第五节对面积的曲面积分

1、第五节第五节 对面积对面积曲面曲面积分的计算法积分的计算法几何形体上的积分几何形体上的积分 gfp dg ,;dfx y d , ,fx y z dv ,;lfx y ds , ,fx y z ds 重积分重积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 , ,fx y z 在在 上上连连续续， 当当g为一光滑曲面为一光滑曲面 ， 被积函数被积函数 有有( , , )f x y z ds 曲面面积元素曲面面积元素积分曲面积分曲面 , ,fx y z 称称为为函函数数在在曲曲面面 上上的的对面积的曲面积分对面积的曲面积分( (第一类曲面积分第一类曲面积分) )( , , )f x y z ds 计算对面积

2、的曲面积分计算对面积的曲面积分 化为二重积分化为二重积分 , ,x y z 在在 上上变变化化？曲面积分元素为221( , )( , )cosxyddszx yzx y d第一型曲面积分化为二重积分的公式为22( , , )( , , ( , ) 1( , )( , )xydf x y z dsf x y z x yzx yzx y d 用切平面小块 来代替 ，而dadsdadcosdda( , , )f x y z ds 如果曲面 的方程由x=x(y,z)或y=y(x,z)给出，也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz面上的二重积分。2222:, , ,1:, ,1yzxzyzdxzd

3、xx y zf x y z dsfx y zy zxx dyy x zf x y z dsfx y x zzyy dv例1 计算 ，其中 是球面 被平面 截出的顶部。1dsz2222xyza(0)zhhaoxyzaaahxyd解 的方程为 ，它在xoy面上的投影区域d为 ， 的曲面面积元素为 222zaxy2222xyah222221xyadszzddaxy所以222222222222222222022001112ln()2ln2dddahahdszadaxyaxyaadrdrdaxyarraaddraaraarh （极坐标）v例2 计算 ，其中 是三个坐标面和平面 围成的四面体的整个边界曲面

4、。xyzds1xyzxyz111oxyd解 边界曲面 由四块组成：1234 他们的表达式分别是0,0,0,1xyzxyz于是1234sxyzd 由于在 ， ， 上 均为零，所以123( , , )f x y zxyz1230在 上 ， ，又 在xoy面上的投影区域d为围成的三角形41zxy 2213xydszzdd40,0,1xyxy所以4110023110031012340s(1) 33(1)3(1)23(1)363(33)63120dxxxyzdxyzdsxyxydxdxyxy dyyyxxdxxxdxxxxxdxv例3 计算 ，其中 为圆柱面 介于平面z =0和z =h(h0)且在第一卦限的部分。 222dsxyz222xyr解 由于 不能表示成z=z(x,y)的形式现写成 ，这样就需投影到yoz面上，投影区域d为矩形22xry0,0yrzh又22,0yzyxxry有22221xyrdszzdydzdydzry2222222222200220220111arctan|1arctandhdrhrdsrdydzxyzrzryrdydzrzryrzdyrrryhdyrr