清华大学杨虎应用数理统计课后习题参考答案20001

1、习题二1正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量XL N（4.55,0.108 2）.现在测试了 5炉铁水，其含碳量分别为 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37.如果方差没有改变，问总体的均值 有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（:=0.05）?解 由题意知 X N（4.55,0.108 2）, n= 5,a =0.05，5展2 = u0.975 = 1.96，设立统计原假设H。：-0,Hi- -'-0拒 绝 域 为K°=|， 临 界 值c =Ui_：/2 厶-1.96 0.108/ -0.0947，由于 反卩。| =|4.364 4.55 =0

2、.186 ac，所以拒绝 H。，总体的均值有显著性变化.2 2 2 2设立统计原假设 H。：二-°,已：二-c?0由于"二 ,所以当=0.05时1 nS2 =迟（Xj _巴2 =0.03694，监.025（5） =0.83,尤爲5（5） =12.83, n i哥G = 0.025（5）/ 5 = 0.166, c? = 0.975（5） / 5 = 2.567拒绝域为K0.皆/二0 c或S2/；：“由于S2/V =3.167 2.567，所以拒绝H。，总体的方差有显著性变化.2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为X =950h .已知该种

3、元件寿命 xL N（100f2），问这批元件是否合格（=0.05）? 解 由题意知 xL N（100，二2），设立统计原假设H。一 ,比：0,一 100.： =0.05.拒绝域为K0 =|X 卩0 >c临界值为 c = u0.05 /需=u0.05 10Q：=-32.9由于X - = -50 ： c，所以拒绝H °，元件不合格.3某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g，现从某天生产的罐头中随机抽测 9罐，其重量分别为 510，505，498，503，492，502，497，506，495（g），假定罐头重量服从正态分布.问（1）机器工作是否正常（G =0.05）

4、? 2）能否认为这批罐头重量的方差为5.52 O =0.05）?解（1 ）设X表示罐头的重量（单位：g）.由题意知XLN（；2）已知设立统计原假设 H。- J =500 ,比：'计，拒绝域K0=|x-% . c?当 一 =0.05时，X =500.89, s2 =34.5,s =5.8737临界值 c=ty2（n 1） ”s/JF =4.5149，由于 |X 出| =0.8889vc，所以接受H0，机器工作正常.（2）设X表示罐头的重量（单位：g）.由题意知X L N（j二2），二已知设立统计原假设H0 : ；2 -；2 = 5.52 , HroSyf拒绝域为K0 -嘲;: &

5、心询2匚0 ql当=0.05时，可得X =500.89,/ =34.5，尤爲5（5） = 2.7,鬻加=19.02,° = 0.3,g =2.11由于s2.匚；=1.0138 K。,所以接受H。，可以认为方差为5.52.4某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为3.399（元/500克），标准差为0.269（元/500克）.已知往年的平均售价一直 稳定在 3.25 （元/500克）左右，问该市当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？（:=0.05）解 设X表示市场鸡蛋的价格（单位：元/克），由题意知xL N（F2）设立统计原假设 H 0=% = 3.25,

6、比,拒绝域为K0 = 'X - "0 - c/当：=0.05 时，X =3.399,-0.269,n = 20，临界值 c 二叫 二.A = 0.0992由于X - % = 3.399 - 3.25二0.149 - c所以拒绝H 0，当前的鸡蛋售价明显高于 往年.5已知某厂生产的维尼纶纤度xL N（J,0.0482），某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，问这天生产的维尼纶纤度的 方差二2是否明显变大了（=0.05）?解 由题意知 X L N（,0.0482），二=0.05设立统计原假设H0:；2 =：璟

7、=0.0482,H1:；2 二2 =0.0482拒绝域为K0 =s2；上02 &，当二=0.05时，X =1.4213, S2 =0.0055，乂：.95（7） =14.07,。=兀95（7） =2.00962 2由于s .：上0 2.3988 c ,所以拒绝Ho，认为强度的方差明显变大.6某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000 h，标准差不得超过130h.现从一批该种元件中抽取 25只,测得寿命均值1950h,标准差S = 148h.设元件寿命服从正态 分布，试在显著水平：=0.05下，确定这批元件是否合格.解 设X表示电子元件的平均寿命(单位： h)，由题意知XL N(巴er2

8、)设立统计原假设 H00=2000，H,：1 v%拒绝域为 K'.X - J0 <C?当：=0.05时，X=1950,s=148，临界值 c=t_(n- 1)s J =-50.64由于X-% = -50 c，所以接受H。，即这批电子元件的寿命是合格的.7设X1,X2,.,Xn为来自总体XL|N(i,4的样本，已知对统计假H。：=1；出：=2.5的拒绝域为 x'x 211 )当n =9时，求犯两类错的概率:与 一：；2)证明：当 n t 二时，：-0 ,- t0.解 (1 )由题意知 X N(*4), H0-1;比-2.5,K0 =X n =9.犯第一类错误的概率为f X

9、12 1、Of =P(X a2 A=1)=p| 二a亍79 =1.5 =1-0(1.5)=0.0668.犯第二类错误的概率为P = P(X 兰2»=2.5)=P V9 兰V9 = -0.75< 2 2 丿=：(-0.75) =1-：(0.75) =0.2266.(2)若 H。：丄=1 成立，则 X LI N(1,4)n =P(否定 H。H0成立)=pX n% +c=1 _pX £ 卩0 + c = 1_6(Vnc/%)当 nr 时，叮(nc.u0)r 1,所以：rr 0(n ;)同理 =二P、Xvi0+c?=：(、n(%+c Jj/f)：(：)=0 (n > -

10、)8设需要对某一正态总体 N(i,4)的均值进行假设检验 H。：=15 ,比：v 15 取检验水平 a =0.05试写出检验 H0的统计量和拒绝域.若要求当H1中的=13时犯 第二类错误的概率不超过 1 =0.05，估计所需的样本容量 n.解 由题意知 XLlN(»4),二已知，设立统计原假设 1=15,：15则拒绝域为K0=<X15£C)，其中临界值C= %.05刃需=一3.3妬犯第二类错误的概率一3 31=P X 15=34=13= p"X_132 亦二 3.3、< 0.05即（jn_1.65）王0.95，化简得 n >3.311.H

11、6;r - 0；H1 -J1 其中_ 201，试证明：n =（1_：.1_J 1、2（已巴）9设X1,X2，,Xn为来自总体XN（J；0）的样本，二：为已知，对假设:犯第一，二类错误分别为二，：，则有，-P（X 乜丄0 c|"0）= c = 50解（1）当*>%时，由题意知H°r - J；比- r %；匕=P（X 乞 % cH - "i） = P（X 一"1 ,n 乞 U- "1一 .nH - *）= °071U1J I%已一卩0 25_：. U1n= n 二 5_：. U1 二（2）当I。时由题意知H°。屮1宀-U:

12、二 P（X ： % c| %）= c 二 u冬，犯第一，二类错误分别为:，则有-0-np =P（X王气+c岸=片）=P（X _片vn Ua+卩0 _比你卍=气）二°0°0 0-卩' -0气一气厂5 内=u + Jn n''-o斥二 n = （Uy+ U1）-2二021 010设 Xt,.,X 仃 为2o ,样）本，对假设：统计假设为 H°Y2 =9,已U2 =2.905.拒绝域为 K0 S2 ”： 4.93则犯第一，二类错误的概率:-/分别是2 2Ho= =9,比：二=2.905 的拒绝域为 K0 s2 ：4.93?.求犯第I类错误的概率：

13、和犯第n类错的概率-.ns2解由题意知 xLn（0,；2）, 2（n）.CT2:=p s2 < 4 2二 0.025二 P S ：4 卜 2= 3.319 =1-P917S217x4<= 20.488 =1 0.75 = 0.253.3193.31911设总体是密度函数是g)”0 兀10,其他统计假设 H°=1,H1=2 .现从总体中抽取样本X-X2 ,拒绝域3K = _X2 ，求：两类错误的概率 :-,:4X1解由题意知H0: J -1；H1 -2,K0 _X2 ,n =2.l4X1 J11,0 ： x<, x2 : 1 当。“时，gTiugfsr 0,其他3ot

14、 = P兰X2日=1<4X1)此时当-2时,f (x1,x2)dx1dx0.25 0.75In 0.75.4X2x,0 vx <1f(x；2八0,其他 .f(x1,x2)=4x,x2,0 x1,x2 :1I0,其他此时=p9911 f (x1, x2)dx1dx2In 0.75.3168x24为12设总体X L N（；2），根据假设检验的基本原理，对统计假设：H0 -0,比】（ ）仟已知）；H。一 ,比。（二未知），试分 析其拒绝域解由题意知X L N（r2），当H。： - *屮1= 7（7。）成立时a =P(X 卩 ACc二_二 5 c u1 <, K0-/ . n、n所以

15、拒绝域为 K0 X -亠0 /当Ho*。, Hiio成立时二 P(X卩 £C 卩出)KP(X 4。£C)=cr-n,Ko7。： C所以拒绝域为Ko=、X - "0 ：: C /13设总体X L N(d；2)根据假设检验的基本原理，对统计假设:H。： ；2 = =；, H1 : ；2 三(已知)；Hoco, H1 r2试分析其拒绝域解由题意知XN(巴<r2)(1 )假设统计假设为Ho2=r(2，Hi2(2其中已知当H。成立时,拒绝域形式为Ko =>cJ2 2亠 ns ns 由-oLI 2(n)，可得:-=P2 ns-0>ncJ所以nc二!-.(n)

16、，由此可得拒绝域形式为2、-oKo =1> nijn)(2)假设统计假设为 HoU2 vnHiU2。其中"未知当H。成立时，选择拒绝域为Ko =4>c，由(n-1)s2:二22(n-1)622 、"1c汗呼"1c所以(n -1)c = 2_-.(n -1)，由此可得拒绝域形式为Ko =12 s2 -014从甲、乙两煤矿各取若干样品，得其含灰率（为，甲:24.3, 20.8, 23.7, 21.3,2 217.4,乙:18.2, 16.9, 20.2, 16.7 .假定含灰率均服从正态分布且G =6，问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异（： =0.05）？

17、解 由题意知 XN（叫，；2）,Y _ N（2Q2）设统计假设为H0:叫n/H*叫-其中m=5,n2=4当=0.05时拒绝域为 K0 =|X y| >c= 2.2136(n1-1)s2 血-饥； 彳 片+ n2 _22.3238,t./2(n1 n2 - 2) =2.3646临界值 c=ti.2(n1+n2 -2) q、.、1/ (m 1 n2) = 3.6861拒绝域为K0 =饭0卜c = 3.6861而x-y =3.c,接受H°,认为没有差别.15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为（单位：kg/cm 2）:甲：8

18、8，87，92，90，91乙：89，89，90，84，88假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且二；=；打.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高（:-=0.05）？解 由题意知 X L N（叫f2）,Y _ N（2,二2）设统计假设为H0:叫=讪出1 = "2，其中n 1=5,n2=5当:=0.05时I2 丄2丸=-彷（n2"1）s2 =2.2136151 52-2）1.86,厲压-2临界值 C=t1_： 2（门1+门2 -2） Sw ,1/（5 1.） =2.2136= 1.6：c,所以接受Ho，认为甲的抗拉强度比乙的要高16甲、乙两车床生产同一种零件 个，测得其外径（单

19、位：mm）为：甲：15.0，14.5，15.2，15.5, 乙：15.2, 15.0，14.8，15.2, 假定其外径都服从正态分布，（:=0.05）？.现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和914.8，15.1，15.2，14.815.0，15.0，14.8，15.1，14.8问乙车床的加工精度是否比甲车床的高解 由题意知 X L N（叫，；2）,Y _ N（2,；2）2 2 2 2设统计假设为 H0：g - - 2；H11 :;2，其中 n1=8,n2=9当 cc=0.05时 s： =0.0955,s： =0.0261，临界值。=卩少-1,匕-1） = 0.268422拒绝域为K0 =乌:

20、c，而F =电=3.6588 c，接受H0，认为乙的精度高 勺jsy17要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对，再随机选取8架飞机，将 8对轮胎磨损量（单位：mg）数据列表如下：Xi （甲）4900522055006020634076608650 4870yi（乙）49304900514057006110688079305010试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？G =0.05）.假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足X|_ N（叫，二2）,丫 _ n（2,；2）且两个样本相互独立.解 由题意知 X N（叫芒2）,丫 _ n（）2&2）设统计假设为 H

21、门叫二”2*7"2，其中n-i = n2 = n=8当=0.05时，令_ 1 n _ 2Z=X Y,W=320,s；=送（z 乞）=102200, Sz =319.69乙应2（ n1） = 2.3646 n -1 y拒绝域为 心=吃|>"，临界值c=t1a2（n1）-sz 'Jn= 2138而Z = 320 v c，所以接受H °，认为两种轮胎耐磨性无显著差异2 218设总体X|_ NCi；）,Y_ N（2,匚）,由两总体分别抽取样本X : 4.4, 4.0, 2.0, 4.8 Y : 6.0, 1.0, 3.2, 0.42 21 ）能否认为 7 =

22、 J C =0.05）? 2）能否认为；i =；2 C =0.05）?解（1）由题意知 X L N（叫,二2）,丫 _ N（2,二2）设统计假设为 H0:叫=甘已：叫，其中n<i=n2=4二n2 1 “ 2令 z =X -Y，则有 N=1.15,s2 =Z （Z Z） =9.0233， n1 y当:=0.05时，c二帚一 2（n-1）=3.1824， c=t）.2（n-1）足/ . n = 4.78拒绝域为K。=z >c，而Z =1.15<c，所以接受H。,认为卩1 =巴.由题意知X N（叫,；2）,y_ n（2&2）设统计假设为 HoufrjlHjF2 =匚：，其中

23、n<i = n2=4二n其中 s2 =1.5467,sy =6.4367，拒绝域为2 2K0 二算:q或 Sl >c2SySyJ临界值 c = F./2（ni -12 -1）=0.0648, Q 二片_：.2（n1-1,n?-1） = 15.43922而 F =与=0.2403,接受H。,认为二；丁；.Sf19从过去几年收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有2%的治愈率.一个主张化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证实他的看法，他用他的方法治疗200个癌症病人，其中有 6个治好了 .这个医生断言这种样本中的3%治愈率足够证实他的看法 .（1）试用

24、假设检验方法检验这个医生的看法；（2）如果该医生实际得到了4.5%治愈率，问检验将证实化学疗法比外科方法更有效的概率是多少？解（1）记每个病人的治愈情况为 X，则有XL B（1, p）设统计假设为 H0:p p0=0.02;比:卩乞p0 =0.02，其中n =200=0.05 拒绝域为K° =以p° "，临界值c =气勺Jp0"： pJ = 0.0163而 X - p0 =0.01 ： c,拒绝 H0,不能认为 p 0.02.(2)不犯第二类错误的概率P°(1 p°)+ p0 p=4.5%由 XL B(1, p)，可得由中心极限定理得

25、Ui_：.Po(1 - Po) n p。- pP(1- P) np =4.5%J一 e.645j2%(1 2%)/'200 +2% 4.5%iJ4.5%(1 -4.5%),200:= 0.7220在某公路上，50min之间，观察每15s内通过的汽车数，得下表通过的汽车数量0 1 2 3 4>5次数f92 68 28 11 10问能否认为通过的汽车辆数服从泊松分布(:=0.10)？解 设统计假设为 H 0: F (x) = F0 (x), HF (x) = F0 (x), n = 200.： = 0.10- 1 4斤)?若H°成立，?？ = X=-E 冋=0.805记 p

26、j = P(x-j) = e洸 j二234,则有 n j凶j!B =e鼻e.805 =0.4471,口 =0.805* p0 =0.3599, p2 二0805* 以=0.144920.8050.805/P3* P2 =0.0389, P4* 必=0.0078, P5 =1Pj =0.0014,34j0检验统计量的值为25 (s _np.)汽=2.1596£ 可/m-r -1)=盂95= 9.848j£npj不拒绝H0,认为X P( ),且=0.805.21对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得 100数据分组列表如下:组限10.93 10.9510.95 10

27、.9710.97 10.9910.99 11.01频数582034组限11.01 11.0311.03 11.0511.05 11.0711.07 11.09频数17664试对螺栓的口径 X的分布做假设检验(:=0.05).2解设X表示螺栓的口径， XL N(二)，分布函数为F(x)，统计假设为Ho: F(x)二 Fo(x), Hi： F(x) = Fo(x)，其中 n =100,:二 0.05,r = 2在H。成立的情况下，计算得? =X =1、Xj Vj =11.0024,(Xj -亠)2 Vj =0.0010188 i8 i 4由 .-11-002n(0,1)0.00319X。10.93

28、-11.00240.00319=2.2689,111, x8 J1"9九0024 = 2.74520.00319所以Pl - G(X1)：(x0)=0.0386,11(, P8 -：(x8)：(X7)=0.0140；J 3.825 二(m-r -1)=20.95 (5) =11.07检验统计量的值为jmnpj由此应该 拒绝H°,不能认为X2).22检查产品质量时，每次抽取10个产品检验，共抽取 100次，得下表:次品数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10频数35 40 18 5 1 1 0 0 0 00问次品数是否服从二项分布(:=0.05)？解 设X表示抽取的次品

29、数，XL N(.L,二2)，分布函数为F (x)，统计假设为H°:F(x)二 F°(x), H1:F(x) = F°(x)，其中 n =10,： =0.05X 1 N在H°成立的情况下，?jVjN N jz0 j计算得Pj 二cNpj(1 p)N = j ",1川,10；P0 二 G0p0(1-?)10 =0.3487,5 二孔卩七-？)9 =0.3874, P2 二 G：p2(1-P)8 =0.1937P3=G30P3(1-P)7 =0.0574, p1C；0p10(Vp)0=1040,检验统计量的值为 00202210' j - n

30、pj22瓷=送 =5.1295 £ /(mr 1)=瞪95(9) = 16.92j 卫npj因此 不拒绝H0,认为X B(10,0.1).23请71人比较A、B两种型号电视机的画面好坏，认为A好的有23人，认为B好的有 45人，拿不定主意的有3人，是否可以认为 B的画面比 A的好(:=0.10)？解设X表示A种型号电视机的画面要好些，Y表示B中型号电视机画面要好些分布函数分别为 Fx(x)，Fy(x)，统计假设为H0 : FX(xFY(x),H1:FX(xFY(x), N =10,n = 100m =0.05 由题意知 n+=23， n =45, n=n + + n_检验统计量 s

31、= min( n .,n J而s = 23 ： S-.(68) = 25，所以拒绝H 0,认为B的画面好.24为比较两车间(生产同一种产品)的产品某项指标的波动情况，各依次抽取12个产品进行测量，得下表甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.34乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.84问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同(:-=0.05)？解 设X,Y分别表示甲乙两车 间所生产产品的指标分布，分布函数分别Fx (x) Fy(x)，统计假设为H 0 :Fx(x) = Fy(x)

32、,H1 :Fx(x) j- Fy(x),.-，- 0.05, n = m = 12,检验统计量为秩和 T，易知T的样本值为T =112且TLI N (150,300)拒绝域为L1K° =< u >u 口>I匕丿而u =2.194 >U0.975 =1.96，所以拒绝H。,认为指标分布不相同.25观察两班组的劳动生产率(件/h)，得下表：第1班组28 33 39 40 41 42 45 46 47第2班组34 40 41 42 43 44 46 48 49问两班组的劳动生产率是否相同(用=0.05)？解 设X,Y分别表示两个组的劳动生产率，分布函数分别为FX(x

33、), Fy(x)，统计假设为H0: Fx (x) =Fy(x), H1 : Fx (x) = Fy(x),- 0.05,n =9,m =9检验统计量为秩和 T，易知T的样本值为T = 73 拒绝域形式为Ko -T 小 UT其中ti<t2而讯9,9)=66飞(9,9) =105， 因 此 T K。， 所 以接受H。,认为劳动生产率相同26观观察得两样本值如下：I2.363.147.523.482.765.43 6.54 7.41n4.384.256.543.287.216.54问这两样本是否来自同一总体(：=0.05) ?解 设X,Y分别表示i,n两个样本，分布函数分别是Fx (x), F

34、y(x)，统计假设为Ho： Fx(x)二 Fy(x), Hi： Fx(x Fy(x),.： =0.05,n=6,m = 8,检验统计量为秩和T ,易知T的样本值为T = 49拒绝域形式为K。T 7UT 戈！,其中t1<t2而如6,8)=32花(6,8) =58，因此T K。，所以接受H。,认为来自同一总体27某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：10, 53, 46,按照某种遗传模型其比率之比应为：p22则?0=p =1.33 =0.1121 ? =2 ?(1_p) =0.4454 假=(1一 ？ = 0.4424拒绝域为K° 一 2 .二.（m_r -1）?

35、: 2 p(1 - p): (1 - p)2，问数据与模型是否相符(： =0.05)?解设体格的属性为样本 X，由题意知XLI B(2,1 -p)其密度函数为 f(x)，其中 f (x, p) -C2<p2"(V p)x x =0,1,2统计假设为H0：F(x) = F°(x),H1：F(x)HF°(x)似然函数为nnx 2 *x2n -nxnx为L 二川 C2 p (1-p) =p (1-p) |丨 C2i =1i 母解得最大似然统计量为p = 1- *222 w(¥j n?j )22而 瞪=送 =0.9134 c £打(mr1)=瞪9

36、5(9) =3.8414j 卫npj所以不拒绝H o,认为与模型相符28 在某地区的人口调查中发现：15729245个男人中有3497个是聋哑 人.16799031个女人中有3072个是聋哑人.试检验 聋哑人与性别无关”的假设(:=0.05).解 设X表示男人中聋哑人的个数，Y表示女人中聋哑人的个数，其分布函数分别表示为FX(x)， FY(x).统计假设为H。： F(x, y)二 Fx(x)Fy(x),H1:F(x)= Fx(x)Fy(x)拒绝域为K0 2 二(m -r -1)?10而2八j=0(Vj - n?j)2n?j=62.64 a (m r 1)=益95(1)= 3.84所以拒绝H。,

37、认为聋哑与性别相关29下表为某药治疗感冒效果的联列表：疗 效儿童成年老年叽一般583832128较差284445117显著23181455n j10910091300试冋该药疗效是否与年龄有关(a =0.05)?解 设X表示该药的疗效与年龄有关，Y表示该药的疗效与年龄无关，其分布函数分别表示为 FX (x), FY(x).统计假设为H° ： F(x,y) =Fx (x)Fy(x)H : F (x,y) = Fx(x)Fy (x),r =3,s = 3,二=0.05,拒绝域为K° 小 2.12_：.(m_r -1”2“10 (匕一 np?j )”而 人=送 -=13.59石/

38、口 1)=上0 95(4) =9.488 j 门优所以拒绝H°,认为疗效与年龄相关30某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂提供的产品批的不合格率不超过3%时以高于95%的概率接受，当不合格率超过12%时，将以低于10%的概率接受.试为验收者制订验收抽样方案.解 由题意知，Po = 0.03, P1 = 0.12,= 0.05, - _ 0.1d - np、np丄1-P)代入式子L( p)选用式子 L =P(X Ed) =P(U <计算求得n =66,d = 4，于是抽查方案是：抽查66件产品，如果抽得的不合格 产品X <4，则接受这批产品，否则拒绝这批产品31假设

39、一批产品的质量指标 XL N（d；2）（匚2已知），要求质量指标值越小越 好.试给出检验抽样方案（n,c）的计算公式.若二2未知，又如何确定检验抽样方案（n, c ）?若质量高时指质量指标在一个区间时，又如何确定检验抽样方案（n, c）?解（1）解方程组（甩+吓戸卩0-已2 * 2若二未知，用M2估计二，从而得出公式*、2+u目）M2代入样本数据得到：畀=0.0589启=24.6286习题四1下表数据是退火温度 x（ 0C）对黄铜延性 效应的试验结果， 是以延伸率计 算的，且设为正态变量，求对x的样本线性回归方程.x(0C)300400500 600 700 800y(%)4050556067

40、70解利用回归系数的最小二估计:l xyl xx其中lxynn2 2八 Kyi 一 nxy,lxx 二' x 一 nxi =1i d样本线性回归方程为：#=24.6286 0.0589x2证明线性回归函数中(1)回归系数的置信水平为1-r的置信区间为 ？_ I，t(n-2);J.- lxx(2)回归系数'o的置信水平为1 -:-的置信区间为？0二':?1 X-一t. (n2).n l xx证(1)由于固口 N耳,2、alxx ，所以 11. lxxL N 0,1cr又因为:Ml 2( n-2)，故；?罕2 L 2(n-2) (5a-IfJ<1Dp-7.1pJxlp

41、Rr- 汐.<c= t n_2Jxx 1TA的置信水平为1 -a的置信区间为1?±/=1软(n2) '：fl XX1 _ 2(2)由?o N( -o,(-吕)匚2)，得n l_其中所以2xx0丨- lxxLN0,1 , ?罕2 L 2(n-2) , ?o 与;:?2 相互独立,-1 xcr + n lxx所以:根据1 -:1 +又21 xx1 xx=P 牛*n2) =P理(n-2)得到：o的置信度为1-：的置信区间3某河流溶解氧浓度（以百万分之一计）随着水向下游流动时间加长而下降现测得8组数据如下表所示 .求溶解氧浓度对流动时间的样本线性回归方程，并以:=0.05对回归

42、显著性作检验流动时间t （天）0.51.01.61.82.63.23.84.7溶解氧浓度（百万分之一）0.280.290.290.180.170.180.100.12解利用丄1tt 同* -其中1ntTi=1ti Yi -nty,lttnti2 -i=1nF2? = 0.3145-0.0472t代入样本数据得到：畀=-0.0472,児=0.3145所以，样本线性回归方程为： 拒绝域形式为：而空严，c=0。58任0Q022，所以回归模型不显著4假设X是一可控制变量，丫是一随机变量，服从正态分布现在不同的X值下 分别对丫进行观测，得如下数据估计；(2) 求回归系数-、肾、二2的置信度为95%勺置信

43、区间；(3) 检验丫和X之间的线性关系是否显著(:-=0.05);(4) 求丫置信度为95%勺预测区间；(5) 为了把丫的观测值限制在(1.08,1.68)，需把x的值限制在什么范围？(: =0.05)L? lxynn 2 _ 2lxy=2： Xiy nxy,lxx =送 x nx 计算得i-i丄解(1)利用1lxx其中l?xx i0.250.370.440.550.600.620.680.700.73yi2.572.312.121.921.751.711.601.511.50Xi0.750.820.840.870.880.900.951.00yi1.411.331.311.251.201.1

44、91.151.00(1) 假设X与丫有线性相关关系，求丫对X样本回归直线方程，并求DY h2的无偏? - -2.0698,= 3.0332所以，样本线性回归方程为：? = 3.0332 2.0698X，:讥0.002015根据第二题，的置信区间为 図±j=t 口(n -2),代入值计算得到:4 r1-2.18251.9571 ,：0的置信区间为仏+ *卫（n 2）,l xx 2代入数值计算得到:02.95069,3.1160 .(3)根据F检验法，其拒绝域形式为K。小晋 dcP_而c t -.(n -2),显然：1 K。，所以丫和X之间具有显著的线性关系 lxx r_ 2(x X )

45、yLN(o,(-1 -2)n令s(x)二_ 2X_xxx11 -nN(0,1)(n -2)；?2L 2(n® ,：爲-叫2)1 XX则有 y (?-, s(x) ?t;.(n-2)，W .s(x)；巩_：.(n-2)2-2根据的结论，令 ？ 両-1.68,？ 丽t _ -1.0822解得 x (0.7802,0.8172)5证明对一元线性回归系数区,畀相互独立的充分必要条件是x = 0 .证"="cov(00,i?)=e(i?0 九 朋-)=(y -氏x-油)=E(y f?-肾x - 0。尽-州+打际+礼打)二y “ -xe ? -：0 “ -y “ x ：0一x

46、 E - I22£肾=D +(E 弭)2 = + 幷2lxx若要 cov( ?0, ? )=0 ,那么 X = 0 反之显然也成立，命题的证.6设n组观测值(Xi，yJ(i =1,2,., n)之间有关系式：1 n yi =札 + PXi X) + 8j, E i N(0,02 )(i =1,2，,n)(其中 X =迟 x)，且n y1, 2,，；n相互独立(1)求系数'-0 , !的最小二乘估计量?0, ?1 ；nnn1 n 证明' (yi _y)2二為(yi- ?i)2'(?i- y)2，其中 y 二一'yii:i =1i =1n iw求p0, ?

47、的分布.解 最小化残差平方和：sE% 一 一 (务-力2求-0,+的偏导数_S2'-02X lyi-o-i(Xi-x) = O,2 lyj-o-i(Xi-x)(Xi-x)=O二 i得到:?o 二 y, ?I xyI xx易知n' y _ yi =4n=11i=42-ynn=e(% y?)2+(? y)2 + 空(y-和？-y)i =4i=4其中？=凫+屛（x x）=y+®（x -x），将其代入上式可得1 xxn、W -？）（？ -y） =oi 4nnn所以，、® -y）2 八 -？）2 亠二（？ -y）2i 4i 4i 42N（oL）,?0=y,?0NC。,

48、石）口 2同理，易得二図 N（P厂）lxx7某矿脉中13个相邻样本点处某种金属的含量 Y与样本点对原点的距离 X有如下观测值x i23457810yi106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.49x i111415161819yi110.59110.60110.90110.76111.00111.20b 分别按(1) y =a b x ； (2) y = a blnx ； (3) y = a .x建立丫对x的回归方程，并用相关系数 R = Ji-冬 指出其中哪一种相关最大 St解（1）令v = , x, a bv，根据最小二乘法得到，正规方程:?丄L lv

49、v，最后得到 屛=1.1947,% =106.3013?0 =y - ？v所以：样本线性回归方程为：y? = 106.3013 1.1947, R 0.8861(2)令 v = I n x, y = a bv彳 1 lvv ，得到 氏=1.714,氏=106.3147”。=y 屛v所以：样本线性回归方程为：?106.3147 - 1.714ln x , & =0.93671令 v , y = a bvx lw ，得到宦=111.4875,00 =9.833 宦0 = y -附所以：样本线性回归方程为：？ “11.4875-9.833, x , R3 = 0.987综上，R ： R, : R3,所以第三种模型所表示的X与Y的相关性最大.8设线性模型鼻=01 +色 « y2 =2优筠 点3 = Pt +2筠+龟其中N(0,；2) ( i =1,2,3.)且相互独立，试求'：1、'-2的LS估计.解令_1 0 1丫 =(%肆2小，x =1 , B =(01,02)丁，名=佝,®,宛)1 2 j则线性模型可转化为Y = X 1；根据 sE |Y-X ： 2 =YTY -2YTxF FTXTX ：,令孕=04可得 J XTXxty即网=1