 4x=（m+4）2 m2=（m+4+m）（m+4 m），解得 x=2m+4故答案为： 2m+4【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，依据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键学习必备欢迎下载15（2021.河南模拟）已知 a=2x+1，b 是多项式，在运算b+a 时，某同学把 b+a看成了 b÷ a，结果得 x23，就 b+a=2x3+x2 4x2【分析】由 b 除以 a 商为 x23，且 a=2x+1，利用被除数等于商乘以除数，表示出 b，利用多项式乘以多项式的法就运算，

27、确定出b，再由 b+a 列出关系式，去括号合并后即可得到结果【解答】 解：依据题意列出b=（2x+1）（ x23）=2x36x+x2 3=2x3+x2 6x3，就 b+a=（2x3+x2 6x3）+（2x+1）=2x3+x24x2故答案为： 2x3 +x24x2【点评】此题考查了整式的加减运算，涉及的学问有：去括号法就，以及合并同类项法就，娴熟把握法就是解此题的关键16（ 2021.乐山）如 m 为正实数，且 m=3，就 m2=3【分析】由，得 m23m1=0，即出 m 的值，代入，解答出即可；=，由于 m 为正实数，可得【解答】 解：法一：由得，得 m2 3m 1=0，即=， m1=，m2=

28、，由于 m 为正实数， m=，=（）（）=3×（），=3×，=；法二：由平方得： m2+2=9，m2+2=13，即（ m +） 2=13，又 m 为正实数，学习必备欢迎下载 m+=，就=（ m+）（m）=3故答案为：【点评】 此题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m 的值代入前，肯定要把代数式分解完全，可简化运算步骤17（ 2002.益阳）因式分解： x2 y2+6y9=（x y+3）（ x+y 3）【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解此题后三项提取 1 后 y2 6y+9 可运用完全平方公式，可把后三项分为一组【解答】 解： x2y2 +6y 9

29、，=x2（ y2 6y+9），=x2（ y3）2，=（xy+3）（x+y3）【点评】此题考查了用分组分解法进行因式分解难点是采纳两两分组仍是三一分组此题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组18（ 2002.福州）已知： x2x1=0，就 x3+2x2+2002 的值为2003【分析】把 2x2 分解成 x2 与 x2 相加，然后把所求代数式整理成用x2x 表示的形式，然后代入数据运算求解即可【解答】 解： x2 x 1=0， x2x=1， x3+2x2+2002，=x3+x2+x2+2002，=x（x2x）+x2+2002，=x+x2+2002，=1+2002，=2003故答案为： 2

30、003【点评】此题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式学习必备欢迎下载是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要19（ 2021.梅州）如=+，对任意自然数n 都成立，就a=， b=；运算： m=+=【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法就运算，依据题意确定出a 与 b 的值即可；原式利用拆项法变形，运算即可确定出m 的值【解答】 解：=+=，可得 2n（a+b）+ab=1，即，解得： a=，b=；m=（1+） =（ 1） =，故答案为：；【点评】 此题考查了分式的加减法，娴熟把握运算法就是解此题的关键20（2021.涟水县校级一模）已知三个数x，y，z 满意=3

31、，=，=就的值为 6【分析】先将该题中全部分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出值，从而得出代数式的值的【解答】 解：= 3，=，=，=，=，整理得，+=，+=，+=， + +得，+=+=，=，=，=6学习必备欢迎下载故答案为： 6【点评】此题考查了分式的化简求值， 将分式的分子分母颠倒位置后运算是解题的关键21（2021.六盘水）无论 x 取任何实数，代数式都有意义，就 m 的取值范畴为m9【分析】 二次根式的被开方数是非负数，即x26x+m=（x3）2 9+m0，所以（x 3）29m通过偶次方（ x3）2 是非负数可求得9m0，就易求 m的取值范畴【解答】 解：由题意，得x2 6x+m 0，

32、即（ x3）29+m 0，（ x 3） 2 0，要使得（ x 3） 29+m 恒大于等于 0， m90， m9，故答案为： m9【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性 质：二次根式中的被开方数必需是非负数，否就二次根式无意义22（ 2021.琼海模拟）化简二次根式的正确结果是【分析】 依据二次根式的性质及定义解答【解答】 解：由二次根式的性质得a3b0 a b a 0，b 0原式 =a【点评】 解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地， 形如（a0）的代数式叫做二次根式 2、性质：=| a| 三解答题（共18 小题）学习必备欢迎下载23（2021.东莞校级一模） 对

33、于任何实数， 我们规定符号的意义是：=ad bc依据这个规定请你运算：当x2 3x+1=0 时，的值【分析】应先依据所给的运算方式列式并依据平方差公式和单项式乘多项式的运算法就化简，再把已知条件整体代入求解即可【解答】 解：=（x+1）（x1） 3x（x 2），=x213x2 +6x，=2x2 +6x1， x23x+1=0， x23x=1，原式 =2（x2 3x） 1=2 1=1【点评】此题考查了平方差公式， 单项式乘多项式， 弄清晰规定运算的运算方法是解题的关键24（ 2021 秋.昌江区校级期末）分解因式：a2 +4b2+c44ab2ac2+4bc21【分析】 先分组得到原式 =（ a2+

34、4b2 4ab）+（ 2ac2+4bc2） +（ c41），再依据完全平方公式，提取公因式法，平方差公式得到原式=（2ba）2+2c2（2b a）+（c2+1）（ c21），再依据十字相乘法即可求解【解答】 解： a2+4b2+c4 4ab2ac2+4bc2 1=（a2+4b24ab）+（ 2ac2+4bc2）+（c4 1）=（2ba）2+2c2（2b a） +（ c2 +1）（ c21）=（2ba+c2+1）（ 2ba+c2 1）【点评】此题考查了因式分解分组分解法，此题关键是式子分组， 以及娴熟把握完全平方公式，提取公因式法，平方差公式，十字相乘法的运算方法25（2021.黔西南州）（1）

35、计算：（ 2）先化简，再求值：，其中【分析】（1）先分别依据 0 指数幂、负整数指数幂、有理数乘方的法就及特别角学习必备欢迎下载的三角函数值运算出各数，再依据实数混合运算的法就进行运算即可；（ 2）先依据分式混合运算的法就把原式进行化简，再把x 的值代入进行运算即可【解答】 解：（1）原式=1×4+1+|2×|=4+1+| ，=4+1+0，=5；（ 2）原式 =当 x= 3 时，原式 =【点评】此题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法就是解答此题的关键26如实数 x，y 满意（ x）（ y） =2021（ 1）求 x，y 之间的数量关系；（ 2）求 3x

36、22y2+3x3y 2021 的值【分析】（1）将式子变形后， 再分母有理化得式： x=y+，同理得式： x+=y，将两式相加可得结论；（ 2）将 x=y 代入原式或式得： x2=2021，代入所求式子即可【解答】 解：（1）（ x）（y）=2021， x=y+，同理得： x+=y，学习必备欢迎下载 +得： 2x=2y， x=y，（ 2）把 x=y 代入得： x=x+，x2=2021，就 3x22y2+3x 3y2021，=3x2 2x2 +3x3x2021，=x22021，=20212021，=1【点评】此题是二次根式的化简和求值，有难度， 考查了二次根式的性质和分母 有理化；二次根式中分母

37、中含有根式常常运用分母有理化来解决，分母有理化常常是乘二次根式本身 （分母只有一项） 或与原分母组成平方差公式此题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论27（2021 春.启东市月考）已知 x，y 都是有理数，并且满意，求的值【 分 析 】 观 察 式 子 ， 需 求 出x ， y的 值 ， 因 此 ， 将 已 知 等 式 变 形 ：，x，y 都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可【解答】 解：， x，y 都是有理数， x2+2y 17 与 y+4 也是有理数， 解得有意义的条件是xy，取 x=5，y=4，学习必备欢迎下载【点评】此类问题求解， 或是转换式子， 求出各个未知数的值， 然后代

38、入求解 或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解28（ 2021 春.滨海县月考）已知+=0，求的值【分析】由于一个数的算术平方根是非负数，先由非负数的和等于0，求出 a、b的值，把 a、b 代入并求出的值【解答】 解：0，0，又+=0， a，b+2=0， 即 a=， b=2 a2+b2+7=（）2+（ 2）2 +7=5+4+4+5 4+4+7=25=5【点评】此题考查了非负数的算式平方根和二次根式的化简解决此题的关键是依据非负数的和为零求出a、b 的值中学阶段学过的非负数有：一个数的肯定值、一个数的偶次方、一个数的算术平方根29（ 2021.海淀区校级模拟）已知a2+b24a2b+

39、5=0，求的值【分析】 由条件利用非负数的性质可先求得a、b 的值，再代入运算即可【解答】 解： a2+b2 4a2b+5=0（ a2） 2+（b1）2=0 a=2，b=1，=7+学习必备欢迎下载【点评】 此题主要考查二次根式的运算，利用非负数的性质求得a、b 的值是解题的关键30（2021.滦南县一模） 老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：（）÷=（ 1）求所捂部分化简后的结果：（ 2）原代数式的值能等于1 吗？为什么？【分析】（1）设所捂部分为 a，依据题意得出 a 的表达式，再依据分式混合运算的法就进行运算即可；（ 2）令原代数式的值为

40、 1，求出 x 的值，代入代数式中的式子进行验证即可【解答】 解：（1）设所捂部分为 a，就 a=.+=+=；（ 2）如原代数式的值为 1，就=1，即 x+1=x+1，解得 x=0，当 x=0 时，除式=0，故原代数式的值不能等于1【点评】此题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要留意x 的取值要保证每一个分式有意义31（ 2021.重庆校级模拟）阅读以下材料，解决后面两个问题：我们可以将任意三位数（其中 a、b、c 分别表示百位上的数字，十位上的数学习必备欢迎下载字和个位上的数字， 且 a0），明显=100a+10b+c；我们形如和的两个三位数称为一对 “姊妹数 ”（其中 x、y、z

41、是三个连续的自然数）如：123 和 321是一对姊妹数， 678 和 876 是一对 “姊妹数 ”（ 1）写出任意两对 “姊妹数 ”，并判定 2331 是否是一对 “姊妹数 ”的和；（ 2）假如用 x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数 ”的和能被 37 整除【分析】（1）依据 “姊妹数 ”的意义直接写出两对 “姊妹数 ”，依据 “姊妹数 ”的意义设出一个三位数，表示出它的“姊妹数 ”，求和，用 2331 建立方程求解，最终判定即可；（ 2）表示出这对 “姊妹数 ”，并且求和，写成37×6（x 1），判定 6（ x1）是整数即可【解答】 解：（ 1）依据“姊妹数 ”满意的条件得，和

42、是一对姊妹数，和是一对姊妹数；假设是一对 “姊妹数 ”的和，设这对 “姊妹数 ”中的一个三位数的十位数字为x，个位数字为 （x 1），百位数字为（ x+1），（x 为大于 1 小于 9 的整数），这个三位数为100（x+1）+10x+x1=111x+99，另一个三位数的十位数字为x，个位数字为（ x+1），百位数字为（ x 1），就这个三位数为 100（ x1）+10x+x+1=111x99，这对 “姊妹数 ”的和为（ 111x+99）+（111x99）=222x=2331， x=10，不符合题意， 2331 不是一对 “姊妹数 ”的和；（ 2） x 表示一个三位数的百位数字， （x 为大于

43、2 小于 9 的整数），依据“姊妹数 ”的意义得， 这个三位数的十位数字为 （x 1），个位数字为 （x 2），这个三位数为： 100x+10（ x 1）+（x2）=111x12，它的 “姊妹数 ”为： 100（x2）+10（x1）+x=111x210，这对 “姊妹数 ”的和为：（ 111x12）+（111x210）=222x 222=222（ x 1）=37× 6（ x1）， x 为大于 2 小于 9 的整数，（ x 1）是整数，学习必备欢迎下载 6（ x1）是整数， 37×6（x1）能被 37 整除，即：任意一对 “姊妹数 ”的和能被 37 整除【点评】此题是因式分解的

44、应用，主要考查了新定义，解一元一次方程，这出问 题，解此题的关键是懂得“姊妹数 ”的意义，并且会用它解决问题32（ 2021 春.崇仁县校级月考）如我们规定三角“”表示为： abc；方框“”表示为：（ xm+yn ）例如：=1× 19×3÷（ 24+31）=3请依据这个规定解答以下问题：（ 1）运算：=；（ 2）代数式为完全平方式，就k=± 3；（ 3）解方程：=6x2+7【分析】（1）依据新定义运算代入数据运算即可求解；（ 2）依据新定义运算代入数据运算，再依据完全平方式的定义即可求解；（ 3）依据新定义运算代入数据得到关于x 的方程，解方程即可求解【

45、解答】 解：（1）= 2×（ 3）× 1 ÷ （ 1）4+31 =6÷4=故答案为：；学习必备欢迎下载（ 2）= x2+（ 3y）2+ xk.2y=x2+9y2+2kxy，代数式为完全平方式， 2k=±6， 解得 k=± 3故答案为：± 3；（ 3）=6x2+7，（ 3x2）（ 3x+2） （ x+2）（3x2）+32 =6x2+7，解得 x= 4【点评】 此题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键， 留意：完全平方公式为：（a+b） 2=a2+2ab+b2，（ ab）2=a2 2ab+b233（ 2021

46、.太原二模）阅读与运算：对于任意实数a，b，规定运算 的运算过程为： ab=a2+ab依据运算符号的意义，解答以下问题（ 1）运算（ x1）（x+1）；（ 2）当 m（ m+2）=（m+2）m 时，求 m 的值【分析】（1）依据题目中的新运算可以化简题目中的式子；（ 2）依据题目中的新运算可以对题目中的式子进行转化，从而可以求得 m 的值【解答】 解：（1） ab=a2+ab，（ x 1） （x+1）=（x1）2 +（ x1）（ x+1）=x22x+1+x2 1=2x2 2x；学习必备欢迎下载（ 2） ab=a2+ab， m（m+2）=（m+2）m即 m2+m（m+2）=（m+2） 2+（m+

47、2）m， 化简，得4m+4=0，解得， m=1， 即 m 的值是 1【点评】此题考查整式的混合运算、解一元一次方程、新运算，解题的关键是明确题目中的新运算，利用新运算解答问题34（2005.台州）我国古代数学家秦九韶在 数书九章 中记述了 “三斜求积术 ”，即 已 知 三 角 形 的 三 边 长 ， 求 它 的 面 积 用 现 代 式 子 表 示 即 为 ：（其中 a、b、c 为三角形的三边长， s 为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=（其中 p=）（ 1）如已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式和公式，计 算该三角形的面积s；（ 2）你能否由公式推导出公式？请试试【分析】（1）代入运算即可；（ 2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变， 构成完全平方公式，再进行运算【解答】 解：（1）s