2021高考总复习 数列

1、2021高考总复习 数列 其次讲：数列 学问要点： 一、等差数列 1、等差数列定义：一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an an 1 d(n 2)或an 1 an d(n 1)。 2、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d； 说明：等差数列的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0 为递减数列。 3、等差中项的概念： a b 定义：假如a，a，b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项。其中a 2 a b 。 a，a，b成等差数列 a 2 n(a1 an)

2、n(n 1) na1 d。 4、等差数列的前n和的求和公式：sn 22 5、等差数列的性质： （1）在等差数列 an 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列 an 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列 如：a1，a3，a5，a7， ；a3，a8，a13，a18， ； （3）在等差数列 an 中，对任意m，n n ，an am (n m)d，d an am (m n)； n m （4）在等差数列 an 中，若m，n，p，q n 且m n p q，则am an ap aq； 说明：设数列an是等差数列，且公差为d， （5）若数列 an sn是其前n项的和，k n*，那么

3、sk，s2k sk，s3k s2k 成等差数列。 sa （）若项数为偶数，设共有2n项，则 s偶 s奇 nd； 奇 n； s偶an 1（）若项数为奇数，设共有2n 1项，则 s偶 s奇 an a中s奇n 。 s偶n 1 6、数列最值 （1）a1 0，d 0时，sn有最大值；a1 0，d 0时，sn有最小值； （2）sn最值的求法：若已知sn，可用二次函数最值的求法（n n ）；若已知 an 0 an 0 或 。 an，则sn最值时n的值（n n ）可如下确定 a 0a 0 n 1 n 1 二、等比数列 1等比数列定义 一般地，假如一个数列从其次项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这

4、个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示 和项都不为零） 2等比数列通项公式为：an a1 qn 1(a1 q 0)。 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d 1时该数列既是等比数列也 a 是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若an为等比数列，则m qm n。 an 3等比中项 假如在a与b中间插入一个数g，使a,g,b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。 4等比数列前n项和公式 一般地，设等比数列a1,a2,a3, ,an, 的前n项和是sn a1 a2 a3 an，当q 1 a1(1 qn)a a

5、q时，sn 或sn 1n；当q=1时，sn na1（错位相减法）。 1 q1 q 说明：（1）a1,q,n,sn和a1,an,q,sn各已知三个可求第四个；（2）留意求和公式中是（3）应用求和公式时q 1，必要时qn，通项公式中是qn 1不要混淆； 应争论q 1的状况。 5等比数列的性质 等比数列任意两项间的关系：假如ann项，am是等差数列的第m项，且m n，公比为q，则有an amqn m； 对于列 an ，若n m u v，则an am au av，也就是： a1 an a2 an 1 a3 an 2 a1 an a,a2,a3, ,an 2,an 1,an。 ，如图所示：1 a2 an

6、 1 若数列 an sn是其前n项的和，k n*，那么sk，s2k sk，s3k s2k 成等比数列。 如下图所示： s3k a1 a2 a3 ak ak 1 a2k a2k 1 a3k sk s2k sk s3k s2k 基础练习题 1. 设sn为等比数列 an 的前n项和，8a2 a5 0，则 s5 （ ） s2 a . 11 b . 5 c. 8 d. 11 2. 假如等差数列 an 中，a3 a4 a5 12，那么a1 a2 . a7 （ ） a. 14 b. 21 c. 28 d. 35 3. 设sn为等比数列 an 的前n项和，已知3s3 a4 2，3s2 a3 2，则公比q （

7、） a.3 b. 4 c. 5 d. 6 4. 设a是有正数组成的等比数列，s为其前n项和。已知aa=1, s 7,则s （ ） a. 15313317 b. c. d. 224 4 5. 设数列an的前n项和sn n2，则a8的值为（ ） a. 15 b. 16 c. 49 d. 64 6. 在等比数列 an 中，a2021 8a2021 ，则公比q的值为（ ） a. 2 b. 3 c. 4 d. 8 1 7. 已知 an 是首项为1的等比数列，sn是 an 的前n项和，且9s3 s6，则数列 的 an 前5项和为（ ） a. 15313115或5 b. 或5 c. d. 816168 8.

8、 已知an为等比数列，sn是它的前n项和。若a2 a3 2a1， 且a4与2a7的等差中项 为 5 ，则s5=（ ） 4 a35 b.33 c.31 d.29 9. 已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ） a. 1a a 10. 已知等比数列am中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则910 2a7 a8 （ ） a.1 b. 1 c. 3 d3 11. 设等差数列 an 的前n项和为sn,若a1 11,a4 a6 6,则当sn取最小值时,n等 于（ ） a6 b7 c8 d9 12. 若数列an的通项公式是an=2(n1)3，

9、则此数列 ( ) a. 是公差为2的等差数列 b. 是公差为3的等差数列 c. 是公差为5的等差数列 d. 不是等差数列 13. 已知an是等比数列，a2 2，a5 16，则数列an的前6项和为（ ） a. 36 b. 38 c. 39 d. 42 14. 含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) a. 2n 1n 1n 1n 1 b. c. d. nnn2n 15. 在等差数列an中，公差为d，已知s104s5，则 a. a1 是 ( ) d 11 b. 2 c. d. 4 24 16. 已知数列an是各项均为正数的等比数列，则a3 a4 a5 （ ） a1 3，s3

10、 21， a.2 b. 33 c.84 d. 189 17. 等差数列an 中，s15=90，则a8= ( ) a. 3 b. 4 c. 6 d. 12 18.数列an的通项公式an ( ) a. 9 b. 10 c. 99 d. 100 19. 等差数列an中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8= ( ) a. 45 b. 75 c.180 d. 300 20. 已知an是等差数列，且a2+ a3+ a8+ a11=48，则a6+ a7= ( ) a. 12 b. 16 c. 20 d. 24 21. 等差数列an 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项

11、和为( ) a. 130 b. 170 c. 210 d. 160 22. 等差数列an的公差为 1 ，且s100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+ a99=( ) 2 1n 1 n ，已知它的前n项和为sn=9，则项数n= a. 60 b. 80 c. 72.5 d. 其它的值 23. 等差数列an中，a1+a2+a10=15，a11+a12+a20=20，则a21+a22+a30=( ) a.15 b.25 c.35 d.45 24. 等差数列an中，a1=3，a100=36，则a3+a98= ( ) a. 36 b.39 c. 42 d.45 25. an是公差为2的等差数列，a1

12、+a4+a7+a97=50，则a3+a6+ a99= ( ) a.50 b. 50 c.16 d. 182 26. 若xy，且两个数列：x，a1，a2，y 和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么 a1 x ( ) y b 342 b. c. d.值不确定 433 2a b 27. 已知a、b、c、d是公比为2的等比数列，则= ( ) 2c d 111 a. 1 b. c. d. 248 a. 28. 已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( ) a. 60 b. 70 c.90 d. 126 29. 数列an、bn都是等差数列，它们的前n项的和为 第5项的

13、比为 ( ) a. 493428 b. c. d.以上结论都不对 291719 sn3n 1 ，则这两个数列的 tn2n 1 30. 在等比数列 an 中,a1 2,前n项和为sn,若数列 an 1 也是等比数列，则sn等于（ ） a2n 1 2 31.已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列. b 3n c2n d3n 1 （）求数列an的通项; （）求数列 2an的前n项和sn. 32.已知an是各项均为正数的等比数列，且 a1 a2 2( 11111 )，a3 a4 a5 64( ) a1a2a3a4a5 （）求an的通项公式； 33.已知 an 是首项为19

14、，公差为-2的等差数列，sn为 an 的前n项和. （）求通项an及sn； （）设 bn an 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 bn 的通项公式及其 前n项和tn. 34.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为sn，满意s5s6+15=0。 （）若s5=5，求s6及a1； （）求d的取值范围。 35.已知|an|为等差数列，且a3 6，a6 0。 （）求|an|的通项公式； （）若等差数列|bn|满意b1 8，b2 a1 a2 a3，求|bn|的前n项和公式 36.已知等差数列 an 满意：a3 7，a5 a7 26. an 的前n项和为sn. （）求an 及

15、sn； （）令bn 1 （n n ）,求数列 bn 的前n项和tn. 2 an 1 答案 1解析：解析：通过8a2 a5 0，设公比为q，将该式转化为8a2 a2q3 0，解得q=-2，带入所求式可知答案选d，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题 2【解析】a3 a4 a5 3a4 12,a4 4, a1 a2 a7 3. 解析：选b. 两式相减得， 3a3 a4 a3，a4 4a3, q 7(a1 a7) 7a4 28 2 a4 4. a3 24 4. 【解析】由a2a4=1可得a1q 1，因此a1 12 ，又由于s a(1 q q) 7，联力两式有312q

16、 111 ( 3)( 2) 0，所以q=,所以s5 2 5.【解析】a8 s8 s7 64 49 15. 选择a 4 (1 1 ) 5 31，故选b。 141 2 【方法技巧】直接依据an sn sn 1(n 2)即可得出结论. a2021 q3 8 q 2 6. 解析： a2021 7. 【答案】c 【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 9(1 q3)1-q611 明显q 1，所以= 1 q3 q 2，所以是首项为1，公比为的等比 2an1-q1 q1 1 ()5 31. 数列， 前5项和t5 1161 2 8. 选择c设an的公比为q，则由等比数列的性质知

17、，a2 a3 a1 a4 2a1，即a4 2。由a4与 2a7的等差中项为 q3 5515151知，a4 2a7 2 ，即a7 (2 a4) (2 2) 4424244 11a71 ，即q a4 a1q3 a1 2，即a1 16 28a48 33 9. 【解析】由等比数列的性质知a1a2a3 (a1a3) a2 a2 5，a7a8a9 (a7a9) a8 a8 10,所以 a2a8 50, 所以a4a5a6 (a4a6) a5 a (50) 1 3 35 3 163 10 11. 【解析】设该数列的公差为d，则a4 a6 2a1 8d 2 ( 11) 8d 6，解得d 2， 所以sn 11n 12. 已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列. （）求数列an的通项; （）求数列2的前n项和sn. an n(n 1) 2 n2 12n (n 6)2 36，所以当n 6时，sn取最小值。 2 解 （）由题设知公差d0， 由a11，a1，a3，a9成等比数列得 1 2d1 8d ， 11 2d 解得d1，d0