第4课时 第四章 一次函数

1、第4章 一次函数一、学习目标1、 初步掌握函数的概念，能确定实际应用问题中反比例函数和一次函数的表达式。2、 了解作函数图象的一般步骤，理解其关系与性质。二、知识回顾一次函数正比例函数一次函数表达式的确定：待定系数法性质：图像：表达式：y=kx(k0)表示方法概念函数 表达式：y=kx+b，（k、b为常数，k0）图象：性质表达式的确定应用3、 名题解释（一）函数1函数的概念一般地，在一个变化过程中有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数其中x是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据辨

2、误区 自变量与另一个变量的对应关系若y是x的函数，当x取不同的值时，y的值不一定不同如：yx2中，当x2，或x2时，y的值都是4.【例11】 下列关于变量x，y的关系式：x3y1；y|x|；2xy29.其中y是x的函数的是()A BC D解析：本题主要根据函数的概念，紧扣函数的定义，即对于每一个自变量x都有唯一确定的y值与之对应，否则就不是函数关系对于x3y1和y|x|，由函数的定义可知，对于每一个x值都有唯一确定的y值与之对应符合函数的定义，但对于2xy29，则不符合上述关系，故y不是x的函数答案：B【例12】 已知y2x24，(1)求x取和时的函数值；(2)求y取10时x的值分析：(1)把

3、自变量x的值代入函数关系式，求代数式的值即可；(2)把y的值代入函数解析式后，解方程即可解：(1)当x时，y2×24；当x时，y2×24.(2)当y10时，2x2410，解得x±.谈重点 函数中变量的对应关系当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系2函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式谈重点 函数关系式中的学问函数关系式是等式函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等

4、式左边的一个字母表示函数函数的解析式在书写时有顺序性例如，yx1是表示y是x的函数若写成xy1就表示x是y的函数也就是说：求y与x的函数关系式，必须是用只含变量x的代数式表示y，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y，右边是含x的代数式【例2】 已知等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边上的高为6，若把面积y看做腰长x的函数，试写出它们的函数关系式分析：要求三角形的面积，必须先求出底边长解：底边长为362x，y×(362x)×6，即y1086x.3自变量的取值范围(1)使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围(2)自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的

5、取值必须使解析式有意义当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为0；其次，当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值还必须使实际问题有意义【例3】 若等腰三角形的周长为50 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，y与x的函数关系式为y(50x)，则变量x的取值范围是_解析：根据三角形三边之间的关系，必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边答案：0x254函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：列表法、图象法、解析法，以解析法应用较多有的函数可以用三

6、种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示(1)列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法(2)图象法：通过建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数关系的方法称为图象法(3)解析法：用式子表示函数关系的方法称为解析法，这样的式子称为函数的解析式析规律 函数的三种表示方法三种表示方法各有优缺点，应用时要视具体情况，选择适当的表示方法，或将三种方法结合使用列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值，缺点是取值有限；

7、图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质，缺点是求得的函数值是近似的；解析法：优点是简明扼要、规范准确，并且可以根据解析式列表、画图象，进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式，只能列出表格或画出图象来表示【例4】 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象

8、是()解析：本题主要考查函数图象的变化情况和同学们的识图能力事实上，结合故事情节，对照图象，不难发现：A图中反映原瓶中无水，这与题意不符；C图中乌鸦加小石子喝到水后，在不加小石子的同时，瓶中水面下降的高度不能比原瓶中水面的高度低；D图中乌鸦一开始加小石子的过程水面应上升而不是下降；因此只有B图能反映出乌鸦喝水的全过程故应选B.答案：B点技巧 从函数的图象中得出规律本题有三个注意点：一是原来瓶中无石子时就有水，反映在图象上是y轴正半轴上的一个点；二是瓶中水面的高度随石子的逐渐增多而缓慢上升，反映在图象上是一斜线段；三是不加石子乌鸦喝水时，反映在图象上是一条垂线段另外解决函数图象问题还要在阅读反映

9、实际问题的文字语言的同时，对图象进行观察、分析，从而获取有效的解题信息5.怎样判定函数关系(1)从关系式判定函数由函数的定义知道，在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于x每一个确定的值，y都有且只有一个值与之对应，当x取不同的值时，y的值可以相等也可以不相等，但如果一个x的值对应着两个不同的y值，那么y一定不是x的函数根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数(2)从表格中判定函数根据函数的定义知道，从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量，再看对于变量x每一个确定的值，y是否都有唯一的值和它对应，也就是说x若取相同的值，y必须是相同的值(3)从图象上判定函数根据函数的定义知道，每一个

10、x值只能对应唯一的一个y值，因此要判断哪些图形表示的是函数，只要在所给的自变量的取值范围内任作一条垂直于x轴的直线，若直线与所给图形只有一个交点，则说明这个图形表示的是函数，若交点不止一个，则一定不是函数【例51】 下列表格中能反映y是x的函数的是()A.x11231y024810B.x01230y22346C.x22222y10113D.x11234y024810解析：观察表格发现，对于A，当x1时，y0或10，故它不表示函数；对于B，当x0时，y2或6，故它不表示函数；对于C，当x2时，y有5个不同的值与之对应，故它不表示函数；对于D，每一个x的值，y都有唯一的值和它对应，故它表示函数，应

11、选D.答案：D【例52】 下列表示y是x的函数图象的是()解析：由图象可看出，每个图形都是关于两个变量x和y的一个变化过程，对于选择支A，B，C来说，只要在它们各自的自变量的取值范围内任作一条垂直于x轴的直线，都与所给图形有两个交点，这样A，B，C都不表示函数，只有D表示的是函数答案：D6.如何判断同一函数学习了函数的概念，判断两个函数是否表示同一函数要看它们是不是满足以下三个条件：(1)自变量的取值范围完全相同(2)函数值的取值范围完全相同(3)变形后，两个函数的解析式是一致的，即自变量和函数的对应关系完全相同如果两个函数满足以上三个条件，那么它们是同一函数解答这类问题的关键是正确理解上述的

12、三个条件【例6】 下列函数中，与yx表示同一个函数的是()Ay By|x|Cy()2 Dy解析：A×y的取值范围是y0，与函数yx的y的取值范围不相同B×y的取值范围是y0，与函数yx的y的取值范围不相同C×自变量x的取值范围是x0，与函数yx的自变量取值范围不相同D自变量x的取值范围与y的取值范围都与yx相同，是全体实数答案：D7函数图象的实际应用函数的图象是由点组成的，每个点都具有实际意义，利用函数的图象可以反映实际问题中的关系，同样通过观察函数的图象也可以得到关于实际问题的相关信息可以说，函数的图象是我们解决实际问题的有效手段和重要的工具解决函数图象选择问题

13、的关键是在阅读反映实际问题的文字语言的同时，对图象进行观察、分析，获取有效的解题信息解答这类问题主要是利用数形结合的思想分析问题、解决问题【例7】 父亲节，学校“文苑”专栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示离家的时间，那么下面与上述诗意大致吻合的图象是()解析：本题通过读诗来识别函数图象，整首小诗叙述了一个变化的过程，整个过程分为三个阶段：(1)同辞家门赴车站；(2)别时叮咛语千万；(3)学子满载信心去，老父怀抱希望还能够和这三个阶段大致吻合的是C，故应选C.答案：C（二）一次函

14、数与正比例函数1一次函数的定义若两个变量x，y之间的关系式可以表示成ykxb(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量)谈重点 一次函数的条件函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x，y的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式【例1】 下列函数中，是一次函数的是()Ay7x2 Byx9Cy Dy解析：A×x的次数是2，不是1，所以它不是一次函数B符合一次函数的一般形式C×含有自变量x的代数式不是整式，所以不是一次函数D×答案：B2正比例函数的定义对于一次函数ykxb，当b0，即ykx(k为常数，且k0)时，我们称y是x的正比例

15、函数辨误区 一次函数与正比例函数的关系需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b0，且k0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数【例2】 下列函数中，是正比例函数的是()Ay2x By2x1Cy2x2 Dy解析：A符合正比例函数的一般形式B×b10，所以它不是正比例函数C×x的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数.D×含有自变量x的代数式不是整式，所以它不是正比例函数.答案：A辨误区 正比例函数的判断要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为ykxb(k0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊

16、的一次函数，函数解析式能否转化为ykx(k0)的形式3根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式点技巧 如何列函数关系式列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量【例3】 甲、乙两地相距30 km，某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h到达丙地，并继续向乙地走(1)试分别确定甲、丙两地距离s1(km)及丙、乙两地距离s2(km)与时间t(h)之间的函数关系式(2)它们是什么函数分析：路程速度×时间，s230s1.解：(1)s

17、14t，s2304t.(2)两个函数都是一次函数，而s14t还是正比例函数点评：此类题目把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x，y之间的关系可以表示成ykxb(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况区别：正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限联系：两种函数的图象都是一条直线；两种

18、函数的增减性相同；当b0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例【例41】 在下列函数中，x是自变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y3x；(2)y；(3)y3x1；(4)yx2.分析：这类判断题，应严格按照有关函数的定义，看函数是不是可以表示为规定的形式解：一次函数是(1)y3x和(3)y3x1.其中(1)y3x还是正比例函数，(2)、(4)既不是一次函数，也不是正比例函数【例42】 已知正比例函数中自变量每增加一个单位，函数值就减少2个单位，求函数的解析式分析：设正比例函数解析式为ykx(k0)，要求出待定系数k，必须有x与y的一组对应值，所以关键是要将已知条

19、件转化为具体的数值因为当x0时，y0，所以我们可以根据题意，给出一对特殊值：当x1时，y2.这就是我们需要的等量关系解：设正比例函数解析式为ykx(k0)，根据题意，当x1时，y2.代入函数解析式，得2k.故所求函数解析式为y2x.5用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式辨误区 写解析式，定自变量的范围通常确定一个函

20、数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围【例5】 一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9 L，行驶了1 h后发现已耗油1.5 L.(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；(2)如果摩托车以60 km/h的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L时，老王行驶了多少千米？分析：根据油箱中原有油9 L,1 h耗油1.5 L，则t h耗油1.5t L，得到行驶t h后油箱中剩余油量为(91.5t)L，由此可得出函数关系式解：(1)Q91.5t，由91.5t0，得到t6，故t的取值范围为0t6.(2)由391

21、.5t，得t4.于是svt60×4240(km)故老王行驶了240 km.（3） 一次函数的图象1函数的图象对于一个函数，我们把它的自变量x与对应的变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象谈重点 函数图象与点的坐标的关系(1)函数图象上的任意点P(x，y)必满足该函数关系式(2)满足函数关系式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在该函数的图象上(3)判定点P(x，y)是否在函数图象上的方法是：将点P(x，y)的坐标代入函数表达式，如果满足函数表达式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的表达式，这个点就不在函数的图象

22、上【例1】 判断下列各点是否在函数y2x1的图象上A(2,3)，B(2，3)分析：将x的值代入函数表达式，如果等于y的值，这个点就在函数的图象上；否则，这个点不在函数的图象上解：当x2时，y2×213，A(2,3)在函数y2x1的图象上；当x2时，y2×2153，B(2，3)不在函数y2x1的图象上2函数图象的画法画函数图象的一般步骤：(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值，通常把自变量x的值放在表的第一行，其对应函数值放在表的第二行，其中x的值从小到大(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点描点时一般把关键的点准确地描出，点取得越多，图象越

23、准确(3)连线：按照自变量从小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连接起来释疑点 平滑曲线的特点所谓的“平滑曲线”，现阶段可理解为符合图象的发展趋势、让人感觉过渡自然、比较“平”“滑”的线，实际上有时是直线【例2】 作出一次函数y2x1的图象分析：取几组对应值，列表，描点，连线即可解：列表：x2101y3113描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点连线：把这些点连起来注：一次函数y2x1的图象是直线，连线时，两端要露头3.一次函数的图象和性质(1)一次函数的图象和性质一次函数的图象：一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线由于两点确定一条直线，因此画一次函数的图象，只要描出图

24、象上的两个点，过这两点作一条直线就行了我们常常把这条直线叫做“直线ykxb”一次函数中常量k，b(k0)：直线ykxb(k0)与y轴的交点是(0，b)，当b0时，直线与y轴的正半轴相交；当b0时，直线与y轴的负半轴相交；当b0时，直线经过原点，此时一次函数即为正比例函数一次函数ykxb中的k，决定了直线的倾斜程度，k的绝对值越大，则直线越接近y轴，反之，越靠近x轴一次函数ykxb(k0)的性质：当k0时，直线ykxb从左向右上升，函数y的值随自变量x的增大而增大；当k0时，直线ykxb从左向右下降，函数y的值随自变量x的增大而减小(2)正比例函数的图象和性质正比例函数的图象：一般地，正比例函数

25、ykx(k是常数，k0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线ykx.在画正比例函数ykx的图象时，一般是经过点(0,0)和(1，k)作一条直线正比例函数ykx的性质：当k0时，直线ykx经过第一、三象限，从左往右上升，即y随x的增大而增大；当k0时，直线ykx经过第二、四象限，从左往右下降，即y随x的增大而减小【例31】 作出一次函数y3x3的图象分析：由于一次函数的图象是一条直线，因此只要过其图象的两点画出一条直线即可解：列表：x01y3x330描点，连线【例32】 若一次函数y(2m6)x5中，y随x增大而减小，则m的取值范围是_解析：当我们知道函数的增减性后，就知道了k的取值范围，

26、因为y随x增大而减小，所以k就小于0，即2m60，m3.所以m的取值范围是m3.答案：m3析规律 k与b的作用在一次函数解析式中，k确定函数的增减性，b确定函数图象与y轴的交点【例33】 下图表示一次函数ykxb与正比例函数ykx(k，b是常数，且k0)图象的是()解析：对于两个不同的函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，确定k，b的符号，然后再根据k或b的符号判断另一函数图象是否与k，b的符号相符合观察A中一次函数图象可知k0，b0，而正比例函数的图象经过第二、四象限，此时k0，所以A不正确，用同样的方法可确定B，C不正确故选D.答案：D点技巧 同一坐标系中多函数图象问题解答这

27、类问题一般首先根据正比例函数和一次函数的图象分别先确定k的符号，对比k的符号，若k符号一致，才说明可能正确，再结合题中的其他条件确定最终正确答案4k，b的符号与直线所过象限的关系学习了一次函数ykxb(k0)，我们知道一次函数图象经过哪些象限是由k，b的符号决定的一般分为四种情况：(1)k0，b0时，图象过第一、二、三象限；(2)k0，b0时，图象过第一、三、四象限；(3)k0，b0时，图象过第一、二、四象限；(4)k0，b0时，图象过第二、三、四象限析规律 k，b的符号与直线的关系根据一次函数ykxb中k，b的符号可以确定图象所经过的象限；根据函数图象所经过的象限，可以确定k，b的符号解决有

28、关问题，应熟练把握k，b的符号与函数图象所经过象限的几个类型，并能灵活应用【例41】 一次函数ykxb的图象经过第二、三、四象限，则正比例函数ykbx的图象经过哪个象限？分析：要确定函数ykbx的图象经过哪些象限，则需要确定kb的符号，而kb的符号由k的符号和b的符号决定，所以只要根据已知条件确定k，b的符号即可解决问题解：因为ykxb的图象经过第二、三、四象限，所以k0，b0，所以kb0.所以函数ykbx的图象经过第一、三象限【例42】 如图是一次函数ykxb的图象的大致位置，试分别确定k，b的正负号，并判断一次函数y(k1)xb的图象所经过的象限分析：由函数ykxb的图象可知，函数的图象经

29、过第一、三、四象限，所以k0，b0，由此可得k10，b0，从而确定一次函数y(k1)xb的图象经过第一、二、四象限解：观察图象可得k0，b0，所以k10，b0，所以一次函数y(k1)xb的图象经过第一、二、四象限5.一次函数图象与坐标轴的交点一次函数的图象是直线，这条直线与x轴交于点，与y轴交于点(0，b)考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：(1)判定直线所过的象限，一般给出函数关系式，判定直线经过哪几个象限或确定不经过哪个象限(2)求直线的解析式，一般先设出函数关系式为ykxb(k0)，把已知的两点的坐标分别代入，求出k，b的值即可(3)求两交点与坐标轴围成的三角形的面积，由于这个三

30、角形是直角三角形，利用面积公式即可【例5】 如图，已知直线ykx3经过点M(2,1)，求此直线与x轴，y轴的交点坐标，并求出与坐标轴所围的三角形的面积分析：先将点M(2,1)代入ykx3，确定一次函数解析式，再分别令x0和y0，即可求出此直线与x轴，y轴的交点坐标解：将点M(2,1)代入ykx3，得12k3，解得k2，所以y2x3.又当x0时，y3，当y0时，x，所以此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，(0，3)所以所围三角形的面积为××3.点评：在平面直角坐标系中求图形的面积时，通常把轴上的边作为底，再利用点的坐标求得底上的高，然后利用面积公式求解6关于一次函数的最值问题

31、对于一般的一次函数，由于自变量的取值范围可以是全体实数，因此不存在最大、最小值(简称“最值”)，但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，所以就有可能出现最大值或最小值求解这类问题，先分析问题中两个变量之间的关系是否适合一次函数模型，再在自变量允许的取值范围内建立一次函数模型运用一次函数解决实际问题的关键是根据一次函数的性质来解答除正确确定函数表达式外，利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键“在生活中学数学，到生活中用数学”，是新课标所倡导的一个主旨之一，在考题中，有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题，考查同学们利用所学知识求解实际问题的能力【例6】 某报刊销售亭从报社订购

32、晚报的价格是0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸可以以每份0.2元的价格退回报社，若每月按30天计算，有20天每天可卖出100份报纸，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，报亭每天从报社订购多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？分析：若报亭每天从报社订购x份报纸，每月获得的利润为y，那么y是x的一次函数，且自变量的取值范围是60x100，并根据函数的性质来确定订多少份报纸解：根据题意，得y(10.7)×(20x10×60)(0.70.2)(x60)×10，即yx480(60x100)此函数是一次函数，且一次项的系数大于0，函数y随

33、x的增大而增大，当x100时，y有最大值，其最大值为100480580(元)订购方案：每天从报社订100份报纸，这样获得利润最大，最大利润为580元（4） 一次函数的应用1确定一次函数表达式(1)借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为ykx(k0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为ykxb(k0)；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入ykx或ykxb中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式(2)确定正比例函数、一次函数表达式需要的条

34、件由于正比例函数ykx(k0)中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式一次函数ykxb(k0)有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值【例1】 如图，直线AB对应的函数表达式是()Ayx3Byx3Cyx3Dyx3解析：设直线AB对应的函数表达式是ykxb(k0)，当x0时，y3，代入得b3，当x2时，y0，则2k30，k，故yx3.答案：A点技巧 用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成ykxb(k0)的形式，再将A，B两点坐标

35、代入该关系式，即可求出k，b，从而确定出具体的关系式2待定系数法(1)定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数(2)用待定系数法求解析式的一般步骤：根据已知条件写出含有待定系数的解析式；将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；解方程(组)，得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式【例21】 一次函数图象如图所示，求其解析式分析：利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b的值，从而确定表达式解：设一

36、次函数解析式为ykxb，一次函数图象过点(0，2)，2k×0b，b2.一次函数图象过点(1,0)，0k×1b，k2.一次函数解析式为y2x2.【例22】 在直角坐标系中，一次函数ykxb的图象经过三点A(2,0)，B(0,2)，C(m,3)，求这个函数的表达式，并求m的值解：根据题意，得2kb0，b2, kmb3，把b2代入，得2k20，即k1；把b2，k1代入，得m1.故函数的表达式为yx2.3一次函数的实际应用(1)通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴

37、、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系释疑点 函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助(2)一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位谈重点 函数ykxb图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数ykxb(k0)的图象就不再是一条直线要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等【例31】 甲、乙两个工程队分别同时开挖两

38、段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了_ h开挖6 h时甲队比乙队多挖了_ m.(2)请你求出：甲队在0x6的时段内，y与x之间的函数关系式；乙队在2x6的时段内，y与x之间的函数关系式(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0x6的时段内y与x之间的函数关系式为yk1x(k10)，由图可知，函数图象过点(6,60)，6k160，解得k110，y10x.设乙队在2

39、x6的时段内y与x之间的函数关系式为yk2xb(k20)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入yk2xb，求出k25，b20，y5x20.(3)由题意，得10x5x20，解得x4(h)解：(1)210(2)y10x.y5x20.(3)由题意，得10x5x20，解得x4(h)故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等【例32】 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问

40、题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x1 500时，y2y1；0x1 500时，y2y1.解：观察图象，得：(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2

41、600 km，那么这个单位租个体车主的车合算析规律 函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等4一次函数和一元一次方程的关系当一次函数ykxb(k0)中的函数值为0时，可得0kxb即kxb0，这在形式上变成了求关于x的一元一次方程，也就是说，当一次函数ykxb的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kxb0的解；若从图象上来看，则可看做函数ykxb的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kxb0的解由此可见，方程与函数是密不可分的【例4】 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶已知油箱中的余油量y(L

42、)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.行驶时间t(h)0123油箱余油量y(L)100846852分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力解法一：余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，可设关系式为ykxb(k0)由图象可知ykxb经过两点(0,100)和(500,20)，则有b100,20500kb.把b100代入20500kb，得20500k100，解得k.直线的解析式为yx100.当y100时，x0；当y84时，x100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 k

43、m.A型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A型汽车每行驶1 h的路程耗油16 L.由图象可知：A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L所行驶的路程为x km，则50080x16，解得x100.A型汽车1 h行驶的路程为100 km.它的速度为100 km/h.点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解5一次函数图象的平移一次函数ykxb(k0)的图象可以看做由直线ykx平移|b|个单位长度而得到(当b0时，向上平移；当b0时，向下平移)实际上就是指一次函数ykxb的图象沿y轴平移时，在b的位置上按照“上加下减”的规律进行如：一次函数l1

44、：yx2的图象可以看做是由正比例函数l：yx的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到的；一次函数l2：yx2的图象可以看做是由正比例函数l：yx的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到的【例5】 如图所示，将直线OA向上平移1个单位长度，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是_解析：由图象可知，直线经过原点，所以设直线的解析式为ykx(k0)因为直线经过点(2,4)，所以直线的解析式为y2x.根据“上加下减”的原则，可知所求的一次函数解析式为y2x1.答案：y2x1析规律 平移中的函数解析式解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用，也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解平移前后k的值不

45、变，改变的是b的值6.函数、方程和不等式的完美结合从“数”的角度看，由于任何一元一次方程都可以转化为axb0(a，b为常数，且a0)的形式，所以解一元一次方程可以看做：当一次函数yaxb的值为0时，求相应的自变量的值；反之，求自变量x为何值时，一次函数yaxb的值为0，只要求出方程axb0的解即可由于任何一元一次不等式都可以转化为类似axb0或axb0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数yaxb的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数yaxb的值何时大(小)于0时，只要求出不等式axb0或axb0的解集即可从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出，

46、三者最终能用函数观点统一起来，并且达到一种完美的结合，这种结合，又常常在一些考题中得以体现【例6】 已知一次函数yaxb(a，b是常数，且a0)x与y的部分对应值如下表：x210123y642024那么方程axb0的解是_，不等式axb0的解集是_解析：本题先以表格的形式向我们提供了一次函数yaxb的信息按一般解法，我们完全可以利用这些对应值，通过待定系数法求出未知系数a和b，然后再去解方程或不等式，于是得解果真那样去做的话，说明你没有真正领会到本题的用意事实上，本题是想考查你对一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间关系的掌握情况由三者之间的关系可知，求方程axb0的解，实质上就是求一次函

47、数yaxb的函数值为0时，对应的自变量x的取值，从表中可直接看出x1；同理，求不等式axb0的解集，实质上就是求当一次函数yaxb的函数值大于0时，对应的自变量x的取值范围，这时也可以从表中直接看出为x1.答案：x1x17如何确定一次函数的表达式确定正比例函数和一次函数的解析式是一次函数这部分内容考查的一个重要知识点那么应该怎样确定正比例函数和一次函数的解析式呢？因为正比例函数的解析式ykx中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了正比例函数的解析式而一次函数的解析式ykxb中，有两个待定系数k和b，因此需要两个条件，此条件可以是直线上的两个点的坐标，也可以是两对变量与函数的对应值但在实际求正比例函数和一次函数的解析式时，应该具体问题具体分析(1)定义型若两个量y与x成正比例，可设为正比例函数形式：ykx(其中k是常数，k0)，再用待定系数法求比例系数k.(2)两(或一)点型把点的坐标代入所设的关系式中，根据点的坐标求解(3)图象型解决看图获取信息的问题，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，还要抓住图中一些关键的点(如：起点、终点、折线中的折点)所反映出的信息通过观察图象，发掘图象经过坐标轴上的两点，根据两点的坐标构造待定系数的方程组，求出k，b；它