BBD210函数的图形课件

1、BBD210函数的图形1第十节一、一、 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点二、二、 函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘 第二章 BBD210函数的图形22xy 无渐近线 .点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线 .例如, 双曲线12222byax有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差纵坐标差”NLbxkyMxyoC)(xfy PxyoBBD210函数的图形31. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线.by

2、)(x或若,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有垂直渐近线.0 xx )(0 xx或例例1. 求曲线211xy的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线.21BBD210函数的图形4AB二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点BBD210函数的图形5定义定义 . 设函数)(xf在区间 I 上连续 ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凸凸的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2x二、曲

3、线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点BBD210函数的图形6定理定理2.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 内,0)( xf则 在 I 内图形是凹的 ;)(xf(2) 在 I 内,0)( xf则 在 I 内图形是凸的 .)(xf设函数在区间I 上有二阶导数定义定义 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点 .yox拐点拐点BBD210函数的图形7例例1. 判断曲线4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线4xy 在),(上是凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy

4、 ,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,xyoBBD210函数的图形8例例2. 求曲线3xy 的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线3xy 的拐点 .oxy凹凸3292xxBBD210函数的图形9xxy24362 )(3632xx例例3. 求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解:1) 求y ),(1223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx对应3) 列表判别271

5、121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上凹,凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132BBD210函数的图形10例例4 4 求证)1ln(arctan22xxx证法证法3：设)1ln(arctan2)(2xxxxfxxxxxxxfarctan21212arctan2)(220令00)(xxf)(xf0)0()( fxf为凹函数，无论x为什么值，总有)1ln(arctan22xxx则不等式成立212)(xxf BBD210函数的图形11三、函数图形的描绘三

6、、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周BBD210函数的图形1222331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2)xxy2222 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy1332201231例例5. 描绘);

7、2( xx, ) 1(2xBBD210函数的图形13例例6. 描绘函数21y22xe的图形. 解解: 1) 定义域为, ),(图形对称于 y 轴.2) 求关键点 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)BBD210函数的图形14(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA2121y22xeBBD210函数的图形15水平渐近线 ; 垂直渐近线; 内容小结内容小结1. 曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行3