例谈数学知识在物理中的应用

1、学习必备欢迎下载例谈数学学问在物理中的应用新的物理学科的考试说明对同学的才能考核从五个方面提出了详细的要求：一是懂得才能，二是推理才能，三是分析综合才能，四是应用数学学问处理物理问题的才能，五是试验才能，特殊是创新试验才能；其中对应用数学学问处理物理问题的才能详细说明是：要求同学能够依据详细问题列出物理量之间的关系式，进行相关推导和求解，并依据运算结果得出物理结论；必要时能敏捷运用几何图形、图像或函数关系式进行表达、分析；数学是与物理联系最为紧密的学科之一；随着高考改革的深化及素养训练的全面推开；各学科之间的渗透不断加强，作为对懂得才能和演绎推理才能及运算才能都有很高要求的物理学科，在平常的教

2、学中，准时敏捷地渗透数学学问，培育同学运用数学学问解决物理问题的才能尤为重要；我们在平常的教学中要随时留意数学学问和物理内容的整合；运用数学工具解决物理问题的才能，主要指两个方面；一是从物理现象与过程 动身，经过概括、抽象，把物理问题转化为数学问题；二是综合运用数学学问，例如比例关系、函数关系、不等式关系、几何关系、极值关系等，正确、简洁 地进行有关问题的求解；1、运用数学语言和方法表述物理概念、物理规律，便于懂得；物理中有大量的物理概念和物理规律，其中有很多概念的引入，就是通过数学语言来描述的；例如，金属导体两端的电压与其流过的电流成正比；为了描述它们的比例系数，引入了电阻r的概念；同类的概

3、念仍有，电容器的电容c、电场强度 e、物体运动的速度v、加速度 a 等；不过，物理学问究竟与数学学问不 同，所以老师在教授这类物理概念和物理规律时，要特殊强调它们的物理含义和成立条件，不能进行简洁的数学类推；例如：对于电阻的定义式r=u/i ，我们就不能说成 r与 u成正比，与 i 成反比；物理规律是对各种物理现象或物理变化的精辟概括；是人类聪明的结晶；为了 便于表述或懂得，有很多规律使用了数学方法；例如在争论抱负气体状态参量 间的制约关系时，使用了p-v、v-t、p-t 图像；又如为了分析线圈在匀强磁场中匀角速转动过程中，线圈中的磁通量、瞬时感应电动势、感应电流随时间的 变化规律，采纳了正弦

4、波图像的数学方法；除了图像描述外，物理中几乎全部 的规律都可以写成数学解析式的公式；2、恰当选用数学工具解决各类物理问题，化繁为简；中学物理中，除了大量用到初等数学的各种基本运算和方程、恒等变换等数学学问外，在很多问题中，仍可以敏捷运用数学中的其他学问，另辟捷径，化繁为简；学习必备欢迎下载2.1 几何学问的运用平面几何学问是物理中应用最广泛的数学学问之一；例如两边相互垂直或两边相互平行的两角相等，相像三角形对应边成比例，这两种判定方法常用于受力分析图中；又如光的反射、光的折射中更是用到大量的几何学问；2.2 三角学问的应用物理学中的力、速度、位移等矢量物理量的合成均遵循平行四边形法就；因此，在

5、对这些物理量进行分析时，常常会大量应用三角学问；很多题目因此会大大 简化分析过程或运算步骤，起到曲径通幽的成效；2.3 极值判别式的应用物理量间的关系往往是相互制约的，当某个量发生变化时其他量随之变化；在变化过程中常常会显现极值问题；如能合理利用数学中的极值问题的判别式，常能简化解题过程； 例 3一个下端封闭，上端开口的粗细匀称的玻璃管，竖直放置，管的全长 为 90cm，管中有一段 20cm的水银柱，在温度为27时，水银下面的空气柱长为 60cm，如外界大气压为1 大气压，问温度升至多少时，水银全部溢出？ 解析管内的封闭气体在水银溢出前作等压变化，当水银溢出后，气体的温度，体积和压强都要发生变

6、化；但始终遵循抱负气体状态方程；设管内仍剩余xcm水银柱时，温度为 t，就整理得 t= ，可见 t 是 x 的二次函数：因（ 76+x） 和（ 90-x ）这两项之和为定值，依据数学中极值学问可知：当 76+x=90-x 时， 即 x=7cm时， t 有极大值，为 t=358.8k； 例 4在磁感应强度为 b 的匀强磁场中，有一根长为l 的软导线，制成的封闭线圈，开头时，线圈面积为零，当它在t 秒内快速张开，所张的曲线平面与磁场垂直时，求线圈中所能产生的平均感应电动势的最大值； 解析此题是电磁感应中求感应电动势问题，依据法拉第电磁感应定律，可知，要使 有最大值，只有使线圈面积扩张到最大才行；由

7、数学中边长和所围面积间关系可得，在周长恒定的情形下，圆形面积最大；因此此题答案为；2.4 数列学问的应用 例 5小球从 h0=45m高处自由下落，着地后跳起，然后又下落，每与地面相碰一次，速度就削减为原先的k 倍；如 k= ，求小球从下落开头直至停止运动所用的总时间；（ g 取 10m/s2，碰撞时间忽视不计） 解析要求小球运动的总时间，必需依据小球的运动特点，由运动学公式将小球每碰一次在空中运动的时间求出，然后再累加求和；学习必备欢迎下载小球从 h0 处下落到地面时的速度：，运动的时间：；第一次碰地后小球的速度：；小球在再次与地面碰撞之前作竖直上抛运动，这一过程小球运动的时间：；同理可推得，

8、第n 次碰地后，小球的运动速度为：，运动时间为：，由此可知，小球从下落到停止运动的总时间为：n2t = t0+t 1+t n += +2k +2k+2k += +2 k+k2 +kn +上式括号中是一个无穷递减的等比数列，其首项为k，公式也为 k，可用数学中等比数列的求和公式求得其最终答案：t=9s ；此题是数学中的数列与物理学中的运动学的数理结合问题，在求解该问题中，正确写出某一物理量的通项表达式是解题的关键；在解决物理问题时除了以上几种数学学问常常运用外，比例学问、正弦定理、余弦定理、不等式学问等也时时会涉及；数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律

9、性，能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的中学物理考试大纲中对同学应用数学方法解决物理问题的才能作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能 力对这一才能的考查在历年高考试题中也层出不穷，如 20xx年高考北京理综卷第20 题、宁夏理综卷第18 题、江苏物理卷第15 题； 20xx年高考四川理综卷第24 题、延考区理综卷第 25 题、上海物理卷第23 题、北京理综卷第24 题等所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析， 以形成对问题的判定、说明和猜测 可以说， 任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程本专题中所指的数学

10、方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差比数列求和法等一、极值法数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等1 利用三角函数求极值y acos bsina2 b2aa2 b2cos ba2 b2sin 令 sin aa2 b2 ，cos ba2 b2学习必备欢迎下载就有： y a2 b2sincos cos sina2 b2sin 所以当 2时， y 有最大值，且ymax a2 b2 2 利用二次函数求极值二次函数： y ax2 bx c ax2 bax b24a2 c b24

11、a ax b2a2 4ac b24a 其中 a、b 、c 为实常数 ，当 x b2a时，有极值ym 4ac b24a 如二次项系数a>0 ， y 有微小值；如a<0 ， y 有极大值 3 均值不等式对于两个大于零的变量a 、b ，如其和 a b 为肯定值p ，就当 ab 时，其积ab 取得极大 值 p24 ；对于三个大于零的变量a、b 、c ，如其和 a b c 为肯定值q ，就当 a b c 时，其积 abc 取得极大值q327 二、几何法利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及 “全等、相像三角形的特性”

12、等相关学问，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时常常要用到相像三角形法、作图法等 与圆有关的几何学问在力学部分和电学部分的解题中均有应用，特殊在带电粒子在匀强磁场中做圆周 运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上，确定方法有以下几种1 依切线的性质确定从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径2 依垂径定理垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧和相交弦定理假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项确定如图8 1 所示图 8 1由 eb2 ce.ed学习必备欢迎下

13、载ce.2r ce得： r eb22ce ce2也可由勾股定理得：r2 r ce2 eb2解得： r eb22ce ce2 以上两种求半径的方法常用于求解“带电粒子在匀强磁场中的运动”这类习题中三、图象法中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解， 如能与数学图形相结合， 再恰当地引入物理图象，就可变抽象为形象， 突破难点、 疑点， 使解题过程大大简化 图象法是历年高考的热点，因而在复习中要亲密关注图象，把握图象的识别、绘制等方法1 物理图象的分类整个高中教材中有很多不同类型的图象，按图形外形的不同可分为以下几类(1) 直线型：如匀速直线运动的 s t 图象、匀变速直线运动的 v t 图象、定值电

14、阻的 u i图象等(2) 正弦曲线型：如简谐振动的 x t 图象、简谐波的 y x 图象、正弦式交变电流的 e t图象、正弦式振荡电流的 i t 图象及电荷量的 q t 图象等(3) 其他型：如共振曲线的 a f 图象、分子力与分子间距离的 f r 图象等下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回忆，以期对物理图象有个较为系统的熟悉和归纳图 象 函数形式 特例 物理意义y c 匀速直线运动的v t 图象 做匀速直线运动的质点的速度是恒矢量y kx 匀速直线运动的s t 图象初速度 v0 0 的匀加速直线运动的 v t 图象 如 v00，就纵截距不为零 纯电阻电路的 i u 图象 表示物

15、体的位移大小随时间线性增大表示物体的速度大小随时间线性增大表示纯电阻电路中 i 随导体两端的电压 u 线性增大y a kx 匀减速直线运动的v t 图象学习必备欢迎下载闭合电路中的u i 图象 u e ir 表示物体的速度大小随时间线性减小表示路端电压随电流的增大而减小y ax b.x双曲线函数 由纯电阻用电器组成的闭合电路的ur 图象 uer rr在垂直于匀强磁场的xczt71 tifbp 导轨上，自由导体棒在一恒定动力f 的作用下做变加速运动的v t 图象 表示纯电阻电路中电源的端电压随外电阻而非线性增大将达到稳固速度vm fr 总 b2l2 y kx2抛物线函数 小灯泡消耗的实际功率与外

16、加电压的p u 图象位移与时间的s t 图象 s 12at2表示小灯泡消耗的实际功率随电压的增大而增大，且增大得越来越快表示位移随时间的增大而增大，且增大得越来越快xy c双曲线函数 机械在额定功率下，其牵引力与速度的关系图象p fv 表示功率肯定时，牵引力与速度成反比y asin交t流电的e t 图象 e emsin t 表示沟通电随时间变化的关系2 物理图象的应用(1) 利用图象解题可使解题过程更简化，思路更清晰利用图象法解题不仅思路清晰， 而且在很多情形下可使解题过程得到简化， 起到比解析法更奇妙、 更敏捷的特殊成效 甚至在有些情形下运用解析法可能无能为力， 但是运用图象法就会使你豁然开

17、朗，如求解变力分析中的极值类问题等(2) 利用图象描述物理过程更直观从物理图象上可以比较直观地观看出物理过程的动态特点(3) 利用物理图象分析物理试验运用图象处理试验数据是物理试验中常用的一种方法，这是由于它除了具有简明、直观、 便于比较和削减偶然误差的特点外，仍可以由图象求解第三个相关物理量，特殊是无法从试验中直接得到的结论学习必备欢迎下载3 对图象意义的懂得(1) 第一应明确所给的图象是什么图象，即认清图象中比纵横轴所代表的物理量及它们的“函数关系 ”，特殊是对那些图形相像、简洁混淆的图象，更要留意区分例如振动图象与波动图象、运动学中的s t图象和 v t 图象、电磁振荡中的i t 图象和

18、 q t 图象等(2) 要留意懂得图象中的“点”、“线”、“斜率 ”、“截距 ”、“面积 ”的物理意义点：图线上的每一个点对应争论对象的一个状态要特殊留意 “起点 ”、“终点 ”、“拐点 ”、“交点”，它们往往对应着一个特殊状态如有的速度图象中，拐点可能表示速度由增大减小 变为减小 增大 ，即加速度的方向发生变化的时刻，而速度图线与时间轴的交点就代表速度的方向发生变化的时刻线： 留意观看图线是直线、曲线仍是折线等，从而弄清图象所反映的两个物理量之间的关系斜率： 表示纵横坐标上两物理量的比值常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量运算中所对应的物理量的大小以及定性分析变化的快慢如v t图象的斜

19、率表示加速度截距：表示纵横坐标两物理量在“边界 ”条件下物理量的大小由此往往可得到一个很有意义的物理量 如电源的u i 图象反映了u eir 的函数关系， 两截距点分别为0 ，e和 er， 0 面积：有些物理图象的图线与横轴所围的面积往往代表一个物理量的大小如v t 图象中面积表示位移4 运用图象解答物理问题的步骤(1) 看清纵横坐标分别表示的物理量(2) 看图象本身，识别两物理量的变化趋势，从而分析详细的物理过程(3) 看两相关量的变化范畴及给出的相关条件，明确图线与坐标轴的交点、图线斜率、图线与坐标轴围成的“面积 ”的物理意义四、数学归纳法在解决某些物理过程中比较复杂的详细问题时，常从特殊

20、情形动身，类推出一般情形下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的利用数学归纳法解题要注学习必备欢迎下载意书写上的规范，以便找出其中的规律五、微元法利用微分思想的分析方法称为微元法它是将争论对象物体或物理过程进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行争论，从而找出被争论对象的变化规律的一种思想方法微元法解题的思维过程如下(1) 隔离挑选恰当的微元作为争论对象微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也可以是一个小体积、小质量或一小段时间等，但必需具有整体对象的基本特点(2) 将微元模型化 如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等，并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之

21、间的关联(3) 将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体量的合懂得答六、三角函数法三角函数反映了三角形的边、角之间的关系，在物懂得题中有较广泛的应用例如：争论三个共点的平稳力组成的力的三角形时，常用正弦定理求力的大小；用函数的单调变化的临界状态来求取某个物理量的极值；用三角函数的“和积公式 ”将结论进行化简等七、数列法凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、 重复性强的特点， 但每一个重复过程均不是原先的完全重复， 而是一种变化了的重复 随着物理过程的重复， 某些物理量逐步发生着前后有联系的变化该类问题求解的基本思路为：(1) 逐个分析开头的几个物理过程；(2) 利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式这是解题的关键；(3) 最终分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公