八年级下期数学培优思维训练

1、八年级下期数学培优思维训练三、平行四边形（特别平行四边形）（一）学问梳理：（二）方法归纳：（三）范例精讲：1.如图，在 rtabc中， acb=90°， ad 平分 cab， ceab 于 e，交 ad 于 g， df ab于 f. 求证：四边形 cgfd是菱形.2.（ 1） 如图，四边形 abcd为正方形， de ac，aeac，ae与 cd相交于 f 求证： ce cf.（2）如图，四边形 abcd为正方形， deac，且 ceca，直线 ec交 da 延长线于 f 求证： ae af.（3）过正方形 abcd的顶点 b 引对角线 ac 的平行线 be，在 be 上取一点 f，使

2、 af=ac，如作菱形 cafe. 求证： ae 及 af 三等分 bac.13. 如图， e，f，分别是正方形abcd的边 ab、bc 的中点， m 为 bc 的延长线上一点，ch平分 dcm 交 ad 延长线于 h ， fgaf 交 ch于 g. 求证：（1） abf dae，afde；（2） aef fcg；（3）四边形 efgd是平行四边形 .4. 如图，在 abc中，分别以 ab、ac、bc为边在 bc的同侧作等边 abd、 ace、 bcf.（1）求证：四边形 daef是平行四边形；（2）探究以下问题：（只填满意的条件，不需证明）当 abc满意 条_当 abc满意 条_当 abc满

3、意 条_当 abc满意 条_件时，四边形daef是矩形； 件时，四边形daef是菱形； 件时，四边形daef是正方形；件时， 以 d、a、e、f 为顶点的四边形不存在25. 如图， e、f 分别是正方形 abcd的边 ab、bc上的点，且 ef ac，在 da 的延长线上取一点 g，使 agad，eg与 df相交于点 h. 求证： ahad.6.如以直角三角形abc的边 ab 为边，在 abc的外部作正方形abde，af 是 bc边的高，延长 fa至点 g 使 ag=bc. 求证： bg=cd.7.如图 1，正方形 abcd中， m 为 ab 的中点， e 为 ab 延长线上一点， mndm，

4、交 cbe的平分线于点 n（1）dm 与 mn 相等吗？试说明理由（2）如将条件“ m 为 ab 的中点”改为“ m 为 ab 上任意一点”，其它条件不变，如图2，就 dm 与 mn 相等吗？为什么？38.如图，菱形 abcd的边长是 2， bd=2，e、f 分别是边 ad，cd上的两个动点，且ae+cf=2.（1）求证： bde bcf；（2）判定 bef的外形，并说明理由 .9.正方形 abcd中， man=45°， man 绕点 a 顺时针旋转，它的两边分别交cb，dc（或 它们的延长线）于点m ，n当 man 绕点 a 旋转到 bm=dn 时（图 1），易证 bm+dn=mn

5、（1）当 man 绕点 a 旋转到 bmdn 时（图 2），线段 bm， dn 和 mn 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当 man 绕点 a 旋转到如图 3 的位置时， 线段 bm，dn 和 mn 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想；（3）运用在（ 1）解答中所积存的体会，完成下题：如图4，在直角梯形 abcd中， ad bc（bcad）， b=90°， ab=bc，e 是 ab 上一点，且 dce=45°， be=4，de=10，求直角梯形 abcd的面积410. 正方形 abcd中，点 o 是对角线 db的中点， 点 p 是 db 所在直线上

6、的一个动点， pe bc于 e， pfdc于 f.（1）当点 p 与点 o 重合时（如图），推测 ap 与 ef的数量及位置关系， 并证明你的结论；（2）当点 p 在线段 db 上 （不与点 d、o、b 重合）时（如图），探究（ 1）中的结论是否成立？如成立，写出证明过程；如不成立，请说明理由；（3）当点 p 在 db 的长延长线上时，请将图补充完整，并判定（1）中的结论是否成立？如成立，直接写出结论；如不成立，请写出相应的结论.11. 如图，点 p 是正方形 abcd对角线 ac上一动点， 点 e 在射线 bc上，且 pb=pe，连接 pd， o 为 ac中点（1）如图 1，当点 p 在线段

7、 ao 上时，猜想 pe与 pd的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图 2，当点 p 在线段 oc上时，（1）中的猜想仍成立吗？请说明理由；（3）如图 3，当点 p 在 ac的延长线上时，请在图3 中画出相应的图形（尺规作图，保留作 图痕迹， 不写作法），并判定（1）中的猜想是否成立？如成立，请直接写出结论； 如不成立，请说明理由512. 如图，四边形 abcd是正方形， abe是等边三角形， m 为对角线 bd（不含 b 点）上任意一点，将 bm 绕点 b 逆时针旋转 60°得到 bn，连接 en、am、cm（1）求证： amb enb；（2） 当 m 点在何处时， am+c

8、m 的值最小； 当 m 点在何处时， am+bm+cm 的值最小， 并说明理由；（3）当 am+bm+cm 的最小值为时，求正方形的边长13.以四边形 abcd的边 ab、bc、cd、da 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 e、f、g、h，顺次连接这四个点，得四边形efgh（1）如图 1，当四边形 abcd为正方形时，我们发觉四边形efgh是正方形；如图2，当四边形 abcd为矩形时，请判定：四边形efgh的外形（不要求证明） ；（2）如图 3，当四边形 abcd为一般平行四边形时，设adc=（ 0° 90°），试用含的代数式表示hae；求证： he=hg；

9、四边形 efgh是什么四边形？并说明理由6（四）思维训练：1. 在abc中， c=90°，ac=bc，ad=bd，pe ac于点 e， pf bc于点 f. 求证： de=df.2. 如图，矩形 abcd，延长 cb到点 e，使 ce=ca，点 f 是 ae 的中点 . 求证： bfdf.a dfeb c3. 如图，在 aec中，以 aec为锐角，点 b 是线段 ac 的中点，点 d 是线段 ce的中点四边形 bcgf和 cdhn都是正方形 ah 的中点是 m求证： fmh 是等腰直角三角形74.（1）如图 ，在正方形 abcd中，aef的顶点 e，f 分别在 bc，cd边上，高 a

10、g 与正方形的边长相等，求 eaf的度数（2）如图 ，在 rtabd 中， bad=9°0 ，ab=ad，点 m，n 是 bd 边上的任意两点，且man=45 °，将abm 绕点 a 逆时针旋转 90 °至 adh 位置，连接 nh，试判定 mn ，nd， dh 之间的数量关系，并说明理由（3）在图 中，连接 bd 分别交 ae，af 于点 m，n，如 eg=4，gf=6，bm=3，求 ag，mn 的长5. 在图 1 到图 3 中，点 o 是正方形 abcd对角线 ac的中点， mpn 为直角三角形，mpn=90 °正方形 abcd保持不动， mpn 沿

11、射线 ac向右平移，平移过程中p 点始终在射线 ac 上，且保持 pm 垂直于直线 ab 于点 e，pn 垂直于直线 bc于点 f（1）如图 1，当点 p 与点 o 重合时， oe与 of 的数量关系为 ；（2）如图 2，当 p 在线段 oc上时，猜想 oe 与 of 有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果赐予证明；（3）如图 3，当点 p 在 ac 的延长线上时， oe与 of的数量关系为 ；位置关系为 86. 正方形 abcd中，点 o 是对角线 ac 的中点， p 是对角线 ac 上一动点，过点 p 作 pf cd于点 f如图 1，当点 p 与点 o 重合时，明显有 df=cf（1

12、）如图 2，如点 p 在线段 ao 上（不与点 a、o 重合），pe pb且 pe交 cd于点 e求证： df=ef；写出线段 pc、pa、ce之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）如点 p 在线段 oc上（不与点 o、c 重合），pe pb且 pe交直线 cd于点 e请完成图3 并判定（ 1）中的结论、是否分别成立？如不成立，写出相应的结论 （所写结论均不必证明）7. 已知正方形 abcd（1）如图 1，e 是 ad 上一点，过 be上一点 o 作 be的垂线，交 ab 于点 g，交 cd于点 h， 求证： be=gh；（2）如图 2，过正方形 abcd内任意一点作两条相互垂直的直线，分

13、别交 ad，bc于点 e，f，交 ab，cd 于点 g，h，ef与 gh 相等吗？请写出你的结论；（3）当点 o 在正方形 abcd的边上或外部时，过点o 作两条相互垂直的直线，被正方形相 对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段仍相等吗？其中一种情形如图3 所示，过正方形 abcd外一点 o 作相互垂直的两条直线m，n，m 与 ad，bc的延长线分别交于点e，f，n 与 ab，dc 的延长线分别交于点g， h，试就该图形对你的结论加以证明98. 操作示例：对于边长为a 的两个正方形 abcd和 efgh，按图 1 所示的方式摆放，在沿虚线 bd，eg剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1

14、 中的四边形 bned从拼接的过程简单得到结论：四边形bned是正方形； s 正方形 abcd+s正方形 efgh=s正方形 bned实践与探究：（1）对于边长分别为 a， b（ a b）的两个正方形 abcd和 efgh，按图 2 所示的方式摆放， 连接 de，过点 d 作 dm de，交 ab 于点 m，过点 m 作 mn dm，过点 e 作 ende，mn 与 en相交于点 n；证明四边形 mned 是正方形，并用含a， b 的代数式表示正方形mned 的面积；在图 2 中，将正方形abcd和正方形 efgh沿虚线剪开后，能够拼接为正方形mned，请 简略说明你的拼接方法（类比图1，用数

15、字表示对应的图形） ；（2）对于 n（n 是大于 2 的自然数）个任意的正方形，能否通过如干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由109. 如图，操作：把正方形 cgef的对角线 ce放在正方形 abcd的边 bc的延长线上（cgbc），取线段 ae 的中点 m探究：线段 md、mf 的关系，并加以证明说明：（1）假如你经受反复探究，没有找到解决问题的方法，请你把探究过程中的某种思路写出来（要求至少写3 步）；（2）在你经受说明（ 1）的过程后，可以从以下 、 、 中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明留意：选取 完成证明得 10 分；选取 完成证明得 7 分；选取 完成证明得 5 分 dm的延长线交 ce于点 n，且 ad=ne； 将正方形 cgef6绕点 c 逆时针旋转 45°（如图），其他条件不变； 在 的条件下，且 cf=2ad附加题：将正方形cgef绕点 c 旋转任意角度后（如图） ，其他条件不变探究：线段md、 mf 的关系，并加以证明1110. 操作：将一把三角尺放在边长为1 的正方形 abcd上，并使它的直角顶点p 在对角线 ac上滑动，直角的一边始终经过点b，另一边与射线dc 相交于点 q 探究：设 a、p 两点间的距离为 x（1）点