八年级数学-一元二次方程知识点总结及典型习题2

1、金老师复习（ 2） 一元二次方程（一）、一元二次方程的概念1懂得并把握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式ax 2bxc0 （ a>0）；2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（ 1）明确只有当二次项系数a0 时，整式方程ax2bxc0 才是一元二次方程；（ 2）各项的确定包括各项的系数及各项的未知数.3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解（二）、一元二次方程的解法1明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2依据方程系数的特点，娴熟地选用配方法、开

2、平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3值得留意的几个问题：1 开平方法：对于形如x2n 或 axb 2na0 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如 x2n 的方程的解法：当n0 时， xn ;当 n0 时， x1x20 ;当 n0 时，方程无实数根；（ 2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 xm2n 的方程，再运用开平方法求解；配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；“系数化1”：依据等式的性质把二次项的系数化为1；配方：将方程两边分别加上一次项系数

3、一半的平方，把方程变形为 xm2n 的形式；求解：如n0 时，方程的解为xmn ，如 n0 时，方程无实数解；（ 3）公式法：一元二次方程ax 2bxc0 a0 的根 xbb 22a4ac当 b2当 b22当 b4ac 4ac4ac0 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；0 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为0 时，方程无实数根.bx1x2；2a公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定a, b, c 的值；代入b 24 ac 中运算其值，判定方程是否有实数根；如b24ac0 代入求根公式求值，否就，原方程无实数根；（ 4）因式分解法：因式分解法的一般步骤：如方程的右

4、边不是零，就先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解；第 1 页 共 4 页（三）、根的判别式1明白一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情形，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范畴； （ 1）= b24 ac（ 2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2bxc0 （ a0）a0a0当方程有实数根；当0时0时方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理；例：求证：方程a 21) x22axa240 无实数根；（ 4）分类争论思想的应用：假如方程给出

5、的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那肯定要对方程进行分类争论，假如二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；假如二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根；（四）、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式；2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特点、定理或法就来查找等量关系，构建方程，对结果要结合几何学问检验；3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a ），增长率（x ），变化的次数（n ），变化后的基数（ b ） ,这四者之间的关系可以用公式a1xnb 表示；4.其它实际问题（都要留意检

6、验解的实际意义，如不符合实际意义，就舍去）；（五）新题型与代几综合题（ 1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600 平方米， 在场地的北面有一堵50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（ 2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？3 已知： a,b, c 分别是abc 的三边长， 当 m0 时，关于 x 的一元二次方程c x

7、 2mbx 2m2max0有两个相等的实数根，求证：abc 是直角三角形；（ 4）已知：a, b,c 分别是abc 的三边长，求证：方程b 2 x 2b 2c2a 2 xc 20 没有实数根；（ 5）当 m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程mx 24 x40 与 x 24mx4 m24m50 的根都是整数？（ 6）已知关于x 的方程 x22 xm21x 22 x2 m0 ，其中 m 为实数，（ 1）当 m 为何值时， 方程没有实数根？（ 2）当 m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根；答案：（ 1） m2 （ 2） x1,12 .（六）相关练习（一）一元二次方程的概念

8、1一元二次方程的项与各项系数第 2 页 共 4 页把以下方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：（ 1）5 x223x2（ 2） 5a124a322应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值(1) m 为何值时，关于x 的方程 m2) x mm3 x4m 是一元二次方程；x 27x8（ 2）如分式0 ，就 xx13由方程的根的定义求字母或代数式值1 关于 x 的一元二次方程 a1) x2xa 210 有一个根为0，就 a2 已知关于 x 的一元二次方程ax 2bx（二）一元二次方程的解法1开平方法解以下方程：c0a0 有一个根为1，一个根为1，就abc，abc（ 1）

9、 169 x3 2289213 m202配方法解方程：（ 1） x22 x502 2 y 24 y33公式法解以下方程：（ 1） 3 x26x2（ 2） p 2323 p4因式分解法解以下方程：（ 1） y24 y450(2) x522 x51（3）7 x 221x05解法的敏捷运用（用适当方法解以下方程）：1 6 x x2 x2 x32812 x5 2144x3 2（三）一元二次方程的根的判别式1不解方程判别方程根的情形：（ 1） 4 x 2x37 x（ 2） 3x 22) 4x3 4x2545 x2 k 为何值时，关于x 的二次方程kx 26 x90第 3 页 共 4 页（ 1）有两个不等的实数根（ 2）有两个相等的实数根（ 3）无实数根3. k 为何值时，方程k21 x2 k3 xk30 有实数根 .（四）一元二次方程的应用1已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.2.某印刷厂在四年中共印刷1997 万册书， 已知第一年印刷了342 万册， 其次年印刷了500 万册， 假如以后两年的增长率相同，那么这