直线与圆的位置关系题型很全

1、Oxy 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响处，受影响的范围是半径长为的范围是半径长为30km的圆形区域已知港口位于台的圆形区域已知港口位于台风中心正北风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？它是否会受到台风的影响？ 为解决这个问题，我们以为解决这个问题，我们以台风中心为原点台风中心为原点 O，东西方向，东西方向为为 x 轴，建立如图所示的轴，建立如图所示的直角直角坐标系坐标系，其中取，其中取 10k

2、m 为单位为单位长度长度轮船轮船港口港口Oxy轮船轮船港口港口轮船航线所在直线轮船航线所在直线 l 的方程为：的方程为：02874yx 问题归结为圆心为问题归结为圆心为O的的圆与直线圆与直线l有无公共点有无公共点 这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的的圆的方程为圆的方程为: :922 yx想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？平面几何中，直线与圆有三种位置关系：平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1 1）直线与圆相交，有两个公共点；）直线与圆相交，有两个公共点；（1 1）（2 2）直线与圆相切，

3、只有一个公共点；）直线与圆相切，只有一个公共点；（2 2）（3 3）直线与圆相离，没有公共点）直线与圆相离，没有公共点（3） 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在，在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？（1 1）（2 2）（3） 先看几个例子，看看你能否从例子中总结出来先看几个例子，看看你能否从例子中总结出来判断直线与圆的位置关系有两种方法：判断直线与圆的位置关系有两种方法： 方法一：方法一：代数法，代数法，判断直线判断直线l与圆与圆C的方程组成的的方程组成的方程组是否有解方程组是否有解如果

4、有解，直线如果有解，直线l与圆与圆C有公共有公共点有两组实数解时，直线点有两组实数解时，直线l与圆与圆C相交；有一组实数相交；有一组实数解时，直线解时，直线l与圆与圆C相切；无实数解时，直线相切；无实数解时，直线l与圆与圆C相相离离 方法二：方法二：几何法，几何法，判断圆判断圆C的圆心到直线的圆心到直线l的距离的距离d与圆的半径与圆的半径r的关系的关系如果如果d r ，直线，直线l与圆与圆C相相离离 那么，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位那么，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？置关系？方法一：直线：方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0 消

5、元消元 一元二次方程一元二次方程 方法二：方法二：直线：直线：Ax+By+C=0;圆圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2 d= 小结：小结：1.判断直线与圆位置关系的方法判断直线与圆位置关系的方法1 1、几何方法解题步骤：、几何方法解题步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断作判断: : 当当drdr时，直线与圆相离；时，直线与圆相离； 当当d=rd=r时，直线与圆相切时，直线与圆相切; ; 当当drdr时，直线与圆相交时，直线与圆相交把直线方程化为一般式把直线方程化为一般式, , 圆的方程化为标准圆的方程化为标准式，求出圆心和半径式

6、，求出圆心和半径直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系把直线方程与圆的方程联立成方程组把直线方程与圆的方程联立成方程组求出其求出其的值的值比较比较与与0 0的大小的大小: : 当当000时时, ,直线与圆相交。直线与圆相交。 2、代数方法主要步骤：、代数方法主要步骤：利用带入消元法，得到关于另一个元的一元二次方程利用带入消元法，得到关于另一个元的一元二次方程代数法：代数法：3x +y6=0 x2 + y2 2y 4=0消去消去y得：得：x2-3x+2=0=(-3)2-412=10所以方程组有两解，所以方程组有两解，直线直线L与圆与圆C相交相交22551031|3 0 1 6| 几何法：几何法：圆

7、心圆心C（0，1）到直线）到直线L的距离的距离d= = r所以直线所以直线L与圆与圆C相交相交比较：几何法比代数法运算量少，简便。比较：几何法比代数法运算量少，简便。dr弦长弦长=22102 ( 5)()102 题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。圆的弦长的求法圆的弦长的求法1几何法：几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 设圆的半径为设圆的半径为r，弦心距为，弦心距为d，弦长为，弦长为L，则，则 2r2d2.2代数法（也叫公式法）：设直线

8、与圆相交于代数法（也叫公式法）：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，两点， 解方程组解方程组 消消y后得关于后得关于x的一元二次方程，从而求的一元二次方程，从而求 得得x1x2，x1x2，则弦长为，则弦长为|AB| （此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式（此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式 ） (其中其中x1，x2为两交点的横坐标为两交点的横坐标k为直线斜率为直线斜率)题型二题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：若直线与圆相交，求弦长问题：解法一：（求出交点利用两点间距离公式）解法一：（求出交点利用两点间距离公式）xyOAB422 yx2221212142230

9、1717,221717,2217 1717 17(,), (,)2222|14yxyxyxxxxyyABAB 由消去得例例1 1、已知直线已知直线 y=y=x+1 与圆与圆 相交于相交于A, ,B两点，求两点，求弦长弦长| |AB| |的值的值422 yx解法二：（弦长公式）解法二：（弦长公式）xyOAB22212122212122214223031,2|(1)()43(1 1 )( 1)4 ()142yxyxyxxxxx xABkxxx x 由消去得1 1已知直线已知直线 y=y=x+1 与圆与圆 相交于相交于A, ,B两点，求两点，求弦长弦长| |AB| |的值的值422 yx解解三：三：

10、解弦心距解弦心距, ,半弦及半径构成的直角三角形半弦及半径构成的直角三角形）2221221 ( 1)| 214dABrd 设圆心设圆心O O（0 0，0 0）到直线的距离为）到直线的距离为d d，则，则xyOABdr2 2已知直线已知直线 y=y=x+1 与圆与圆 相交于相交于A, ,B两点，求两点，求弦长弦长| |AB| |的值的值 练习：求直线3x+4y+2=0被圆 截得的弦长。03222xyx例例2 2、已知过点、已知过点M M（-3-3，-3-3）的直线）的直线l l被圆被圆x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线，求直线l l的

11、的方程。方程。5 54 4.yOM.利用几何性质，求弦心距利用几何性质，求弦心距,然后用点到直线的距离求斜然后用点到直线的距离求斜率。率。X+2y+9=0,或或2x-y+3=0题型三、求圆的切线方程的常用方法题型三、求圆的切线方程的常用方法 复习点与圆的位置关系，判断切线的条数 题型三、求圆的切线方程的常用方法题型三、求圆的切线方程的常用方法(1)若点若点P(x0,y0)在圆在圆C外外,过点过点P的切线有两条的切线有两条.这时这时可设切线方程为可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心利用圆心C到切线的到切线的距离等于半径求距离等于半径求k.若若k仅有一值仅有一值,则另一切线斜率则另一切

12、线斜率不存在不存在,应填上应填上.也可用判别式也可用判别式=0求求k的值的值.(2)若点若点P(x0,y0)在圆在圆C上上,过点过点P的切线只有一条的切线只有一条.利用利用圆的切线的性质圆的切线的性质,求出切线的斜率求出切线的斜率.k切切= 代代入点斜式方程可得入点斜式方程可得.也可以利用结论也可以利用结论:若点若点P(x0,y0)在圆在圆x2+y2=r2上上,则过则过该点的切线方程是该点的切线方程是x0 x+y0y=r2.若点若点P(x0,y0)在圆在圆(x-a) 2+(y-b) 2=r2上上,则过该点的切线方程是则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.1,

13、CPk （2）已知圆的方程是）已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点求经过圆上一点M(x0,y0)的的切线方程切线方程.解解:如右图所示如右图所示,设切线的斜率为设切线的斜率为k,半径半径OM的斜率为的斜率为k1. 因为圆的切线垂直于过切点的半径因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是于是11.kk 例例1：求过一点：求过一点P(-3,-2)的圆的圆x2 + y2 +2x 的切线方程。的切线方程。 解：设所求直线为（）解：设所求直线为（） 代入圆方程使代入圆方程使； 即所求直线为即所求直线为提问：上述解题过程是否存在问题提问：上述解题过程是否存在问题？X=-3是圆的另一条切线是圆的另一条切

14、线34注意：注意：1.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系， 若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 若点在圆外，切线应有两条；若点在圆外，切线应有两条； 若点在圆内，无切线若点在圆内，无切线 2.设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。 若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情况特殊对待。若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情况特殊对待。小结：求圆的切线方程一般有两种方

15、法：小结：求圆的切线方程一般有两种方法： (1)代数法：代数法：设切线方程为设切线方程为yy0k(xx0)与圆的方程组成与圆的方程组成 方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 0进而求得进而求得k. (2)几何法：几何法：设切线方程为设切线方程为yy0k(xx0)利用点到直线的利用点到直线的 距离公式表示出圆心到切线的距离距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令，然后令dr，进而，进而 求出求出k. 以上两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选以上两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选 练习练习1.求过求过M（4，2）且与圆）且与圆 相切的直线方程相切的直线方程.22860 xyxy: )(047) 1() 12( :,25)2() 1( :. 122RmmymxmlyxC直线已知圆练习;) 1 (相交与圆证明直线Cl.,)2(的方程直线截得的弦长最小时被圆求直线lCl题型四、最长弦、最短弦问题题型四、最长弦、最短弦问题222430102.xyxyxy+-=+ =例1、圆上到直线的距离为的点共有几个题型五、判断点的个数问题题型五、判断点的个数问题练习练习1:已知圆已知圆 ,直线直线 l: y=x+b, 求求b的取值范围的取值范围