人教版高中数学必修⑤《正余弦定理的应用》教学设计

1、课题：必修正、余弦定理的应用三维目标：1学问与技能（1）能够运用正弦定理、 余弦定理以及相关的三角学问和方法解决一些有关测量距离、 底部不行到达的物体高度测量、有关运算角度等实际问题，并明白常用的测量相关术语；（ 2）能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法进一步解决有关三角形的较为综合的问题,把握三角形的面积公式的简洁推导和应用；（3）提高分析问题、解决问题的才能，增强应用意识，并加强动手操作才能；2过程与方法（1）结合同学的实际情形，充分运用【合作探究、分层推动教学法】，采纳“提出问题引发摸索探究猜想总结规律反馈训练” 的教学过程， 依据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题， 设计变

2、式， 同时通过多媒体、 图形观看等直观演示，帮忙同学把握解法， 能够类比解决实际问题； 对于例 1 这样的开放性题目要勉励同学争论， 开放多种思路， 引导同学发觉问题并进行适当的指点和矫正；（2）引导同学运用运用正、余弦定理、面积公式及相关的三角知识，通过合作探究、争论、沟通，解决各类关于三角形的各类实际问 题，不但进一步认清刚学的两个定理的本质，仍能复习巩固前面所学习的三角学问和基本方法；（3）在体验学问的运用过程和合作探究过程的同时，不断熟识三 角学问的工具性作用及所带来的转化思想及数形结合思想，锤炼抽象思维才能和推理论证才能；（ 4）培育同学分析问题、解决问题的才能及钻研精神，培育同学的

3、运算才能、严谨的思维习惯以及解题的规范性；3情态与价值观（1）通过三角学问的进一步拓展和运用，体会数学学问抽象性、概括性和广泛性，培育同学学习数学的爱好，形成学数学、用数学的思维和意识，培育学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗；（2）通过对三角学问的进一步学习及探究，不断培育自主学习、主动探究、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参加意识和合作精神，并进一步培育同学争论和发觉才能，让同学在探究中体验愉悦的胜利体验；教学重点：运用正、余弦定理及相关的三角学问解决关于各类关于三角形的实际问题教学难点：怎样依据题意建立数学模型以及运用正、余弦定理及相关的三角学问解决关于三角形的

4、较为综合性的问题；教具： 多媒体、实物投影仪教学方法： 合作探究、分层推动教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：众所周知，数学与实际生活亲密相关；下面，我们就运用前面学习的正弦定理、余弦定理及相关的三角学问来解决一些实际问题及综合问题；请同学们回忆一下正弦定理、余弦定理所带来的三角公式：正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcsin asin bsin c余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍；即a2b 2b 2a 2c22bc cos a c22ac cos bc 2a 2b 22ab cosccosab2c2

5、a2 2bccosba2c2b2 2accoscb2a2c22ba再给出一些相关学问：1、基本概念（ 1） 仰角、俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，视线在水平线 -的角称为；（ 2）方位角 - 从正北方向按顺时针旋转到目标方向线的水平角， 叫方位角（ 3）方向角 - 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角；如 ：南偏西 30°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转 30°（ 4）视角 - 指视线所夹的角（ 5）坡角与坡度 - 坡面与水平面的夹角为坡角（坡面的倾斜角），其正切值为坡度； 2、应用正、余弦定懂得决实际问题的一般步骤和一般

6、思路（1） 一般步骤 分析：懂得题意，分清已知与未知，画出示意图 建模：依据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； 检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解二、 创设情境合作探究：“遥不行及的月亮离我们地球到底有多远呢？” 在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么奇妙的方法探究到这个秘密的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着 很多可供挑选的测量方案， 比如可以应用全等三角形、 相像三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的

7、方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施；如由于没有足够的空间，不能 用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性；今日我们 开头学习正弦定理、 余弦定理在科学实践中的重要应用，争论如何测量距离、高度等问题； 应用之一：【距离测量问题 】问题.1 如下列图，为了测量河对岸a、b 两点间的距离（不行到达） ；在这一岸定一基线cd，现已测出 cd=a， bca= ， acd= ， bdc= , adb= ；请设计一种方案求ab的长；【分析】此题争论的是两个不行到达的点之间的距离测量问题；第一需要构造三角形，所以需要确定c、d 两点；依据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一

8、边既可求出另两边的方法，分别求出 ac 和 bc，再利用余弦定理可以运算出ab 的距离；【解析】在adc和bdc中，应用正弦定理得ac =asin=asinsin180sinbc =sin180a sin =sina sin在abc中，应用余弦定理运算出ab两点间的距离ab =ac 2bc 22 acbc cos分组争论：仍没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析；【点评】 实际问题的转换；留意正弦余弦定理的应用；可见，在争论三角形时， 敏捷依据两个定理可以查找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复， 如何找到最优的方法， 最主要的仍是分析两个定理的特点，结合题目条件来挑选正确的运算

9、方式；【变式练习】 如图，设 a、b 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在a 的同侧，在所在的河岸边选定一点c，测出 ac的距离是 55m，bac=51 ，acb=75 ；求 a、b 两点的距离 精确到 0.1m【分析】 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不行到达的点之间的距离的问题，题目条件告知了边 ab 的对角， ac 为已知边， 再依据三角形的内角和定理很简洁依据两个已知角算出 ac 的对角，应用正弦定理算出 ab 边；【引领同学层层推动】启示提问1：abc中，依据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启示提问2： 运用该定懂得题仍需要那些边和角呢？请同学回答；【解析】

10、依据正弦定理，得ab=acab =acsinacb=55sinacbsin=acb55sin 75sinabc=sin 55sin75abcsin 65.7mabcsin1805175 sin54答:a 、b 两点间的距离为65.7米【点评】 解斜三角形应用题的一般步骤：（ 1）分析：懂得题意，分清已知与未知，画出示意图（ 2）建模：依据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（ 3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（ 4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 .应用之二 : 【高度测量问

11、题 】问题.2ab是底部 b 不行到达的一个建筑物， a 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度ab的方法；【分析】 求 ab 长的关键是先求ae ，在ace 中，如能求出 c 点到建筑物顶部 a 的距离 ca，再测出由 c 点观看 a 的仰角，就可以运算出 ae 的长；【解析】 挑选一条水平基线hg，使 h、g、b 三点在同一条直线上；由在 h、g 两点用测角仪器测得a 的仰角分别是、，cd = a ，测角仪器的高是 h，那么，在acd中，依据正弦定理可得ac =a sin sinab =ae + h=acsin+ h=a sin sinsin+ h【点评】 要审清题意，有的同学可能会遗忘

12、加上h，此题又进一步表达了怎样依据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型【变式练习】用同样高度的两个测角仪 ab和 cd同时望见气球 e 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是 , ，已知 b、d 间距离为 a, 测角仪的高度为 b, 求气球的高度；egh问题.3 如图，在山顶铁塔上b 处测得地面上一点a 的俯角，在塔底c处测得 a 处的俯角；已知铁塔 bc部分的高为 h，求山高 cd【分析】同学们可依据前面题目的解题思想设计出此题同学可先尝试一下【解析】 在abc 中 ,bca=90 +,abc =90-,bac=-,bad =. 依

13、据正弦定理 ,bc=ab所以absinsin90= bc sin90 sin = bccossin解 rtabd中, 得 bd =absinbad=bccossinsin将测量数据代入上式 , 得bd =27.3cos501 sin5440sin5440501=27.3cos501 sin54 40 sin4 39 177 mcd =bd -bc177-27.3=150m答: 山的高度约为 150 米.【点评】 有没有别的解法呢？如在 acd 中求 cd，可先求出 ac；在 abc 中，依据正弦定理求得； 解决这种三角的实际问题， 可有多种方案；问题.4 如图，一辆汽车在一条水平的大路上向正西

14、行驶， 到 a 处时测得大路北侧远处一山顶 d在西偏北 15°的方向上， 行驶 5km后到达 b 处，测得此山顶在西偏北 25°的方向上，仰角为 8°，求此山的高度cd.【分析】此题不同于前面的问题，是一个立体的问题，大家想一想立体几何的解题思想；【解析】在abc中,a=15 ,c=25-15=10, 依据正弦定理 ,bcsina=ab ,sincbc=ab sin a = 5sin 15 7.4524kmsin csin10cd=bctandbc bc tan81047m答: 山的高度约为 1047 米【点评】 通过解决过程可看到，此题最终是在一个四周体中解决的

15、，要留意个数学学问的相互联系和协作；【练习二】课本 p15 练习 1、2、3 应用之三 : 【方向、方位、运动、角度等问题】问题.5 如图，一艘海轮从 a 动身，沿北偏东 75的方向航行 60 n mile后到达海岛 b, 然后从 b 动身, 沿北偏东 15的方向航行 50 n mile后达到海岛 c.假如下次航行直接从a 动身到达 c, 此船应当沿怎样的方向航行 , 需要航行多少距离. 角度精确到0.1, 距离精确到0.01nmile【分析】第一依据三角形的内角和定理求出 ac 边所对的角abc ，即可用余弦定理算出 ac 边，再依据正弦定理算出 ac 边和 ab 边的夹角cab ；【解析】

16、 在abc中，abc=180 -75+ 32=137，依据余弦定理，ac=ab 2bc 22 abbccosabc=67.5254.0 2267.554.0cos137 113.15依据正弦定理 ,sinbc=cabsinacabcsincab =bcsinabc=54 .0 sin1370.3255,ac113 .15所以cab =19.0, 75-cab =56.0答: 此船应当沿北偏东56.1的方向航行 , 需要航行 113.15n mile【点评】 解决这种航行问题，要留意其中的角度的含义和关系【变式练习】 据气象台预报， 距 s 岛正东 300km的 a 处有一台风中心形成，并以每小

17、时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心 270km以内的地区将受到台风影响；问：s 岛是否受影响？如受影响，从现在起经过多少小时s 岛开头受到影响？连续时间多久？说明理由； 应用之四 : 【几何问题的综合应用 】问题.6 在abc中，依据以下条件，求三角形的面积s（精确到 0.1cm2 ）（ 1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,b=148.5; （三角形面积公式的直接应用）（ 2）已知 b=62.7,c=65.8,b=3.16cm; （正弦定理及三角形面积公式的应用）（ 3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm （余弦定理及三

18、角形面积公式的应用）【分析】这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题， 与解三角形问题有亲密的关系， 我们可以应用解三角形面积的学问， 观看已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积；【解析】 （ 1）应用 s=1 acsinb ，得2s= 114.823.5sin148.590.9cm 2 22依据正弦定理，b=sin bcc=sin cbsinc sin bs =1 bcsina =21 b 22sinc sin a sinba = 180-b + c= 180-62.7+ 65.8=51.5s =13.16 2sin 65.8sin 51.54.0cm 2 2sin

19、62.73依据余弦定理的推论，得2cosb= ca2b 22ca= 38.72241.4238.727.3241.40.7697sinb =1cos2 b 10.76972 0.6384应用 s=1 acsinb ，得2s 141.438.70.6384 511.4cm 2 2【点评】此题的目的并不在于让同学运算出精确结果，重点在于让学生熟识正余弦定理及面积公式的应用；问题 .7如图, 在某市进行城市环境建设中, 要把一个三角形的区域改造成室内公园, 经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2 ）？【分析】此题可转化为已知三

20、角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解；【解析】 设 a=68m,b=88m,c=127m根,据余弦定理的推论，2cosb= ca2b 22ca127 2=268212788268 0.7532sinb=10.7532 20.6578应 用s= 2840.38m 2 1acsinbs21681270.65782答：这个区域的面积是2840.38m2 ；【点评】此题让同学进一步体会应用问题的处理方法，并且感知应用题并不难；问题.8 在abc中，求证：a 2b 2sin 2 asin 2 b（1） ; （式子为齐次式，且为边与角的关系一c 2sin 2 c般考虑正弦定理）（2） a2

21、+b 2 +c 2 =2（ bccosa+cacosb+abcosc）（式子结构明显，明显用余弦定理）【分析】这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观看式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明【解析】 （ 1）依据正弦定理，可设a=sin ab=sin bc= ksinc22明显 k0，所以左边= abk 2 sin 2 ak 2 sin 2 bc 2=sin 2 asin 2 b =k 2 sin 2 c右边sin 2 c（ 2）依据余弦定理的推论，b 2右边=2bcc22bca+ca ca 22cab+ab ab2c22ab2222=b2 +c 2 - a2 +c2 +a2 -b 2 +a2 +b2 -c 2 =a 2 +b 2 +c 2 =左边【点评】对于这种问题，前面已经做过一些，主要是考察怎样利用两定理对边角的合理恰当的转化；三、思悟小结：学问线：（1）正、余弦定理及面积公式；（2）相