数学分析知识点总结定积分

1、第一篇分析基础1.1 收敛序列（收敛序列的定义）定义：设 xn是实数序列，a 是实数，如果对任意0 都存在自然数N，使得只要nN，就有xna那么 xn收敛，且以a 为极限，称为序列 xn 收敛收敛于a ，记为lim xna 或者xna(n)定理1：如果序列 xn 有极限，那么它的极限是唯一的。定理 2（夹逼原理） ：设 xn ， yn 和 zn 都是实数序列，满足条件xnynzn ,nN如果lim xnlimzna ，那么 yn 也是收敛序列，且有lim yna定理 3：设 xn 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价（ 1） 序列 xn 以 a 为极限；（ 2） xn a 是无穷小序列；（

2、 3） 存在无穷小序列 an 使得xnaan ,n1,2,.（收敛序列性质）定理 4：收敛序列 xn 是有界的。定理 5：（1）设 lim xna ，则 lim xna 。（2）设 lim xna ， lim ynb ，则 lim( xn yn )a b 。（3）设 lim xna ， lim ynb ，则 lim( xn yn )ab 。（4）设 xn0， lim xna0，则 lim 11。xna（5）设 xn0， lim xna0， lim ynb ，则 limynlim ynb 。xnlim xna（收敛序列与不等式）定理 6：如果 lim xnlim yn ，那么存在 N0N ，使得

3、 nN0时有xnyn定理 7：如果 xn 和 yn 都是收敛序列，且满足xnyn ,nN0 ,那么lim xnlim yn1.2 收敛原理（单调序列定义）定义：（）若实数序列 xn 满足xnxn 1 ,nN ,则称 xn 是递增的或者单调上升的，记为 xn .（）若实数序列 yn 满足ynyn 1 ,nN ,则称 yn 是递减的或者单调下降的，记为 yn （）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。定理： 递增序列 xn 收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为sup x 。n定理 1 推论： 递减序列 y 收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为inf xn 。n扩展：因为一个序列

4、的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1 和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为xnxn 1 ,nN0 ,及ynyn 1 ,nN0 ,（自然对数的底e）自然对数的底e 通过下面这个式子求得n1e lim 1nn1 1n我们先来证明序列 xn是收敛的。n（1）序列 xn11nn是单调上升的。1n1 (11 )1 (11 )(12)xn111n2!n3!nn1(112)(1k1)(1n)k !nn1 (11 )(12)(1n1)n!nnn1n 11 (111 (112xn 1111)(1)n 12!n 13!n1n111)(12(1k1(1nn

5、)n)k !1111 (11)(12 )(1n1)n!n1n1n1112(1n(n(1n)(1)n)1)!1n11对比 xn 和 xn 1 的展开式， xn1 前面 n1项的每一项都比xn 中相应项要大，即1 (11)(12)(1k1)1 (11 )(12)(1k1)k !n 1n 1n 1k !nnn除此之外 xn 1 还比 xn 在最后多一个正项。因此我们得出xn 是单调上升的，即xnxn 1 ,nN ,（2）序列 xn11nn是有上界的。n11112n1xn1111(1 )(1)(1)(1)n2!nn!nnn11111222n21n111213111122序列 xn11nn是单调上升且有

6、上界，因此必是收敛的， 此收敛值用 e 表示。通过计算机模拟，我们可以得到e 的近似值，前几位是在数学中，以e 为底的对数称为自然对数，e 称为自然对数的底，正实数x 的自然对数通常记为 ln x ， log x 或者 loge x 。（闭区间套原理）定理 2（闭区间套原理） ：如果实数序列an和 bn（或闭区间序列an ,bn）满足条件（1）an ,bnan 1 ,bn 1（或者an 1anbnbn 1 ,n1 ）（2） limbnan0那么（i ）闭区间序列an, bn形成一个闭区间套。（ii ）实数序列an和 bn收敛于相同的极限值c 。lim anlim bnc（iii ） c 是满足

7、以下条件的唯一实数值。ancbn ,nN证明：（ii ）由条件（ 1）可得an 1anbnbn 1b1我们可以看到an单调上升而有上界，bn单调下降而有下界，因此an和 bn都是收敛序列。由条件 （ 2）可得lim bnlim anlimbnan0 ，因此实数序列an和 bn收敛于相同的极限值。lim anlim bnc（iii ）因为csup aninfbn所以显然有ancbn ,nN假如还有一个实数c ' 满足anc 'bn ,nN由于lim anlim bnc那么根据 夹逼准则 ，有c 'lim c 'lim anlim bnc则证明了 c 是唯一的。（

8、Bolzano-Weierstrass 定理）定义： 设 xn 是实数序列，而n1n2 n3nknk 1是一串严格递增的自然数，则xn1 , xn2 , xn3 , xnk , xnk 1 ,也形成一个实数序列。我们把序列xn 叫做序列xn的子序列（或部分序列） ，要注意的k是子序列 xnk的序号是 k 。定理 3：设序列xn收敛于 a ，则它的任何子序列xn也都收敛于同一极限 a 。k证明： 对于任意0 ，存在 N0N ，使得只要 nN0 ，就有xna当 k N0 时就有 nkk N0 ，因而此时有xnka定理 4（ Bolzano-Weierstrass）：设xn 是有界序列，则它具有收敛

9、的子序列。（柯西收敛原理）柯西序列定义： 如果序列xn 满足条件： 对于任意0 ，存在 N0N ，使得当 m, nN0时，就有xmxn则此序列为柯西序列，又称基本序列。引理： 柯西序列xn 是有界的。证明： 对于任意1，存在 N0N ，使得当 m, nN0 时，就有xmxn1于是对于 nN0 ，我们有xnxn xN0 1xN0 1 1 xN0 1若记Kmax x1 , x2 , , xN0,1xN 01则有xnK , nN定理 5（收敛原理） ：序列 xn收敛的必要充分条件是：对任意0 ，存在 N0N ，使得当 m, nN0 时，就有xm xn换句话说：序列xn 收敛序列 xn是柯西序列1.3

10、 无穷大定义：（ 1）设xn是实数序列，如果对任意正实数E ，存在自然数N ，使得当 nN 时就有xnE那我们就说实数序列xn 发散于，记为lim xn（2）设yn 是实数序列，如果对任意正实数E ，存在自然数N ，使得当 nN 时就有ynE那我们就说实数序列yn 发散于，记为lim yn（3）设zn是实数序列， 如果序列zn发散于，即 limzn，那么我们就称zn为无穷大序列，记为lim zn注记：（ 1）若集合 ER 无上界，则记sup E（2）若集合 FR 无下界，则记sup F定理 1：单调序列必定有（有穷的或无穷的）极限，具体而言是：（1）递增序列xn 有极限，且lim xnsup

11、xn（2）递减序列yn 有极限，且lim yninfyn定理 2：设xn 和yn 是实数序列，满足条件xnyn ,nN则有：（1）如果 lim xn，那么 lim yn；（2）如果 lim yn，那么 lim xn。定理 3：如果 lim xn（或，或），那么对于 xn的任意子序列xnk 也有lim xnk（或，或）定理 4：设 xn 0, nN ，则xn 是无穷大序列1是无穷小序列xn扩充的实数系：RR,定理 5：实数序列xn 至多只能有一个极限。扩充的实数系R 中的运算：（1）如果 xR ，那么x()()xx()（2）如果 xR ， x0 ，那么x ()() x如果 yR ， y0 ，那么

12、y ()() y（3）如果 xR ，那么xx（4） ()()， () ( )()()， ()()()()， ()()()()() ()0（5）除此之外，其余都没有定义。1.4 函数的极限x0点的 领域： U ( x0 , )( x0, x0) xR | xx0 |,x0 ,R,0x0点的去心领域：U ( x0 , ) (x0, x0) x0 x R | 0 | x x0 |, x0 ,R,0的去心 H 领域： U(, H )(H ,) xR | xH ,HR, H0的去心 H 领域： U(, H )(, H ) xR | xH ,H R,H0统一叙述： 对于 aR ，我们用 U ( a) 表示

13、 a 的某个去心邻域， 当 a 为有穷实数时， U (a) 的形式为 U (a, ) ，当 a时， U (a) 的形式为 U (, H ) 。函数极限的序列式定义： 设 a, AR（ a 和 A 都可以是有穷实数或者），并设函数 f (x)在 a 的某个去心邻域 U (a) 上有定义。如果对于任何满足条件xna 的序列 xnU (a) ，相应的函数值序列 f ( x) 都以 A 为极限， 那么我们说当xa 时，函数 f ( x) 的极限为 A ，记为limf ( x)Ax a简单例子如：l i m si ns i ncosa； lim | x | a | ； lim xa；xa ； lim c

14、os xx ax axax alim x sin 10，因为 | xsin1 | x | ；limx1 ，因为 cos xx1；lim sin x0 ，x 0xxx 0 sin xsin xxx因为 | sin x |1。x| x |定理 1：函数极限 lim f ( x) 是唯一的。xa定理 2（夹逼原理） ：设 f ( x) ， g ( x) 和 h( x) 在 a 的某个去心邻域U (a) 上有定义，并且满足不等式f (x)g( x)h(x),xU (a)如果lim f (x)lim h( x)Axaxa那么lim g( x)Ax a定理 3：关于函数的极限，有以下的运算法则：lim(

15、f ( x)g (x)limf ( x) lim g( x)xax axalim( f ( x) g( x)limf (x) lim g(x)x ax axalim g( x)lim g (x)xax a f (x)lim f ( x)xa定理 4（复合函数求极限） ：设函数 g 在 b 点的某个去心邻域U (b) 上有定义， lim g( y) c 。y b又设函数 f 在 a 点的某个去心邻域U (a) 上有定义， f 把 U (a) 中的点映射到 U (b) 之中（用记号表示就是： f (U (a)U (b) ）并且 limf ( x) b ，则有x alim g( f ( x)cxa多

16、项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下：（ 1）设 P( x) 是任意多项式，aR ，则lim P(x)P( a)xa（ 2）设 P( x) 是任意多项式，Q ( x) 是非零多项式 a R ， Q (a) 不都是 0，则limP(x)P(a)x a Q(x)Q (a)P( x) a xma xm 1a ,（3）设01m，则Q( x) b0 xnb1 xn 1bn ,a0 0,b0 0,如果 mnlimP(x)a0 ,如果 mnxQ (x)b00,如果 mn因为a0a1am,如果 mnP(x)a0xxmlimlimm n,如果 mnQ( x)xb1bnb0xxb0xxn0,如果 mn1.5

17、单侧极限定义（序列方式） ：设 aR, AR ，并设函数f ( x) 在 ( a, a) 有定义。如果对任意满足条件 xna 的序列 xn ( a, a) ，相应的函数值序列 f ( xn ) 都以 A 为极限，那么我们就说： xa 时函数f ( x) 的极限为A ，记为limf (x)Axa定义（方式）：设 a, AR ，并设函数f ( x) 在 (a,a) 有定义。如果对任意0 ，存在0 ，使得只要axa就有| f (x)A |那么我们就说：xa 时函数 f ( x) 的极限为A ，记为limf (x)Axa定义（方式，特殊的 AR, A）：设 aR ，并设函数f (x) 在 (a, a)

18、 有定义。如果对任意E0 ，存在0 ，使得只要axa就有f (x)E那么我们就说：xa 时函数 f ( x) 的极限为，记为limf ( x)xa可用类似的方式来定义xa 的极限。定理 1：设 aR ，并设函数f (x) 在 a 点的去心邻域 U (a,) 上有定义。 则极限 limf (x) 存x a在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等：lim f ( x)lim f (x) Ax ax a当这条件满足时，我们有lim f ( x)Axa单调函数定义：设函数f 在集合 SR 上有定义。（1）如果对任意x1, x2S ， x1x2 ，都有f ( x1 )f ( x2 )那么我们就说函数f

19、 在集合 S 上是递增的或者单调上升的。（2）如果对任意x1, x2S ， x1x2 ，都有f ( x1 )f ( x2 )那么我们就说函数f 在集合 S 上是递减的或者单调下降的。（3）单调上升函数与单调下降函数统称为单调函数。1.6 连续与间断定义 I ：设函数 f( x) 在 x0 点的邻域 U ( x0 ,) 上有定义。如果对任何满足条件xnx0 的序列 xn U ( x0 ,) ，都有lim f (xn ) f (x0 )xn x0那么我们就说函数f 在 x0 点连续，或者说x0点事函数 f 的连续点。定义 II ：设函数f ( x) 在 x0 点的邻域 U (x0 ,) 上有定义。

20、如果对任意0 ，存在0 ，使得只要 | x x0|，就有| f (x)f ( x0 ) |那么我们就说函数f 在 x0 点连续，或者说x0点事函数 f 的连续点。定理 1：设函数 f 在 x0 点连续，则存在0 ，使得函数f 在 U ( x0 ,) 上有界。（证明过程参考函数极限）定理 2：设函数 f ( x) 和 g( x) 在 x0 点连续，则（ 1） f ( x) g (x) 在 x0 点连续；（ 2） f ( x) g( x) 在 x0 点连续；（3） f ( x) 在使得 g (x0 )0 的 x0 处连续；g( x)（4） cg ( x) 在 x0 点连续。定理 3：设函数 f(

21、x) 在 x0点连续，则函数| f ( x) |也在 x0 点连续 .证明：|()| |() |( )() |，余下易证。fxfx0fxfx0定理 4：设函数f ( x) 和 g( x) 在 x点连续。如果f ( x0 )g (x0 ) ，那么存在0，使得对0于 xU ( x0,) 有f (x)g( x)定理 5（复合函数的连续性） ：设函数 f ( x) 在 x0 点连续，函数g( y) 在 y0f ( x0 ) 点连续，那么复合函数g( f ( x) 在 x0 点连续 .定义单侧连续： 设函数 f (x) 在 ( x0, x0 上有定义，如果lim f (x) f ( x0 )xx0那么我

22、们就说函数f (x) 在 x0 点左侧连续。类似的可以定义右侧连续。引入记号f ( x0 )lim f ( x), f (x0 )lim f ( x)x x0x x0我们知道极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等（这个相等值为极限值A ，不一定是该点的函数值f (x0 ) ），可以写成f ( x0 )f ( x0 )A但是如果在 x0 点左连续和右连续，则说明在x0 点两个单侧极限存在并且相等，且这个相等的值一定是该点的函数值f ( x0 ) ），可以写成f ( x0 )f ( x0 )f (x0 )f ( x) 在 x0 点左连续和右连续是f ( x) 在 x0 点连续的充分必要条

23、件。简单的说就是：f ( x)在x0点连续f (x)在x0点左连续 , 右连续f ( x)在x0点连续f (x)在x0点两个单侧极限存在 , 且值为 f ( x0 )定理 6：设函数 f ( x) 在 U ( x0 ,) 上有定义，则 f(x) 在 x0 点连续的充分必要条件是f ( x0 ) f ( x0 )f (x0 )反过来说，如果 f ( x) 在 U (x0 ,) 上有定义，但 f ( x) 在 x0 点不连续，则称x0 为间断点。有情形 I 和情形 II ，这两种情形下x0 点分别成为第一类间断点和第二类间断点。情形 I （第一类间断点） ：两个单侧极限都存在，但f ( x0 )f

24、 ( x0 )或者f (x0 )f ( x0 )f ( x0 )情形 II （第二类间断点） ：至少一个单侧极限不存在。注意： 单侧极限存在并不代表单侧连续，如果 f ( x) 在 x0点单侧极限存在， 并且此极限值等于 f (x) 在 x0 点的函数值f ( x0 ) ，那么就说 f ( x) 在 x0 点单侧连续。简单的例子，例如函数sin xx0f (x),x0,x0f (0)f (0)f (0) ， 0 为第一类间断点。如果改成f (x)sin x ,x0x1,x0f (0)f (0)f (0)1 ，则 0 是连续点。例如函数f (x)sin 1,x0x0,x0左右侧不连续，故0 是第

25、二类间断点。狄里克莱（ Dirichlet ）函数1,如果 x是有理数D( x)0,如果x是无理数任何 xR 都是函数 D 的第二类间断点。黎曼（ Riemann ）函数1 q,如果 x是既约分数 p q, q0R(x)0,如果 x是无理数所有五里店都是黎曼函数的连续点；所有有利点都是第一类间断点。1.7 闭区间上连续函数的重要性质函数在闭区间上连续的定义：如果函数 f 在闭区间 a, b 上有定义，在每一点x (a,b) 连续，在 a 点右侧连续，在 b 点左侧连续，那么我们就说函数f 在闭区间 a, b 上连续。引理： 设 xn a,b ， xnx0 ，则 x0a, b 。定理1 ：设函数

26、f 在闭区间 a, b 上连续。如果f (a) 与 f (b) 异号，那么必定存在一点c(a, b) ，使得f (c)0定理2 （介值定理） ：设函数f 在闭区间 a, b 上连续。如果闭区间的两端点的函数值f (a)与 f (b)不相等，那么在这两点之间函数f 能够取得介于与之间的任意值。这就是说，如果f (a)f (b) ，那么存在c( a, b) ，使得f (c)定理：设函数 f 在闭区间 a, b 上连续，则f 在闭区间 a,b 上有界。3定理 4（最大值与最小值定理）：设函数f 在闭区间 a, b 上连续， M ， m 分别是函数f 在闭区间 a,b 上的最大值与最小值，记M sup

27、 f (x), mxinf f (x)x a ,b a ,b则存在 x ', x ''a,b ，使得f (x ')M ,f ( x '')m一致连续定义： 设 E 是 R 的一个子集，函数 f 在 E 上有定义，如果对任意0 ，存在0 ，使得只要x1 , x2E, | x1x2 |就有| f ( x1 )f ( x2 ) |那么 j 我们就说函数f 在 E 上是一致连续的。定理 5（一致连续性定理） ：如果函数f 在闭区间 I a,b 连续，那么它在I 上是一致连续的。1.8 单调函数和反函数引理：集合JR 是一个区间的充分必要条件为：对于任意两

28、个实数,J，介于和之间的任何实数也一定属于J。定理 1：如果函数f 在区间 I 上连续，那么Jf (I ) f ( x) | x I 也是一个区间。定理 ：如果函数f 在区间 I 上单调。则函数 f 在区间 I 上连续的充分必要条件为：f (I ) 也2是一个区间。反函数定义： 设函数 f 在区间 I上连续，则 Jf ( I ) 也是一个区间。如果函数f 在区间 I上严格单调，那么f 是从 I 到 Jf(I ) 的一一对应。这时，对任意 yJf ( I ) ，恰好只有一个 xI 能使得 f ( x) y 。我们定义一个函数g 如下：对任意的 yJ ，函数值 g ( y) 规定为由关系f ( x

29、)y 所决定的唯一的xI 。这样定义的函数 g 称为是函数f 的反函数，记为g f1我们看到，函数f 及其反函数 gf1 满足如下关系：g ( y)ff (x) y定理 3：设函数 f 在区间 I 上严格单调并且连续，则它的反函数 gf 1在区间 Jf (I ) 上严格单调并且连续。1.9 指数函数，对数函数和初等函数连续性小结定理 1：设 aR,a1 ，则有（ 1） lim a xx（2） lim ax0x定理 2：初等函数在其有定义的范围内是连续的。1.10 无穷小量（无穷大量）的比较，几个重要的极限无穷小量定义： 设函数 ( x) 在 a 点的某个去心邻域U ( a) 上有定义，如果li

30、m (x)0xa那么我们就说( x) 是 xa 时的无穷小量。无穷大量定义： 设函数 A( x) 在 a 点的某个去心邻域U ( a) 上有定义，如果lim A(x)0xa那么我们就说A( x) 是 xa 时的无穷大量。定义 3：设函数( x) 和 ( x) 在 a 点的某个去心邻域U (a) 上有定义，并设在U (a) 上( x)0 。我们分别用记号O ， o 与 表示比值( x) 在 a 点邻近的几种状况：( x)（1）( x)O ( x) 表示( x) 是 xa 时的有界变量，即lim( x) 有界。( x)x a( x)（2）( x)o( x) 表示( x) 是 xa 时的无穷小量，即

31、lim(x)0。我们可以说( x)x a(x)( x) 是比( x) 更高阶的无穷小（或者更低阶的无穷大） 。（3）( x)( x) 表示(x)lim1x a (x)注意： O ， o 与都是相对于一定的极限过程而言的，使用时一定要附加上记号xa例如：sin xo( x)(x)sin xx( x0)特别的：记号(x)O (1)表示(x) 在 a 点的某个去心邻域上有界；而记号( x)o(1)表示 lim ( x) 0。x a定理 1：设函数( x) 和( x) 在 a 点的某个去心邻域U (a) 上有定义， ( x) 0 。则有( x)(x)( x)( x) o( (x)常见的极限：（1） lim sin x1x0x（2）下面几个等价lim(11 ) xex x1lim(1x)xex0limln(1x)1x0xli