全国通用版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算课

1、第三章§3.2复数代数形式的四则运算322复数代数形式的乘除运算学习目标1. 掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3. 理解共辘复数的概念.问题导学思考怎样进行复数的乘法运算？答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i? 换成- 1,并且把实部与虚部分别合并即可.梳理复数的乘法法则设可二0 +历，勺二C +加是任意两个复数,那么它们的积 (Q + bi)(c + 历)二(oc bd) + (ad + bc)i .(2)复数乘法的运算律 对于任意可，勺，z3C,有交换律Z 忆o 二 Z2Zl结合律（Z 忆23-乘

2、法对加法的分配律Z1（Z2 + z3） = Zl?2 + 2忆3对对答案吧总知识点二共辘复当两个复数的实部相等,虚部互为相反数 时,这两个复数叫做互为共觇 复数，z的共觇复数用7表示.即"。+勿，则7二a f .对对答案吧知识点三复数的除法法则思考 类比根式除法的分母有理化，比如澀:書,你能写出复数的除法法则吗?=61 + /?i,勺二 c + di（c + iHO），a + bi ac + bd be- ad 则孑帀TFT疋+庄語对对答案吧總思考辨析判断正误1. 复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减.（V ）2. 两个共觇复数的和与积是实数.（V ）3. 若远1, Z2eC,

3、且 Zi + Z2 = 0 ,则 Z1=Z2 = 0.（ X ）对对答案吧题型探究I 例1计算:(2)(l+2i)2 +3(l-i)2 + i(l+2i)2 + 3(l-i)- 3 + 4i + 3解2Ti 二2TTi i(2 _ i) 1 2.= 2 + i= 5=5+?-(14i)(l+i) + 2 + 4i25(1 -4i)(l + i) + 2 + 4i-3i + 2 +3 + 4i2 丿3 + 4i3 + 4i7 + i (7 + i)(3 - 4i)3 + 4i = (3 + 4i)(3 - 4i)21-28i + 3i + 4 25 - 25i25=1 - i.4i反思与感悟(1

4、)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可 按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺 序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算.(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共觇复数，使 “分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似.跟踪训练1计算：(1)(4 - i)(6 + 2i) _ (7 - i)(4 + 3i)； 解(4 - i)(6 + 2i) _ (7 - i)(4 + 3i)二(24 + 8i - 6i + 2) - (28 + 21i - 4i + 3)(26 + 2i) (31 + 17i)二 _ 5 - 15i.3 + 2i2

5、 _ 3i3-2i+2 + 3i，3 + 2i 3-2i 解 2 3i + 2 + 3ii(2 - 3i)2-3i-i(2 + 3i)2 + 3ii = 0.解答(i-2)(i-l)(3)2丿(l+i)(il) + i(i-2)(i- 1) i2 - i - 2i + 2 解 (l+i)(il) + i 二 il+i? i + i1-3i (1-3i)(-2-i) -2 + i_(-2 + i)(-2-i)5-2 - i + 6i + 3i2-5 + 5i=-1+i.解答类型二i的运算性质解答例2计算：（1）茫彩+1+i2016.解原式2(1+i)+-2i= i(l+i) + (-i)1008

6、二 j + j2 + ( )1 008. jl 008 =i- 1 +)4X252 =i-l+l(2)i + i -i (l+i)(l+i)_2i + + i2017.解方法一原式1 -i； -20181 11 -ii 一(j4)504. j2i+1口反思与感悟(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周 期性要记熟,即i" + i" +1 + i" + 2 + i" +彳二0®丘N*).(2)记住以下结果，可提高运算速度(l+i)2 = 2i, (1i)2二-2i;1 +i口二 i；跟踪训练2 (1)2 017；2017解析201

7、7 _d+i）（l+i）m704）504. i =1504J 二 i解析答案(2)化简 i + 2i2 + 3i3 + + lOOi100.解 设S 二 i + 2i2 + 3i3 + + 100i100, 所以 iS = i2 + 2i3+ + 99i100 + 100i101, -得(1 -i)5 = i + i2 + i3 + - + i100 - 100i101 i(l-i100)101二 lOOi101 二 0 lOOi 二lOOi.十八 -lOOi - 100i(l + i) 所以 S 二二(_i)(i+i)二 所以 i + 2i2 + 3i3 + + lOOi100 二 50 5

8、0i.类型三共辄复数及其应用例3把复数z的共觇复数记作乙 已知(l+2i)z二4 + 3i,求乙解 l§：z = a + bi(a, XR),则 a-bi,由已知得(1 + 2i) - bi)二(a + 2b) + (2a - )i 二 4 + 3i,a + 2b = 4，由复数相等的定义知，L /2 得« = 25 b= 152ct b 二 3.所以z = 2 + i.解答引申探究例3条件改为z(z + 2)二4 + 3i,求乙解答反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式, 利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解.跟踪训练3已知复数z满足hl二1,且(

9、3+4i)z是纯虚数，求z的共辄复数乙 解设 z二d + bi, bGR),则|刃二寸/ +戻二 1,即以+决二i.因为（3 + 4i）z 二（3 + 4i） + bi）二（3a - 4Z?） + （3b + 4a）i是纯虚数, 所以3a 4/?二0,且3方+ 4。工0.a由联立，解得b_43ci 或b 二45535-所以I =或达标检测1设复数z满足iz=l,其中i为虚数单位，则z等于iB.iC.-lD.l解析 z = l= -i.2.若z = 4 + 3i（i为虚数单位），则右等于A.lB.-1z 4 3解析 z = 4 + 3i,刃二5,百二§一*234<5解析答案3.已

10、知A.l +iC.-l解析所以z山型 二l+i（i为虚数单位），则复数z等于B.l-i因为(1-址1 +i,(1-迸1 +i-2ifTi-1-i.1234<5解析答案4设i是虚数单位，z是复数z的共觇复数，若z二2i3 FT?234<5解析答案解析2i3 _ -2i(l-i)1 + i 一(1 + i)(l - i)所以"1+i.5已知复数z满足：zz+2zi二8 + 6i，求复数z的实部与虚部的和.解设z二方i(o，bR)，则 z-z = <22 + Z?2,/ + 屏 + 2i(d + bi)=+ 6i，即宀夕2/? + 2ai二 8 + 6i，解得°二3,/?=1,复数z的实部与虚部的和是4 规律与方法1复数代数形式的乘除运算(1) 复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、 结合律以及乘法对加法的分配律.(2) 在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分 子、分母都乘以分母的共觇复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.2共觇复数的性质可以用来解决一些复数问题.3复数问题实数化思想.复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z =。+ bi, bWR),利用复数相等的充要条件转化.(1 一 i)(l + i) 2方法二 因为 in + in +1 +in +