新华教育高中部数学同步人教A版必修四第二章平面向量-平面向量的数量积学习过程

1、平面向量的数量积学习过程知识点一：平面向量的数量积rrr rr r（1）定义：已知两个非零向量a 与 b ，它们的夹角是 ，则数量 | a |b |cos叫 a 与 b 的r rr rr r数量积，记作 a b ，即有 a b= | a |b |cos，（ ）r（2）.并规定 0 与任何向量的数量积为0.（3）投影：“投影”的概念：作图rrr定义： | b |cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影 .投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负rr值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为| b |；当= 180时投影为| b |.（4） 两个向量的数量积与向量同实数积

2、的区别两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定 .当 0°rrrrrr90°时， a b 0；当=90 °时， ab =0；当 90° 180°时， a b 0.rr两个向量的数量积称为内积，写成a b ；.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 .rrr r在实数中，若a0，且 a b=0，则 b=0 ；但是在数量积中，若a0，且 a b =0，不rr能推出 b0 .因为其中 cos有可能为 0.（5）平面向量的数量积的几何意义：rrrrrr数量积 a b 等于 a 的长度

3、与 b 在 a 方向上投影 | b |cos的乘积 .rra brrra注意： b 在 a 方向上投影可以写成（6）平面向量的数量积的性质：r r设 a 、 b 为两个非零向量，rrr raba b= 0rrr rr rr rr r当 a 与 b 同向时， a b= | a |b |；当 a 与 b 反向时， a b =rrr或aa ar rrra ba br ra b r ra b cos=，利用这一关系，可求两个向量的夹角。（7）平面向量数量积的运算律rrr r交换律： a bb arrrrrr数乘结合律： (a )b =( a b ) = a (b )rrrr rrr分配律： ( a +

4、 b ) c =a c +bcrrrrrr说明：一般地，(a bcabc）· )· ·（·rrr rrrr a ·c b ·c ， c 0 a br 2r2有如下常用性质：aarrrurrrrurr r r ur（ a b ）（ c d ） a c a d b c b d· ···rr2r 2r rr 2（ab)a2a bbrrr rr| a |b |. 特别的 a a= | a |2知识点二：平面两向量数量积的坐标表示rrr rx xyy（1）已知两个非零向量a (x1, y1 ), b (x

5、2 , y2 )，则a b2，即两个向量的1 21·数量积等于它们对应坐标的乘积的和。（2）向量模的坐标表示rr 2rx2y2a x2y2 ,即 a设 a(x, y) ，则.r( x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，那么如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为rr( x2 x1) 2y1) 2a (x2x1, y2y1), a( y2（3） 注意：若A(x1, y1 )、B(x2 , y2 )，则uuuruuurx1) 2y1) 2uuurAB ( x2x1 , y2y1), AB( x2( y2ABA,B 的,所以的实质是两点的距离或是线段的长度，这也是模的几

6、何意义。（4）两个向量垂直的条件rrrr设 a ( x1 , y1 ), b(x2 , y2 ) ，则 abx1 x2 y1 y2 0（5）两向量夹角的余弦公式rr( x2 , y2 ) ，rr（6）设 两 个 非 零 向 量 a ( x1 , y1 ), b是 a 与 b 的 夹 角 ， 则 有rra bx1x2y1 y2rra bx12y12x22y22cos =学习结论（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定 .（ 2） 数学中涉及向量中点、夹角、距离、平行与垂直问题，均可转化为向量问题。（ 3） 两向量垂直的充要条件有时与向量共线条件结合在一起，要注意两者的

7、联系。典型例题rrrrr例 1 已知 a 与 b 都是非零向量， 且 a + 3 b 与 7 ar r求 a 与 b 的夹角 .rrrrr5 b 垂直， a4 b 与 7 a2 b 垂直，rrrrr 2r rr 2解： 由 ( a + 3 b ) ·(7 a5 b ) = 07a16a b15b =0rrrrr 2r rr 20( a4 b ) ·(7 a2 b ) = 07a30a b8br rr 2两式相减：2a bbr 2r 2代入或得： abrra b1rrrra b设 a 、 b 的夹角为，则 cos2 ，又因为 = 60=例 2求证：平行四边形两条对角线平方和等

8、于四条边的平方和.解析：如图：平行四边形ABCD 中， ABDC，ADBC，AC=AB AD| AC |2= | AB AD |222ABAD2ABAD而 BD= ABAD ，uuur2222| ABAD |ABAD2 ABAD BD|=uuur2uuur222| AB|2|BC|222 ACBD=2AB2AD=|DC|AD|例 3. 如图，以原点和A(5 ， 2)为顶点作等腰直角OAB ，使B=90 ，求点 B 和向量 AB的坐标 .(7, 3)(3,7)(3,7)( 7,3)答案 :B 点坐标22或 22； AB=22或2 2解析： 设 B 点坐标 (x， y)，则 OB = (x ， y

9、)， AB = (x 5， y2) OBABx(x5) + y(y2) = 0 即： x2 + y25x2y = 0又|OB|=| AB| x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2 即： 10x + 4y = 29x2y25x2 y0x17x232或210 x4 y29y13y2722由(7, 3)(3,7)(3, 7)( 7,3)B 点坐标 22或2 2；AB =22或2 2例 4. 在 ABC 中， AB =(2 ， 3)， AC =(1 ， k)，且 ABC 的一个内角为直角，求 k 值 .311313答案： k =2 或 k = 3或 k =23解析：当 A=90时， ABAC = 0， 2× 1 +3&#