【金榜一轮文科学全国卷1】9.4变量间的相关关系与统计案例

1、第四节变量间的相关关系与统计案例【知识梳理【知识梳理】 1.1.相关关系与回归方程相关关系与回归方程(1)(1)相关关系的分类相关关系的分类正相关正相关: :从散点图上看从散点图上看, ,点散布在从点散布在从_到到_的区域内的区域内; ;负相关负相关: :从散点图上看从散点图上看, ,点散布在从点散布在从_到到_的区域内的区域内. .左下角左下角右上角右上角左上角左上角右下角右下角(2)(2)线性相关关系线性相关关系: :从散点图上看从散点图上看, ,如果这些点从整体上如果这些点从整体上看大致分布在看大致分布在_附近附近, ,则称这两个变量之间具则称这两个变量之间具有线性相关关系有线性相关关系

2、, ,这条直线叫做这条直线叫做_._.(3)(3)回归方程回归方程最小二乘法最小二乘法: :使得样本数据的点到回归直线的使得样本数据的点到回归直线的_最小的方法叫做最小二乘法最小的方法叫做最小二乘法. .一条直线一条直线回归直线回归直线距离距离的平方和的平方和回归方程回归方程: :两个具有线性相关关系的变量的一组数据两个具有线性相关关系的变量的一组数据: :(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2),),(x,(xn n,y,yn n),),其回归方程为其回归方程为则则其中其中, , 是是回归方程的回归方程的_, _, 是在是在y y轴上的轴上的_._.ybxannii

3、iii 1i 1nn222iii 1i 1xxyyx ynxybaybx.xxxnx，ba斜率斜率截距截距2.2.独立性检验独立性检验(1)2(1)22 2列联表列联表: :假设有两个分类变量假设有两个分类变量x x和和y,y,它们的值域它们的值域分别为分别为xx1 1,x,x2 2 和和yy1 1,y,y2 2,其样本频数列联表其样本频数列联表( (称称2 22 2列列联表联表) )为为: :y y1 1y y2 2总计总计x x1 1a ab b_x x2 2c cd dc+dc+d总计总计a+ca+c_a+b+c+da+b+c+da+ba+bb+db+d(2)k(2)k2 2统计量统计量

4、k k2 2= (= (其中其中n=a+b+c+dn=a+b+c+d为样本为样本容量容量).).2n adbcabcdacbd【特别提醒【特别提醒】回归分析的关注点回归分析的关注点(1)(1)回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上, ,实实质上回归直线必过质上回归直线必过( )( )点点, ,可能所有的样本数据点可能所有的样本数据点都不在直线上都不在直线上. .(2)(2)利用回归方程分析问题时利用回归方程分析问题时, ,所得的数据易误认为准所得的数据易误认为准确值确值, ,而实质上是预测值而实质上是预测值( (期望值期望值).).x,y【小题快练【小

5、题快练】 链接教材练一练链接教材练一练1.(1.(必修必修3p903p90例改编例改编) )某研究机构对高三学生的记忆力某研究机构对高三学生的记忆力x x和判断力和判断力y y进行统计分析进行统计分析, ,所得数据如下表所得数据如下表: :x x6 68 810101212y y2 23 35 56 6则则y y对对x x的线性回归直线方程为的线性回归直线方程为( () )a. =2.3x-0.7a. =2.3x-0.7b. =2.3x+0.7b. =2.3x+0.7c. =0.7x-2.3c. =0.7x-2.3d. =0.7x+2.3d. =0.7x+2.3( (相关公式相关公式: ):

6、)yyyyniii 1n22ii 1x ynx yb,aybxxnx【解析【解析】选选c.c.因为因为 =6=62+82+83+103+105+125+126=158,6=158,所以所以 =4-0.7=4-0.79=-2.3.9=-2.3.故线性回归直线方程为故线性回归直线方程为 =0.7x-2.3.=0.7x-2.3.4iii 1x y68 10 122356x9 y4.44 ，1584 9 4b0.73664 100 1444 81 ，ay2.(2.(选修选修1-2p161-2p16习题习题1.2t11.2t1改编改编) )为了判断高中三年级学为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关

7、系，现随机抽取生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取5050名学生，名学生，得到如下得到如下2 22 2列联表：列联表：理科理科文科文科男男13131010女女7 72020已知已知p(kp(k2 23.841)0.053.841)0.05，p(kp(k2 25.024)0.025.5.024)0.025.根据表中数据，得到根据表中数据，得到k k2 2的观测值的观测值k= 4.844.k= 4.844.则认为选修文科与性别则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为有关系出错的可能性为. .250 (13 20 10 7)23 27 20 30【解析【解析】k k2 2的观测值的观测值k4.84

8、4k4.844，这表明小概率事件发，这表明小概率事件发生生. .根据假设检验的基本原理，应该断定根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文是否选修文科与性别之间有关系科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可成立，并且这种判断出错的可能性约为能性约为5%.5%.答案：答案：5%5%感悟考题试一试感悟考题试一试3.(20163.(2016太原模拟太原模拟) )某商品销售量某商品销售量y(y(件件) )与销售价格与销售价格x(x(元元/ /件件) )负相关负相关, ,则其回归直线方程可能是则其回归直线方程可能是( () )a. =-10 x+200a. =-10 x+200b. =10 x+

9、200b. =10 x+200c. =-10 x-200c. =-10 x-200d. =10 x-200d. =10 x-200yyyy【解析【解析】选选a.a.因为商品销售量因为商品销售量y(y(件件) )与销售价格与销售价格x(x(元元/ /件件) )负相关负相关, ,所以所以 0,0,y0,所以应选所以应选a.a.b4.(20154.(2015福建高考福建高考) )为了解某社区居民的家庭年收入为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系与年支出的关系, ,随机调查了该社区随机调查了该社区5 5户家庭户家庭, ,得到如下得到如下统计数据表统计数据表: :收入收入x(x(万元万元) )8.2

10、8.28.68.610.010.011.311.311.911.9支出支出y(y(万元万元) )6.26.27.57.58.08.08.58.59.89.8根据上表可得回归直线方程根据上表可得回归直线方程 , ,其中其中 =0.76, =0.76, . .据此估计据此估计, ,该社区一户年收入为该社区一户年收入为1515万元的家万元的家庭的年支出为庭的年支出为( () )a.11.4a.11.4万元万元b.11.8b.11.8万元万元c.12.0c.12.0万元万元d.12.2d.12.2万元万元ybxaaybxb【解析【解析】选选b.b.由题意得由题意得所以所以 =8-0.76=8-0.76

11、10=0.4,10=0.4,所以所以 =0.76x+0.4,=0.76x+0.4,把把x=15x=15代入得到代入得到 =11.8.=11.8.8.28.6 10.0 11.3 11.9x1056.27.58.08.59.8y85，ayy5.(20165.(2016武汉模拟武汉模拟) )为考察某种药物预防疾病的效果为考察某种药物预防疾病的效果, ,对对100100只某种动物进行试验只某种动物进行试验, ,得到如下的列联表得到如下的列联表: :患病患病未患病未患病总计总计服用药服用药101040405050没服用药没服用药202030305050总计总计30307070100100经计算经计算,

12、 ,统计量统计量k k2 2的观测值的观测值k4.762,k4.762,则在犯错误的概则在犯错误的概率不超过率不超过_的前提下认为药物有效的前提下认为药物有效, ,已知独立已知独立性检验中统计量性检验中统计量k k2 2的临界值参考表为的临界值参考表为: :( () )a.0.005a.0.005b.0.05b.0.05c.0.010c.0.010d.0.025d.0.025p(kp(k2 2kk0 0) )0.150.150.100.100.050.050.0250.025 0.0100.010 0.0050.0050.0010.001k k0 02.0722.072 2.7062.706

13、3.8413.841 5.0245.024 6.6356.635 7.8797.87910.82810.828【解析【解析】选选b.b.由题意算得由题意算得,k,k2 24.7623.841,4.7623.841,参照附表参照附表, ,可得在犯错误的概率不超过可得在犯错误的概率不超过0.050.05的前提下的前提下, ,认为药物有认为药物有效效. .考向一考向一相关关系的判断相关关系的判断【典例【典例1 1】(1)(2016(1)(2016泉州模拟泉州模拟) )下列四个图象中下列四个图象中, ,两个两个变量具有正相关关系的是变量具有正相关关系的是( () )(2)(2016(2)(2016汕头

14、模拟汕头模拟) )四名同学根据各自的样本数据研四名同学根据各自的样本数据研究变量究变量x,yx,y之间的相关关系之间的相关关系, ,并求得回归直线方程并求得回归直线方程, ,分别分别得到以下四个结论得到以下四个结论: :y y与与x x负相关且负相关且 =2.347x-6.423;=2.347x-6.423;y y与与x x负相关且负相关且 =-3.476x+5.648;=-3.476x+5.648;y y与与x x正相关且正相关且 =5.437x+8.493;=5.437x+8.493;y y与与x x正相关且正相关且 =-4.326x-4.578.=-4.326x-4.578.其中一定不正

15、确的结论的序号是其中一定不正确的结论的序号是( () )a.a.b.b.c.c.d.d.yyyy【解题导引【解题导引】(1)(1)观察两个变量的散点图观察两个变量的散点图, ,若样本点呈若样本点呈直线形带状分布直线形带状分布, ,则两个变量具有相关关系则两个变量具有相关关系, ,带状越细带状越细说明相关关系越强说明相关关系越强, ,可得到两个变量具有相关关系的图可得到两个变量具有相关关系的图. .(2)(2)根据回归直线方程的系数的符号进行判断根据回归直线方程的系数的符号进行判断. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选d.ad.a中两个变量之间是函数关系中两个变量之间是函数关系, ,不不是

16、相关关系是相关关系; ;在两个变量的散点图中在两个变量的散点图中, ,若样本点呈直线若样本点呈直线形带状分布形带状分布, ,则两个变量具有相关关系则两个变量具有相关关系, ,对照图形对照图形:b,d:b,d样本点呈直线形带状分布样本点呈直线形带状分布,b,b是负相关是负相关,d,d是正相关是正相关, ,c c样本点不呈直线形带状分布样本点不呈直线形带状分布. .所以两个变量具有正相关关系的图是所以两个变量具有正相关关系的图是d.d.(2)(2)选选d.d.正相关指的是正相关指的是y y随随x x的增大而增大的增大而增大, ,负相关指的负相关指的是是y y随随x x的增大而减小的增大而减小, ,

17、故不正确的为故不正确的为. .【规律方法【规律方法】1.1.散点图法判断相关关系散点图法判断相关关系根据点的分布情况及正相关、负相关的概念判断根据点的分布情况及正相关、负相关的概念判断. .2.2.线性相关关系与函数关系的区别线性相关关系与函数关系的区别(1)(1)函数关系中的两个变量间是一种确定性关系函数关系中的两个变量间是一种确定性关系. .例如例如, ,正方体体积正方体体积v v与棱长与棱长x x之间的关系之间的关系v=xv=x3 3就是函数关系就是函数关系. .(2)(2)相关关系是一种非确定性关系相关关系是一种非确定性关系, ,即相关关系是非随即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关

18、系机变量与随机变量之间的关系. .例如例如, ,商品的销售额与商品的销售额与广告费是相关关系广告费是相关关系. .两个变量具有相关关系是回归分析两个变量具有相关关系是回归分析的前提的前提. .【变式训练【变式训练】(2016(2016长沙模拟长沙模拟) )某公司在某公司在20152015年上半年上半年的收入年的收入x(x(单位单位: :万元万元) )与月支出与月支出y(y(单位单位: :万元万元) )的统计的统计资料如表所示资料如表所示: :月份月份1 1月份月份2 2月份月份3 3月份月份4 4月份月份5 5月份月份6 6月份月份收入收入x x12.312.314.514.515.015.0

19、17.017.019.819.820.620.6支出支出y y5.635.635.755.755.825.825.895.896.116.116.186.18根据统计资料根据统计资料, ,则则( () )a.a.月收入的中位数是月收入的中位数是15,x15,x与与y y有正线性相关关系有正线性相关关系b.b.月收入的中位数是月收入的中位数是17,x17,x与与y y有负线性相关关系有负线性相关关系c.c.月收入的中位数是月收入的中位数是16,x16,x与与y y有正线性相关关系有正线性相关关系d.d.月收入的中位数是月收入的中位数是16,x16,x与与y y有负线性相关关系有负线性相关关系【解

20、析【解析】选选c.c.月收入的中位数是月收入的中位数是 =16,=16,收入增加收入增加, ,支出增加支出增加, ,故故x x与与y y有正线性相关关系有正线性相关关系. .15 172【加固训练【加固训练】1.(20161.(2016顺德模拟顺德模拟) )观察下列散点图观察下列散点图, ,则则正相关正相关; ;负相关负相关; ;不相关不相关, ,它们的排列顺序与图形相对应它们的排列顺序与图形相对应的是的是( () ) a.aa.a,b-,b-,c,c- -b.a-b.a-,b-,b-,c,c- -c.a-c.a-,b-,b-,c-,c-d.a-d.a-,b-,b-,c,c- -【解析【解析】

21、选选d.d.变量的相关性的图形表示法变量的相关性的图形表示法, ,在相关变量在相关变量中中, ,图图a a从左下角到右上角是正相关从左下角到右上角是正相关, ,图图c c从左上角到右从左上角到右下角是负相关下角是负相关, ,图图b b的点分布不规则是不相关的点分布不规则是不相关. .2.2.给出下列关系给出下列关系: :正方形的边长与面积之间的关系正方形的边长与面积之间的关系; ;某化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系某化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系; ;人的身高与视力之间的关系人的身高与视力之间的关系; ;雾天的能见度与交通事故的发生率之间的关系雾天的能见度与交通事故的发生率之间的关系

22、; ;学生与其学号之间的关系学生与其学号之间的关系. .其中具有相关关系的是其中具有相关关系的是_._.【解析【解析】正方形的边长与面积之间的关系是函数关正方形的边长与面积之间的关系是函数关系系; ;化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系不是严化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系不是严格的函数关系格的函数关系, ,但是具有相关性但是具有相关性, ,因而是相关关系因而是相关关系; ;人人的身高与视力之间的关系既不是函数关系的身高与视力之间的关系既不是函数关系, ,也不是相关也不是相关关系关系; ;能见度与交通事故的发生率之间具有相关关系能见度与交通事故的发生率之间具有相关关系; ;学生与其学号之间

23、的关系是一种确定的对应关系学生与其学号之间的关系是一种确定的对应关系. .综综合以上可知合以上可知, ,具有相关关系具有相关关系, ,而而是确定性的函是确定性的函数关系数关系. .答案答案: :3.(20163.(2016渭南模拟渭南模拟) )某公司的科研人员在某公司的科研人员在7 7块并排、形块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x x对产量对产量y y影响的试验影响的试验, ,得到如下表所示的一组数据得到如下表所示的一组数据( (单单位位:kg):kg):施化肥量施化肥量x x1515202025253030353540404

24、545棉花产量棉花产量y y330330345345365365405405445445450450455455(1)(1)画出散点图画出散点图. .(2)(2)判断是否具有相关关系判断是否具有相关关系. .【解析【解析】(1)(1)散点图如图所示散点图如图所示: :(2)(2)由散点图知由散点图知, ,各组数据对应点大致都在一条直线附各组数据对应点大致都在一条直线附近近, ,所以施化肥量所以施化肥量x x与产量与产量y y具有线性相关关系具有线性相关关系. .考向二考向二独立性检验独立性检验【典例【典例2 2】(2016(2016洛阳模拟洛阳模拟) )某学生对其亲属某学生对其亲属3030人的

25、饮人的饮食习惯进行了一次调查食习惯进行了一次调查, ,并用如图所示的茎叶图表示并用如图所示的茎叶图表示3030人的饮食指数人的饮食指数.(.(说明说明: :图中饮食指数低于图中饮食指数低于7070的人的人, ,饮食饮食以蔬菜为主以蔬菜为主; ;饮食指数高于饮食指数高于7070的人的人, ,饮食以肉类为主饮食以肉类为主.).)(1)(1)根据以上数据完成下列根据以上数据完成下列2 22 2列联表列联表. .主食蔬菜主食蔬菜主食肉类主食肉类总计总计5050岁以下岁以下5050岁以上岁以上总计总计(2)(2)能否在犯错误的概率不超过能否在犯错误的概率不超过0.010.01的前提下认为其的前提下认为其

26、亲属的饮食习惯与年龄有关亲属的饮食习惯与年龄有关? ?并写出简要分析并写出简要分析. .附附:k:k2 2= = p(kp(k2 2kk0 0) )0.0500.0500.0100.0100.0010.001k k0 03.8413.8416.6356.63510.82810.8282n adbcnabcd.abcdacbd ，【解题导引【解题导引】(1)(1)把握把握2 22 2列联表的意义列联表的意义, ,准确填入数准确填入数据据. .(2)(2)将数据代入随机变量将数据代入随机变量k k2 2的计算公式进行计算的计算公式进行计算, ,与临与临界值比较并得出结论界值比较并得出结论. .【规

27、范解答【规范解答】(1)2(1)22 2列联表如下列联表如下: :主食蔬菜主食蔬菜主食肉类主食肉类总计总计5050岁以下岁以下4 48 812125050岁以上岁以上16162 21818总计总计202010103030(2)(2)因为因为k k2 2的观测值的观测值k= =106.635,k= =106.635,所以能在犯错误的概率不超过所以能在犯错误的概率不超过0.010.01的前提下认为的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关其亲属的饮食习惯与年龄有关. .2308 12812 18 20 10【母题变式【母题变式】1.1.若本例中条件不变若本例中条件不变, ,能否说有能否说有99%99%

28、的亲属的饮食习惯的亲属的饮食习惯与年龄有关与年龄有关? ?【解析【解析】这种说法不正确这种说法不正确. .能在犯错误的概率不超过能在犯错误的概率不超过0.010.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关, ,是这是这个论断成立的可能性大小的结论个论断成立的可能性大小的结论, ,与是否有与是否有“99%99%的亲的亲属的饮食习惯与年龄有关属的饮食习惯与年龄有关”无关无关. .2.2.若本例中条件不变若本例中条件不变, ,求认为其亲属的饮食习惯与年龄求认为其亲属的饮食习惯与年龄有关出错的可能性为多少有关出错的可能性为多少. .【解析【解析】因为因为k k2

29、2的观测值的观测值k= =106.635,k= =106.635,所以认为其亲属的饮食习惯与年龄有关出错的可能性所以认为其亲属的饮食习惯与年龄有关出错的可能性为为1%.1%.2308 12812 18 20 10【规律方法【规律方法】解决独立性检验问题的一般步骤解决独立性检验问题的一般步骤(1)(1)根据样本数据制成根据样本数据制成2 22 2列联表列联表. .(2)(2)根据公式根据公式k k2 2= = 计算计算k k2 2的值的值. .(3)(3)查表比较查表比较k k2 2与临界值的大小关系与临界值的大小关系, ,作统计判断作统计判断. .易错提醒易错提醒: :应用独立性检验方法解决问

30、题应用独立性检验方法解决问题, ,易出现不能易出现不能准确计算准确计算k k2 2值的错误值的错误. .2n adbcabcdacbd，【变式训练【变式训练】(2016(2016常德模拟常德模拟) )在研究打鼾与患心脏在研究打鼾与患心脏病之间的关系中病之间的关系中, ,通过收集数据、整理分析数据得到通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关打鼾与患心脏病有关”的结论的结论, ,并且在犯错误的概率并且在犯错误的概率不超过不超过0.010.01的前提下认为这个结论是成立的的前提下认为这个结论是成立的. .下列说法下列说法中正确的是中正确的是( () )a.100a.100个心脏病患者中至少

31、有个心脏病患者中至少有9999人打鼾人打鼾b.1b.1个人患心脏病个人患心脏病, ,则这个人有则这个人有99%99%的概率打鼾的概率打鼾c.100c.100个心脏病患者中一定有打鼾的人个心脏病患者中一定有打鼾的人d.100d.100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有【解析【解析】选选d.d.这是独立性检验这是独立性检验, ,犯错误的概率在不超过犯错误的概率在不超过0.010.01的前提下认为的前提下认为“打鼾与患心脏病有关打鼾与患心脏病有关”. .这只是一这只是一个概率个概率, ,即打鼾与患心脏病有关的可能性为即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.99%.

32、根据概根据概率的意义答案应选率的意义答案应选d.d.【加固训练【加固训练】(2016(2016梧州模拟梧州模拟) )下面是一个下面是一个2 22 2列联表列联表, ,则表中则表中a,ba,b处的值分别为处的值分别为( () )a.94,96a.94,96b.52,54b.52,54c.52,50c.52,50d.54,52d.54,52y y1 1y y2 2总计总计x x1 1a a21217373x x2 22 225252727总计总计b b4646100100【解析【解析】选选b.b.根据表格中的数据可知根据表格中的数据可知,2+a=b,b+46=100,2+a=b,b+46=100,

33、解得解得b=54,a=52.b=54,a=52.考向三考向三回归分析回归分析 【考情快递【考情快递】 命题方向命题方向命题视角命题视角线性回归方线性回归方程的应用程的应用已知样本数据已知样本数据, ,求线性回归方程并对数求线性回归方程并对数据进行预测估计据进行预测估计非线性回归非线性回归模型的应用模型的应用根据散点图根据散点图, ,选择合适的变换选择合适的变换, ,将非线将非线性回归模型转化为线性回归模型问题性回归模型转化为线性回归模型问题【考题例析【考题例析】 命题方向命题方向1:1:线性回归方程的应用线性回归方程的应用【典例【典例3 3】(2016(2016武汉模拟武汉模拟) )某商场对每

34、天进店人数和某商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比商品销售件数进行了统计对比, ,得到如下表格得到如下表格: :其中其中i=1,2,3,4,5,6,7.i=1,2,3,4,5,6,7.人数人数x xi i 1010151520202525303035354040件数件数y yi i 4 47 712121515202023232727(1)(1)以每天进店人数为横轴以每天进店人数为横轴, ,每天商品销售件数为纵轴每天商品销售件数为纵轴, ,画出散点图画出散点图. .(2)(2)求回归直线方程求回归直线方程.(.(结果保留到小数点后两位结果保留到小数点后两位) )(3)(3)预测进店人数为预测进店人数为8080人时人时, ,商品销售的件数商品销售的件数.(.(结果保结果保留整数留整数) ) 7iii 1722ii 1(x