北交大数字信号处理5小波分析.

1、数字信号处理课程研究性学习报告 试点班专用姓名 学号 同组成员 指导教师 陈后金 时间 小波分析专题研讨【目的】(1) 掌握正交小波分析的基本原理。(2) 学会Haar小波分解和重建算法，理解小波分析的物理含义。(3) 学会用Matlab计算小波分解和重建。(4) 了解小波压缩和去噪的基本原理和方法。【研讨题目】 基本题 【题目目的】: (1)掌握小波变换分解和重建算法的基本原理和计算方法； (2)掌握小波变换中Haar基及其基本特性；8-1 (1)试求信号2, 2, 2, 4, 4, 4T的Haar小波一级变换系数。 (2)将Haar小波一级变换系数中的细节分量 置零，试计算由系数 重建的近

2、似信号， 求出与间的最大误差。解：(1),(2)8-2 (1) 试求信号2, 2, 4, 6,2,2,2, 0T 的Haar小波三级变换系数。 (2) 计算由重建的近似信号， 求出与间的最大误差; (3) 计算由重建的近似信号， 求出与间的最大误差; (4) 计算由重建的近似信号， 求出与间的最大误差; (5) 计算由重建信号。 (6) 比较(2)(3)(4)(5)所获得的结果。【问题探究】若小波变换中滤波器的长度是6，试分析分解算中输出序列的长度？与Haar基相比较有何不同？ 仿真程序：wname='db1'x=2, 2, 4, 6,-2,-2,-2, 0;stem(x);t

3、itle('原信号');C,L = wavedec(x,3,wname) figure ;stem(C);title('c3|d3|d2|d1');a3=wrcoef('a',C,L,wname,3);figure ;subplot(1,2,1);stem(a3);title('a3');subplot(1,2,2);stem(x-a3);title('Error3');a2=wrcoef('a',C,L,wname,2);figure ;subplot(1,2,1);stem(a2);title(

4、'a2');subplot(1,2,2);stem(x-a2);title('Error2');a1=wrcoef('a',C,L,wname,1);figure ;subplot(1,2,1);stem(a1);title('a1');subplot(1,2,2);stem(x-a1);title('Error1');a0=waverec(C,L,'db1');figure ;subplot(1,2,1);stem(a0);title('a0');subplot(1,2,2);st

5、em(x-a0);title('Error0');计算结果为：a3 = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000误差3 =1.0000 1.0000 3.0000 5.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -1.0000a2 =3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 -1.5000 -1.5000 -1.5000 -1.5000误差2 =-1.5000 -1.5000 0.5000 2.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 1.5000a1 =2.000

6、0 2.0000 5.0000 5.0000 -2.0000 -2.0000 -1.0000 -1.0000误差1=1.0e-014 *-0.1332 -0.1332 -0.1776 -0.1776 0.0444 0.0444 0.0888 0.0222a0 =20000 2.0000 4.0000 6.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -0.0000误差0 =1.0e-014 *-0.1332 -0.1332 -0.1776 -0.1776 0.0444 0.0444 0.0888 0.0222经分析可得：用部分小波系数重建信号时，随着小波系数中细节信息d的增加，x与

7、a见的最大误差逐渐减小，信号重建误差逐渐减小。【问题探究】若小波变换中滤波器的长度是6，试分析分解算中输出序列的长度？与Haar基相比较有何不同？ 输出长度为11，与Haar基比较，低频分量较多。讨论题8-3 已知信号x(t) 在区间0，20的值为x(t)= 2<t<4- 6<t<9+214<t<18 - 10<t<11在区间0，20均匀抽样1024点得序列xk。(1)画出信号xk的波形；(2)用函数wavedec计算5级Haar小波变换系数，并画出Haar小波系数的波形，验证小波系数满足能量不变性，即*(3)对(2)中计算出的小波变换系数进行如

8、下的处理 即对小波系数进行了取门限的处理。若要求取门限后的非零小波系数能保留信号能量的99.9%， 试确定门限值T，非零系数个数L， 用函数waverec计算由L个非零系数重建信号的波形及最大误差。*(4)用db2基，重复(3)， 比较Haar基和db2基所得结果。【题目分析】【仿真结果】【结果分析】(2) 可以由图像看出值较大的系数集中在低频部分。同时经Matlab计算可知 E1 = 1123E2 = 1.1230e+03m = 4.5475e-13，可知误差很小，即小波系数满足能量不变性。(3)db1小波确定门限值T= 0.3400；非零系数N=54；最大误差e= 6.6613e-16；分

9、析：经过阈值处理后，只需要54个点即可保留原1024个点的能量，将信号重建出来。(4)db2小波确定门限值T= 0.087322717267185；非零系数N= 576；最大误差e= 2.155386980007279e-12经过两种小波信号的变换结果可以发现：采用db2小波基门限值降低，也就是说更多的噪声信号留下来，表现为非零系数增多，从db1的54个增加到576个，同时最大误差增大。所以分段函数的小波基采用db1比较合适。【自主学习内容】Wthresh函数的使用【仿真程序】（1）t=linspace(0,20,1024)x=(2<t&t<4)-(6<t&t

10、<9)+2*(14<t&t<18)-(10<t&t<11)plot(t,x)axis(0,20,-2,2)（2）t=linspace(0,20,1024)x=(2<t&t<4)-(6<t&t<9)+2*(14<t&t<18)-(10<t&t<11);C,L = wavedec(x,6,'db1');plot(t,C)E1=sum(x.*x)E2=sum(C.*C)m=abs(E1-E2)（3）t=linspace(0,20,1024)x=(2<t&

11、amp;t<4)-(6<t&t<9)+2*(14<t&t<18)-(10<t&t<11)C,L = wavedec(x,6,'db1');wavsum=sum(C.*C);T=max(abs(C);f=zeros(1,length(C);while sum(f.*f)<0.99995*wavsum f=wthresh(C,'h',T) T=T-0.01;endN=0;for n=1:length(C) if C(n)=0 N=N+1; endenda=waverec(C,L,'db1

12、');subplot(311);plot(x);title('原信号');axis(0,1024,-2,3);subplot(312);plot(a);title('重建信号');axis(0,1024,-2,3);subplot(313);plot(x-a);title('误差');a=max(x-a);(4)t=linspace(0,20,1024)x=(2<t&t<4)-(6<t&t<9)+2*(14<t&t<18)-(10<t&t<11)C,L = w

13、avedec(x,6,'db2');wavsum=sum(C.*C);T=max(abs(C);f=zeros(1,length(C);while sum(f.*f)<0.99995*wavsum f=wthresh(C,'h',T) T=T-0.01;endN=0;for n=1:length(C) if C(n)=0 N=N+1; endenda=waverec(C,L,'db2');subplot(311);plot(x);title('原信号');axis(0,1024,-2,3);subplot(312);plot

14、(a);title('重建信号');axis(0,1024,-2,3);subplot(313);plot(x-a);title('误差');a=max(x-a);8-4 对连续信号x(t)=20t2(1-t)3cos(10pt)在区间0，1均匀抽样1024点得离散信号xk (1)画出信号x(t)的波形；(2)用Matlab提供的函数wfilters求出db6小波中的滤波器，计算db6小波中的高通滤波器的长度N(N一定为偶数)，验证db6小波中的高通滤波器满足，(3) 下面讨论用部分的小波系数近似表示信号的问题。 用函数wavedec计算db6小波的5级小波变换

15、系数，若要求非零的小波系数可保留信号能量的99.9%，试确定所需小波系数的个数L。计算由L个幅度最大的小波系数获得的重建信号及重建信号的最大误差。；(4)用db2小波基，重复(2)-(3)；(5) 用db12小波基，重复(2)-(3)；。(6)分析讨论所获得的结果。【题目分析】db p (p为正整数)系列小波是一组重要的基本的正交小波，在实际中有着广泛的应用。本题的主要目的为(1)通过实验了解db p系列小波特性；(2)在实际应用中常希望能选择一合适的小波基，使得可用较少的小波系数就能描述信号的基本特征。通过实验请你发表你对小波基选择看法。【仿真结果】Db6其中S表示验证误差，i=L表示小波非

16、零值，maxw表示重建最大误差，M表示高通滤波器的长度Db2Db12【结果分析】通过观察结果可以发现，db p 中的p值越高高通滤波器的阶数越高，拟合误差越小，拟合效果越好，可以发现db2的模拟非零值需要最多，可以发现同在99.9%的能限下，db2的分解系数更加分散，误差偏大。所以增大p值，需要的非零值越少，db p分解的系数更加集中。【自主学习内容】Sort函数的学习【阅读文献】【发现问题】 (专题研讨或相关知识点学习中发现的问题)：【问题探究】【仿真程序】t=linspace(0,1,1024);x=20*t.2.*(1-t).3.*cos(10*pi*t);plot(t,x);ld hd

17、 lr hr=wfilters('db6');M=length(hd);k=1:M;S=sum(k.2).*hd)C,L=wavedec(x,5,'db6');kc=1:length(C);E=sum(x.2);sort_c=sort(abs(C),'descend');i=1;Em=E*0.999;E0=0;while E0<Em E0=E0+sort_c(i).2; i=i+1;endi=i-1T=sort_c(i)Cm=C;for j=1:length(C) if abs(Cm(j)<T Cm(j)=0; endendxrec=

18、waverec(Cm,L,'db6');subplot(131);plot(t,x);title('原始信号');subplot(132);plot(t,xrec);title('重建信号');subplot(133);plot(t,x-xrec);title('差值');maxw=max(abs(x-xrec)8-5 对连续信号x(t)=40t2(1-t)4cos(12pt)0<t<1 +40(t-1)4(2-t)2cos(80pt)1<t<2+0.1n(t)在区间0，2均匀抽样4096点得离散信号xk，

19、其中n(t)是零均值方差为1的高斯噪声(1)画出信号x(t)的波形；(2)计算并画出db7小波的6级小波变换系数；(3)通过观察小波系数，确定一个门限值，使小于该门限值的小波系数为零；(4)画出去噪后的信号波形，求出最大的重建误差；(5)用Haar小波基，重复(2)-(4)；(6)用db14小波基，重复(2)-(4)；(7)比较基的选择对去噪效果的影响。【题目分析】小波去噪的核心思想是认为信号主要成分对应的小波变换的系数大，噪声成分对应的小波变换的系数小。正、逆变换都可以调用MATLAB提供的函数来成，问题的关键在于阈值的选择，先要通过观察系数的大小有一个大致的判断，再通过反复的实验去选择。【仿真结果】1.db7小波基最大重建误差0.21312. Haar小波基最大重建误差0.03723. db14小波基最大重建误差0.0898【结果分析】总的来说，这三种基都达到了去噪的效果。但在信号的重构问题上，Haar小波基在波形上的失真比较严重，本应光滑过渡的曲线变为了阶梯状，我认为原因在于Haar小波本身就是一个矩形波造成的。另外两种基对信号的形状保持较好。【仿真程序】%Wavelet,8-5close all;clear all;clc;t=linspace(0,2,4