函数的单调性

1、函数的单调性1.3.1 1.3.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 第一课时第一课时 函数单调性的概念函数单调性的概念函数的单调性问题提出问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究究. .他经过测试，得到了以下一些数据：他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔时间间隔 t刚记刚记忆完忆完毕毕20分分钟后钟后60分分钟后钟后8-9小时小时后后1天后天后2天后天后6天后天后一个一个月后月后记忆量记忆量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据

2、表明，记忆量以上数据表明，记忆量y y是时间是时间间隔间隔t t的函数的函数. . 艾宾浩斯根据这艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩斯遗忘曲线斯遗忘曲线”, ,如图如图. .123tyo20406080100思考思考1:1:当时间间隔当时间间隔t t逐渐增，大你能看出对应的函数值逐渐增，大你能看出对应的函数值y y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识刚学过的知识? ?思考思考2:2:“艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行

3、解释？对此，我们如何用数学观点进行解释？函数的单调性知识探究（一）知识探究（一）yxo考察下列两个函数考察下列两个函数: :( )f xx2( )(0)f xxx （1 1） ； (2)(2)xyo思考思考1 1: :这两个函数的图象分别是什么？二者有何这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？共同特征？思考思考2 2: :如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量那么当自变量x x从小到大依次取值时，函数值从小到大依次取值时，函数值y y的的变化情况如何？变化情况如何？函数的单调性二、新知探究二、新知探究解析法图像法通俗语言：在区间（0，+）上，

4、 随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。数学语言：在区间（0，+）上， 任取 ，得 当 时，有 。这时我们就说函数 在区间（0，+）上是增函数21,xx,)(,)(222211xxfxxf21xx )()(21xfxf2)(xxfx 01 2 3 4f(x) 01 4 9 16 列表法函数的单调性思考3：能否根据自己的理解说说什么是增函数， 什么是减函数？（1）如果函数在某个区间上随着自变量）如果函数在某个区间上随着自变量x的增大，的增大， y也越来越大，我们就说函数在该区间上为增函数。也越来越大，我们就说函数在该区间上为增函数。（2）如果函数在某个区间上随着自变量）如果函数在某个区间上随着

5、自变量x的增大，的增大， y越来越小，我们就说函数在该区间上为减函数。越来越小，我们就说函数在该区间上为减函数。函数的单调性 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出单调增函数和单调减函数由此得出单调增函数和单调减函数的定义的定义. .xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)

6、的定义域为的定义域为A,区间区间I A. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )，当当x1x2时，时，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，单调区间单调区间函数的单调性0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上

7、升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时， f(x1) f(x2)函数的单调性（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）如果函数）如果函数 y =f(x)在区间在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间在区间I上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。的图象是下降的。判断判断1 1：函数函数 f (x

8、)= x2 在在 是单调增函数；是单调增函数；, xyo2yx（3 3） x 1, x 2 取值的任意性取值的任意性判断判断2 2：定义在：定义在R上的函数上的函数 f ( (x) )满足满足 f (2) (2) f(1)(1)，则函数则函数 f ( (x) )在在R上是增函数；上是增函数；判断判断3 3：若函数：若函数f(x)f(x)在区间在区间(1(1，22和和(2(2，3)3)上均为增函上均为增函数，数， 则函数则函数f(x)f(x)在在(1(1，3)3)上为增函数。上为增函数。yxO12f(1)f(2)函数的单调性例例1：下图是定义在区间：下图是定义在区间-5，5上的函数上的函数y=f

9、(x)， 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？区间上，它是增函数还是减函数？函数的单调性例例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间：1(1)(0);yxxx1yxy1yx的单调减区间是_ (,0)(0,),讨论讨论1）：）：根据函数单调性的定义根据函数单调性的定义1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数? 2）讨论在）讨论在 和和 上的单调性上的单调性？( )(0)kf xkx0,0 ？函数的单调性变式变式2：讨论：讨论 的单调性的单调性2(0)yaxbxc a成果交流成

10、果交流变式变式1：讨论：讨论 的单调性的单调性2(0)yaxa2(2)2.yx xyy=-x2+21- -1122- -1- -2- -22yx +2的单调增区间是_;(,02yx +2的单调减区间是_.0,)例例3.画出下列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间：函数的单调性 单调增区单调增区间间 单调减区单调减区间间 a0 a02yaxbxc,2ba,2ba 2(0)yaxbxc a的对称轴为2bxa 返回,2ba ,2ba函数的单调性( )21A yx 2( )31B yx 2()Cyx2()21D yxx1010 xxxx _成果运用成果运用函数的单调性证明：在区间

11、证明：在区间 上任取两个值上任取两个值 且且 1,12,x x12xx则则12121211()()()()f xf xxxxx121211()()xxxx211212()()xxxxxx1212121()()xxxxxx12,1,x x ，且，且12xx12120,10 xxx x 1212()()0,()()f xf xf xf x所以函数所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数. . 1yxx1,取值取值作差作差变变形形定号定号结论结论返回例例4.4.判断函数判断函数 在定义域在定义域 上的单调性上的单调性. . （教材（教材P P43/7(4)43/7(4)1yxx0,函数的单调性

12、小小 结结利用定义确定或证明函数利用定义确定或证明函数f(x)f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性的一般上的单调性的一般步骤：步骤： 1.1.取数取数: :任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1x x2 2； 2.2.作差作差:f(x:f(x1 1) )f(xf(x2 2) )； 3.3.变形变形: :通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方; ; 4.4.定号定号: :判断差判断差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正负的正负; ; 5.5.小结小结: :指出函数指出函数f(x)f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性上的单调性. . 小

13、结小结1.1.函数单调性的定义中有哪些关键点？函数单调性的定义中有哪些关键点？2.2.判断函数单调性有哪些常用方法？判断函数单调性有哪些常用方法？3.3.你学会了哪些数学思想方法？你学会了哪些数学思想方法？作业作业2、证明函数 f（x）=-x2在 上是 减函数。,03、证明函数 f（x）= 在 上是单调递增的。(选做)0,11xx1、教材 p37 /5，6，7函数的单调性数与形数与形,本是相倚依本是相倚依,焉能分作两边飞焉能分作两边飞;数无形时少直觉数无形时少直觉,形少数时难入微形少数时难入微;数形结合百般好数形结合百般好,隔离分家万事休隔离分家万事休;切莫忘切莫忘,几何代数统一体几何代数统一

14、体,永远联系莫分离永远联系莫分离. 华罗庚华罗庚函数的单调性,12( )4f xxax 若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递上单调递增，求增，求a的取值范围。的取值范围。 解：解：二次函数二次函数 的对称轴为的对称轴为 , ,由图象可知只要由图象可知只要 ，即，即 即可即可. . 2( )4f xxax 2ax 12ax 2a oxy1xy1o函数的单调性1.3.1 1.3.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 第三课时第三课时 函数的最值函数的最值函数的单调性问题提出问题提出1.1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？确定函数的单调性有哪些手段和方法？2.2.函数图象上升与下降

15、反映了函数的单调性，函数图象上升与下降反映了函数的单调性，如果函数如果函数的图象存在最高点或最低点，它又的图象存在最高点或最低点，它又反映了函数的什么性质？反映了函数的什么性质？( )f x函数的单调性知识探究（一）知识探究（一）观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象： 图图1ox0 xMy思考思考1:1:这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？思考思考2:2:设函数设函数y=f(x)y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量则对函数定义域内任意自变量x x，f(x)f(x)与与M的大小的大小关系如何？关系如何？y yx xo

16、x0图图2M函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？函数的单调性思考思考3:3:设函数设函数 ，则，则 成立吗？成立吗？ 的最大值是的最大值是2 2吗？为什么？吗？为什么？2( )1f xx ( )2f x ( )f x( )f x思考思考4:4:怎样定义函数怎样定义函数 的最大值？用什么符号的最大值？用什么符号表示？表示？( )yf x0()f xM( )f xM一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I，如果存在，如果存在实数实数M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的 , , 都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 . . 那么

17、称那么称M是函数是函数 的最大值，记作的最大值，记作0 xIxI( )yf xmax( )f xM函数的单调性思考思考5:5:函数的最大值是函数值域中的一个元函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数素吗？如果函数 的值域是的值域是(a,b)(a,b)，则函，则函数数 存在最大值吗？存在最大值吗？ ( )f x( )f x思考思考6:6:函数函数 有最大有最大值吗？为什么？值吗？为什么？21,( 1,)yxx 函数的单调性知识探究（三）知识探究（三）12()( )()f xf xf x思考思考1:1:如果在函数如果在函数 定义域内存在定义域内存在x x1 1和和 x x2 2，使对定义域内

18、任意使对定义域内任意x x都有都有成立，由此你能得到什么结论？成立，由此你能得到什么结论？( )f x思考思考2:2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而对一个函数就最大值和最小值的存在性而言，有哪几种可能情况？言，有哪几种可能情况？( )f x思考思考3:3:如果函数如果函数 存在最大值，那么有几个？存在最大值，那么有几个？( )f x思考思考4:4:如果函数如果函数 的最大值是的最大值是b b，最小值是，最小值是a a，那么函数那么函数 的值域是的值域是aa，bb吗？吗？( )f x函数的单调性理论迁移理论迁移例例1 1已知函数已知函数 ，求函数，求函数 的最大值和最小值的最大值和最小值.

19、 . 2,2,61f xxx( )f x例例2 2（0505年湖南卷）某公司在甲、乙两地销售一种年湖南卷）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（万元）分别为品牌车，利润（万元）分别为 和和 ，其中，其中x x为销售量（辆），若该公司在为销售量（辆），若该公司在这两地共销售这两地共销售1515辆车，则能获得的最大利润为辆车，则能获得的最大利润为( )( ) A A、45.645.6万元万元 B B、45.60645.606万元万元 C C、45.5645.56万元万元 D D、45.5145.51万元万元215.060.15yxx22yxA A函数的单调性作业作业 P39 P39 习题习题1.

20、3A1.3A组：组：5 5 B B组：组：1 1，2.2.函数的单调性1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性 第一课时第一课时 函数的奇偶性函数的奇偶性函数的单调性问题提出问题提出 1.1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学自身发展的必然结果需要，也是数学自身发展的必然结果. . 例如事物例如事物的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值. . 2.2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单我们从函数图象的升降变化引

21、发了函数的单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什么性质？么性质？函数的单调性知识探究（一）知识探究（一）考察下列两个函数：考察下列两个函数：(1) ; (2) .(1) ; (2) .2( )f xx ( ) |f xx思考思考1:1:这两个函数的图象分别是什么？二者这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？有何共同特征？ xyo图（图（1）xyo图（图（2）思考思考2:2:对于上述两个函数，对于上述两个函数，f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)，f(2)

22、f(2)与与f(-2)f(-2)，f(3)f(3)与与f(-3)f(-3)有什么关系？有什么关系？ 函数的单调性思考思考3:3:一般地，若函数一般地，若函数y=f(x)y=f(x)的图象关于的图象关于y y轴轴对称，则对称，则f(x)f(x)与与f(-x)f(-x)有什么关系？反之成立有什么关系？反之成立吗？吗？ 思考思考4:4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？数，那么怎样定义偶函数？ 如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x，都有都有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)成立，则称函数成立，则

23、称函数f(x)f(x)为偶为偶函数函数. .f(x)=f(-x)f(x)=f(-x)函数的单调性思考思考5:5:等式等式f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)用文字语言怎样表用文字语言怎样表述？述？ 自变量相反时对应的函数值相等自变量相反时对应的函数值相等 思考思考6:6:函数函数 是偶函数是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？吗？偶函数的定义域有什么特征？2( ), 1,2f xxx 偶函数的定义域关于原点对称偶函数的定义域关于原点对称函数的单调性作业：作业： P P3232 练习：练习：1 1，2 2，3 3，4.4.函数的单调性知识探究（二）知识探究（二）考察下列两个函数：考察下列两个

24、函数：(1) ; (2) .(1) ; (2) .( )f xx1( )f xx思考思考1:1:这两个函数的图象分别是什么？二者这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？有何共同特征？ 思考思考2:2:对于上述两个函数，对于上述两个函数，f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)，f(2)f(2)与与f(-2)f(-2)，f(3)f(3)与与f(-3)f(-3)有什么关系？有什么关系？ xyo图（图（1）xyo图（图（2）函数的单调性思考思考3:3:一般地，若函数一般地，若函数y=f(x)y=f(x)的图象关于坐的图象关于坐标原点对称，则标原点对称，则f(x)f(x)与与f(-x)f(-x)

25、有什么关系？反有什么关系？反之成立吗？之成立吗？ 思考思考4:4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？数，那么怎样定义奇函数？ 如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x，都有都有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)成立，则称函数成立，则称函数f(x)f(x)为奇为奇函数函数. .f(x)=-f(-x)f(x)=-f(-x)函数的单调性思考思考5:5:等式等式f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表用文字语言怎样表述？述？ 自变量相反时对应的函数值相反自变量相反时对应的函数值

26、相反 思考思考6:6:函数函数 是奇函数吗？是奇函数吗？奇函数的定义域有什么特征？奇函数的定义域有什么特征？( ), 1,2f xx x 奇函数的定义域关于原点对称奇函数的定义域关于原点对称函数的单调性理论迁移理论迁移 例例1 1 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性: : (1) ; (2) .(1) ; (2) .1( )f xxx2( )1f xx 例例2 2 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足：对任满足：对任意实数，都有意实数，都有 成立成立. .（1 1）求）求f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)的值；的值； （2 2）确定）确定f(x)f(x)的

27、奇偶性的奇偶性. .()( )( )f a baf bbf a函数的单调性 例例3 3 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间. .2( )2| 3f xxx y yx xo o1 1-1-1函数的单调性作业:P36练习：1，2函数的单调性1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性 第二课时第二课时 函数的奇偶性的性质函数的奇偶性的性质函数的单调性问题提出问题提出 1.1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？奇函数、偶函数的定义分别是什么？ 2.2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有奇函数和偶函数的定义域、图象分别有 何特征？何特征？ 3. 3.函数的奇偶性有那些基本性质？函数的奇偶性有那些基本性质？函

28、数的单调性知识探究（一）知识探究（一）思考思考1:1:是否存在函数是否存在函数f(x)f(x)既是奇函数又是偶既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？函数？若存在，这样的函数有何特征？f(x)=0f(x)=0思考思考2:2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？情形？思考思考3:3:若若f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，那么上的奇函数，那么 f(0)f(0)的值如何？的值如何？f(0)=0f(0)=0函数的单调性思考思考4:4:如果函数如果函数f(x)f(x)具有奇偶性具有奇偶性,a,a为非零常为非零常数，那么函数数，那么函数af(x)

29、af(x)，f(ax)f(ax)的奇偶性如何？的奇偶性如何？思考思考5:5:常数函数常数函数 具有奇偶性具有奇偶性吗？吗？( )(0)f xa a函数的单调性思考思考1:1:如果函数如果函数f(x)f(x)和和g(x)g(x)都是奇函数，那都是奇函数，那么么f(x) + g(x)f(x) + g(x)，f(x) - g(x)f(x) - g(x)， f(x)f(x)g(x) g(x) ，f(x)f(x)g (x)g (x)的奇偶性如何？的奇偶性如何？知识探究（二）知识探究（二）思考思考2:2:如果如果f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的任意一个函数，上的任意一个函数，那么那么f(x) +

30、 f(-x)f(x) + f(-x)，f(x) - f(-x)f(x) - f(-x)奇偶性如奇偶性如何？何？ f(x) + f(-x)f(x) + f(-x)是偶函数是偶函数f(x) - f(-x)f(x) - f(-x)是奇函数是奇函数函数的单调性思考思考3:3:二次函数二次函数 是偶函是偶函数的条件是什么？数的条件是什么？ 一次函数一次函数 是奇函数的条是奇函数的条件是什么？件是什么？2( )f xaxbxc( )f xkxbb=0b=0函数的单调性理论迁移理论迁移例例1 1 已知已知f(x)f(x)是奇函数，且当是奇函数，且当 时，时， , ,求当求当 时时f(x)f(x)的解析的解析

31、式式. .0 x 2( )3f xxx0 x 2( )3 (0)f xxx x 例例2 2 设函数设函数 ，已知，已知 是是偶函数，求实数偶函数，求实数m m的值的值. .2( )23f xxmx(1)f xm=-4m=-4函数的单调性例例3 3 已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，且对任上的奇函数，且对任意实数意实数x x都有都有 ，若当，若当 时，时， , ,求求 的值的值. .(3)( )0f xf x 3, 2x ( )2f xx1( )2f1( )52f例例4 4 已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数，且在上的偶函数，且在 上是增函数，上是增

32、函数，f(-2)=0f(-2)=0，求不等式，求不等式 的解集的解集. .(,0( )0 x f x( 2,0)(2,)函数的单调性作业作业: :P39P39习题习题1.3A1.3A组：组：6 6 B B组：组：3 3函数的单调性知识探究（一）知识探究（一）1212()()0f xf xxx 若若 呢？呢？ )(xf1212()()0f xf xxx则函数则函数 在区间在区间D D上的单调性如何？上的单调性如何？( )f x思考思考1 1：对于函数对于函数 定义域内某个区间定义域内某个区间D D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值 ，若，若 ，12,x x12()xx( )f x12(

33、 )()f xf x( )f x12xx12,x x对于函数对于函数 定义域内某个区间定义域内某个区间D D上的任意两上的任意两个自变量的值个自变量的值 , ,若当若当 时，都有时，都有 (1) ,(1) ,则称函数则称函数 在区间在区间D D上是上是增函数；增函数；(2) ,(2) ,则称函数则称函数 在区间在区间D D上是上是减函数减函数. .12( )()f xf x( )f x( )f x函数的单调性( )af x( )af x0a ( )f x思考思考2 2：若函数若函数 在区间在区间D D上为增函数，上为增函数， 为常数，则函数为常数，则函数 、 的单调性如何？的单调性如何？( )( )f xg x( )( )f xg x( )g x( )f x思考思考3 3：若函数若函数 、 在区间在区间D D上都是增函数，上都是增函数，则函数则函数 、 在区间在区间D D上的单调性上的单调性能否确定？能否确定？1( )f x( )f x( )f x思考思考4 4：若函数若函数 在区间在区间D D上是增函数，则函数上是增函数，则函数 在区