人教版高中数学《任意角的三角函数三角函数线》教案

1、任意角的三角函数 三角函数线教学背景：1 教材位置分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅表达了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学 . 借助三角函数线可以推出三角函数诱导公式， 求解三角函数不等式，探究三角函数的图像和性质，可以说, 三角函数线是争论三角函数的有利工具.2同学现实分析：学习本节前, 同学已经把握任意角三角函数的定义, 三角函数值在各象限的符号, 以及诱导公式一 , 为三角函数线的查找做好了学问预备 .教学目标：1学问目标 :使同学把握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值, 并能利用三角函数线解决一些简洁的三角函

2、数问题 .2才能目标 :通过尺规作图让同学经受概念的形成过程，提高同学观看、发觉、类比、猜想和试验探究的才能；充分发挥同学的自主 探究性，让同学借助所学学问自己去发觉新问题，并加以解决，提高 同学抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维才能.3情感目标：激发同学对数学争论的热忱，培育同学勇于发觉、勇于探究、勇于创新的精神；通过同学之间、师生之间的沟通合作， 实现共同探究、教学相长的教学情境 .教学重点难点：1重点：三角函数线的作法及其简洁应用.2难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、 余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.教学方法与教学手段：1教法挑选：“设置问题，探究辨

3、析，归纳应用，延长拓展”科研式教学 .2学法指导：类比、联想，产生学问迁移；观看、试验，体验学问的形成过程；猜想、求证，达到学问的延展.教学过程：一、设置疑问 , 试验探究（ 17 分钟）一设置疑问，点明主题前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的肯定值lr，其中l 是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径 .特殊地 ,当 r=1时，l ，此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度 表示所对圆心角弧度数的肯定值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今日一起要争论的问题.设计意图：既可以引出单位圆， 又可以使同学通过类比联想主动、快速的探究出三角函数值的几何形

4、式.（二）概念学习，分散难点 有向线段：带有方向的线段.（ 1）方向：按书写次序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点 .如：有向线段om ， o 为起点， m 为终点，由 o 点指向 m 点.（动态演示）2数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）肯定值等于线段的长度，如方向与坐标轴同向，取正值;与坐标 轴反向，取负值 .如：om= 1 ，on= -1，ap =设计意图：相关概念的学习分散了教学难点, 使同学能够更多的环绕重点绽开探究和争论.（三）试验探究角的终边上任意一点p 除端点外 的坐标是（x, y ），它与原点的距离是 r,比值 yr叫做的正弦 .摸索: 能否用几何图形表示

5、出角的正弦呢 .同学联想角的弧度数与弧长的转化 , 类比推测 : 如令 r=1 ，就 sin y . 取角 的终边与单位圆的交点为 p, 过点 p 作 轴的垂线，设垂足为 m，就有向线段mp=ysin.同学分析的同时 , 老师用几何画板演示 请同学利用几何画板作出垂线段 mp,并转变角的终边位置 , 观看终边在各个位置的情形 , 留意有向线段的方向和正弦值正负的对应 . 特殊地, 当角的终边在 轴上时 , 有向线段 mp变成一个点 , 记数值为 0.这条与单位圆有关的有向线段mp叫做角的正弦线 .2. 摸索: 用哪条有向线段表示角的余弦比较合适 .并说明理由 .请同学推导说明 , 老师用图形演

6、示 .有向线段 om叫做角的余弦线 .3. tany x争论焦点：如何用有向线段表示？如令 x =1,就 tany =at，但是其次、三象限角的终边上没有横坐标为 1 的点，如此时取=-1的点 t ，tan=-=t a , 有向线段的表示方法又不能统一.引导观看：当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关系？统一熟悉：方案 1：在象限角的终边或其反向延长线上取=1的点t，就tany =at；方 案2 ： 借 助 正 弦 线 、 余 弦 线 以 及 相 似 三 角 形 知 识 得 到t a nym pa t at .xomoa动画演示验证 :当角的终边落在坐标轴上时，tan与有向线段 at

7、的对应 .这条与单位圆有关的有向线段at叫做角的正切线 .二、作法总结 , 变式演练（ 13 分钟）（一）作法总结正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.请大家总结这三种三角函数线的作法, 并用几何画板演示 一同学描述, 同时用电脑演示 ：第一步：作出角的终边，与单位圆交于点p；其次步： 过点 p 作轴的垂线， 设垂足为 m，得正弦线 mp、余弦线 om；第三步：过点a1,0作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为t，得角的正切线 at.特殊留意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时， 要留意它们的方向，分清起点和终点，书写次序不能颠倒. 余弦线以原点为起点， 正弦线和正切

8、线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点 a 为定点（ 1，0） .设计意图：准时归纳总结，加深学问的懂得和记忆.三、变式演练 , 提高才能 ：练习. 利用几何画板画出以下各角的正弦线、余弦线、正切线：（ 1） 56;（ 2）13.6同学先做 , 然后投影展现一同学的作品, 并强调三角函数线的位置和方向 .设计意图：巩固练习 , 精确把握三角函数线的作法.例 1 在单位圆中画出满意sin1 的角的终边 .2共同分析：设角的终边与单位圆交于p x, y ,就 siny, 所以要作出满意sin1 的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为122的点 p，就射线 op即为的终边 . （幻灯片动态演示）设

9、计意图： 逆向思维 , 敏捷运用三角函数线 , 并为利用三角函数线求解三角函数不等式 组 作铺垫 .例 2在单位圆中画出满意出角的集合：sin1 的角的终边的范畴， 并由此写2分析：先作出满意sin1 的角的终边 例 1 已做 ，然后依据已2知条件确定角终边的范畴 . （幻灯片演示）答案：（ 1）2k2k5,kz66练习：1. 在单位圆中画出满意2. 在单位圆中画出满意出角的集合 .cos cos1 的角的终边 .21 的角的终边的范畴，并由此写23. 求函数 y2sin112cos的定义域 .答案：2 k22k5, kz.36设计意图：数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面. 将任意角的

10、正弦、 余弦、正切值分别用有向线段表示出来表达了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的庞大作用 .四、思维拓展，论坛沟通观看角的终边在各位置的情形, 结合三角函数线和已学学问，你能发觉什么规律 , 得出哪些结论？引导同学进行发散式思维，自主探究三角函数线在数学中的应用同学得出的结论有以下几种：(1) sin 2cos21 ；2sin + cos 1;3 -1sin1, -1 cos 1, tanr;(4) 如两角终边互为反向延长线，就两角的正切值相等, 正弦、余弦值互为相反数 ;(5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐步增大，余弦值逐步减小 ;

11、(6) 当角的终边在直线yx 的右下方时 , sin cos; 当角的终边在直线 yx 的左上方时 , sincos;,设计意图：给同学建设一个开放的、有活力、有个性的数学学习 环境. 论坛沟通既能展现个人才华, 又能照料到各个层次的同学. 来自他人的信息为自己所吸取， 自己的既有学问又被他人的视点唤起，产生新的思想 . 这样的学习过程使同学在轻松达成一个个阶段目标之后，顺当到达数学学习的新境域.五、归纳小结 , 课堂延展（一）归纳小结1. 回忆三角函数线作法 .2. 三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自 从闻名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的争

12、论大为简化，现在仍旧是我们解三角不等式、比较大小、 以及今后争论三角函数图像与性质的基础.设计意图：回忆三角函数线作法, 再次加深懂得和记忆. 点明三角函数线在其他方面的应用, 以及数形结合思想, 便于同学在后续学习中更深化的摸索 , 更广泛的争论 .（二）巩固创新，课堂延展巩固作业 : 习题 4.3 1,2 提升练习：1. 已知： sinsin，那么以下命题成立的是（）a如、是第一象限的角，就cos>cos.b. 如、是其次象限的角，就tan>tan.c. 如、是第三象限的角，就cos>cos.d. 如、是第四象限的角，就tan>tan. 2求以下函数的定义域：（ 1

13、） y =2cos x1 ;2 y = lg34sin2x .设计意图： 既能保证全体同学的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延长到课外.六、板书设计和教学反思七、作业布置：教学设计说明：1. 积极响应新课标教学理念，把课堂教给同学，提倡同学自主学习.在新课标教学理念指导下，充分发挥多媒体的优势，既丰富三角函数线的概念，又培育了同学发觉问题、解决问题的才能，提高同学的探究精神、创新意识.2. 不仅要让同学把握数学的基础学问, 更要让他们领会科学的争论方法 .课堂教学最终是为了让同学摆脱课堂 , 独立学习 , 所以不仅要让同学把握数学的基础学问 , 更要让他们领会科学的争论方法 . 本节课所采纳的科研式教学法表达了争论新问题的一般思