2021北京东城高三二模数学(理)试卷

1、2021北京东城高三二模数学(理)试卷 东城区2021-2021学年其次学期综合练习（二） 高三数学 （理科） 学校_班级_姓名_考号_ 本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）设集合a x rx 1 2，集合 2, 1,0,1,2，则a b= （a）2 （b）1,2 （c）0,1,2 （d） 1,0,1,2 （2）在复平面内，复数 2 i3对应的点位于 1 i （a）第一

2、象限 （b）其次象限 （c）第三象限 （d）第四象限 （3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的x值为 （a）2或 2 （b） 1或 2 （c）1或 2 （d）2或 1 x y 1 0, (4) 假如实数x，y满意条件 x y 1 0, 则z 2x y的最大值为 y 1 0, （a） 3 （b） 1 （c）0 （d）1 （5）设sn为等差数列 an 的前n项和，若a1 1，公差d 2，sn 2 sn 36，则n （a）5 （b）6 （c）7 （d）8 （6）6个人站成一排，其中甲、乙必需站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为 （a）12 （b）18 （c）24 （d

3、）36 （7）若直线 则a的值为 （a）1 或5 （b） 1 或5 （c）1 或 5 （d） 1 或 5 x 1 t, x 2 2cos （t为参数）被圆 （ 为参数） 所截的弦长为 y 2 2sin y a t b定义运算（8）对任意实数a，“”：a ,b ,1 ba 设f(x) (x2 1)b ,1 a,a b (4 x) k， 若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是 （a）( 2,1) （b）0,1 （c） 2,0) （d） 2,1) 其次部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知tan =2，那么cos2 （10）已知平面对量

4、a，b，若a 3，a b a b 6，则b ；向量a，b夹角的大小为 （11）在区间0,6上随机取两个实数x，y,则大事“2x y 6”的概率为_ （12）如图所示，pa与圆o相切于a，直线po交圆o于b，c两点，ad bc，垂 足为d，且d是oc的中点，若pa 6，则pc （13）若直线y k(x 1)(k 0)与抛物线y2 4x相交于a，b两点，且a，b两点在抛物线的准线上的射影分别是m，n，若bn 2am，则k的值是 p是正方体棱上一点（不包括棱的（14）在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中，点 端点），pa pc1 m， 若m 2，则满意条件的点p的个数为_； p的个数为6，

5、则m的取值范围是 若满意pa pc1 m的点 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分） 2 已知函数f(x) sinxxsin(x ). 2 （）求f( )的值； 12 （）当x 0,时，求函数f(x)的最大值和最小值 （16）（本小题共13分） “你低碳了吗？”这是某市为提倡建设资源节省型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣扬效果，随机抽取了100名年龄段在10,20)，20,30)，50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示. （）求随机抽取的市民中年龄段在30,40)的人数； （）

6、从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求50,60)年龄段抽取的人数； （）从按（）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记x为年龄在 2 50,60)年龄段的人数，求x的分布列及数学期望 （17）（本小题共14分） 如图，四棱锥e abcd中，平面ead 平面abcd,dc/ ab,bc cd, ea ed,且ab 4，bc cd ea ed 2. （i）求证：bd 平面ade； （ii）求be和平面cde所成角的正弦值； （iii）在线段ce上是否存在一点f使得平面bdf 平面cde，请说明理由. （18）（本小题共13分） 已知a 0，函数f(x) ax 2

7、a，g(x) alnx x a. x2 1 （）求函数f(x)的单调区间； （）求证：对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) g(x2). （19）（本小题共13分） x2y2已知椭圆2 2 1的一个焦点为f (2,0) ab（）求椭圆方程； （）斜率为k的直线l过点f，且与椭圆交于a, b两点，p为直线x 3上的一点，若abp为等边三角形，求直线l的方程. （20）（本小题共14分） 设a是一个自然数，f(a)是a的各位数字的平方和，定义数列an：a1是自然数， an f(an 1)（n n*，n 2） （）求f(99)，f(2021)； （）若a1 100，求证：a1 a2； （

8、）当a1 1000时，求证：存在m n*，使得a3m a2m 东城区2021-2021学年其次学期综合练习（二） 高三数学参考答案及评分标准 （理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）b （2）a （3）c （4）d （5）d （6）c （7）c （8）d 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （11） 3 （10）4 60 5 1 （12） 4 （13 ） （14）6 3 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，其次个空填对得2分 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 2解： （）f(x) sinx xsin(x ) 2 sin

9、xxcosx 2 1 cos2x 2x 211 2x cos2x 22 sin(2x ) 所以f( x 0 y x2 1 61 2 1 ) 7分 122 （）当x 0,时， 所以，当2x 2 5 2x 666 时，即x 0时，函数f(x)取得最小值0； 66 当2x （16）（共13分） 解：（）1 10 (0.020 0.025 0.015 0.005) 0.35， 3 时，即x 时，函数f(x)取得最大值 13分 6232 0 10 0 .35， 即随机抽取的市民中年龄段在30,40)的人数为35 4分 （）100 0.15 15，100 0.05 5， 所以5 8 2， 20 即抽取的8

10、人中50,60)年龄段抽取的人数为2 7分 （）x的全部可能取值为0，1，2 3c65 p(x 0) 3 ； c81412c2c615 p(x 1) ； 3 c82821c2c3 p(x 2) 36 c828 所以x的分布列为 3 x的数学期望为ex 0 1 2 13分 1428284 （17）（共14分） 解：（i）由bc cd，bc cd 2., 可得bd 由ea ed，且ea ed 2可得ad 又ab 4 所以bd ad 又平面ead 平面abcd， 平面ade 平面abcd ad， bd 平面abcd， 所以bd 平面ade 分 （ii）如图建立空间直角坐标系d xyz， 则d (0,

11、0,0)，b ，c( ，e， be ，de ，dc ( 设n (x,y,z)是平面cde的一个法向量，则n de 0，n dc 0， x z 0,即 x y 0. 令x 1，则n (1,1, 1) 设直线be与平面cde所成的角为 ， 则sin |cos be,n | |be n| 3|be| | n| 1 分 所以be和平面cde （iii）设 cf ce， 0,1 dc ( ，ce ，db . 则df dc cf dc ce 1, 1, ) 设m (x',y',z')是平面bef一个法向量，则n eb 0，n ef 0， 即 y' 0, (2 1)x'

12、; ( 1)y' z' 0. 2 1 令x' 1，则m (1,0, ) 2 1 1 0， 0,1. 3 若平面bef 平面cde，则m n 0，即1 所以，在线段ce上存在一点f使得平面bef 平面cde. 14分 （18）（共13分） a(1 x2)a(1 x)(1 x) 解：（）函数f(x)的定义域为r,f (x) 2， 222 (x 1)(x 1) 由于a 0， 所以，当x 1，或x 1时，f'(x) 0； 当 1 x 1时，f'(x) 0 所以，f(x)的单调递增区间为( 1,1),单调递减区间为( , 1),(1, ) 6分 （）由于f(x)在

13、区间(0,1)上单调递增，在区间(1,e)上单调递减， 又f(0) 2a，f(e) ea 2a 2a， e2 1 所以，当x (0,e)时，f(x) 2a 由g(x) alnx x a，可得g'(x) aa x 1 xx 所以当a e时，函数g(x)在区间(0,e)上是增函数， 所以，当x (0,e)时，g(x) g(e) 2a e 2a 所以，当x (0,e)时， 对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) 2a，g(x2) 2a，所以f(x1) g(x2) 当0 a e时，函数g(x)在区间(0,a)上是增函数，在区间(a,e)上是减函数， 所以，当x (0,e)时，g(x)

14、 g(a) alna 2a 所以，当x (0,e)时， 对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) 2a，g(x2) 2a，所以f(x1) g(x2) 综上，对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) g(x2) 13分 （19）（共13分） 解（）依题意有c 2， c a 可得a2 6，b2 2 x2y2 故椭圆方程为 1 分 62 （）直线l的方程为y k(x 2) y k(x 2), 联立方程组 x2y2 1. 2 6 消去y并整理得(3k2 1)x2 12k2x 12k2 6 0 设a(x1,y1)，b(x2,y2) 12k212k2 6 故x1 x2 ，x1x2 22 3

15、k 13k 1 则ab kx1 x2 2 (1 k2)(x1 x2)2 4x1x2 设ab的中点为m(x0,y0) 6k22k 可得x0 2，y0 2 3k 13k 1 直线mp的斜率为 1 ，又 xp 3， k 3(k2 1) 所以mp x0 xp 2 (3k 1) 当abp为正三角形时，mp 3 ab， 2 3(k2 1) 2(3k 1)解得k 1 即直线l的方程为x y 2 0，或x y 2 0 13分 （20）（共14分） 解：（）f(99) 92 92 162； f(2021) 22 02 12 42 21 5分 （）假设a1是一个n位数（n 3）， 那么可以设a1 bn 10n 1

16、 bn 1 10n 2 b3 102 b2 10 b1， 其中0 bi 9且bi n（1 i n），且bn 0 由a2 f(a1)可得，a2 bn2 bn 12 b32 b22 b12 (102 b3)b3 (10 b2)b1 (1 b1)b1, a1 a2 (10n 1 bn)bn (10n 2 bn 1)bn 1 所以a1 a2 (10n 1 bn)bn (b1 1)b1 由于bn 0，所以(10n 1 bn)bn 99 而(b1 1)b1 72， 所以a1 a2 0，即a1 a2 9分 （）由a1 1000，即a1 999，可知a2 92 92 92 243 同理an 999，可知an 1 92 92