空间点、线、面之间的位置关系导学案

1、空间点、线、面之间的位置关系导学目标：1理解空间直线、平面位置关系的含义2 了解可以作为推理依据的公理和定理.3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.课前准番匮回尹教材厘"【自主梳理】1. 平面的基本性质公理1:如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2:过的三点，有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线.2直线与直线的位置关系(1) 位置关系的分类共面直线异面直线：不同在任何一个平面内(2) 异面直线所成的角 定义：设a, b是两条异面直线，经过空间中任一点 0作直线a'

2、/ a, b'/ b,把a'与b'所成的 叫做异面直线a, b所成的角(或夹角). 范围：.3直线与平面的位置关系有 、三种情况.4. 平面与平面的位置关系有 、两种情况.5. 平行公理平行于的两条直线互相平行.6. 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .【自我检测】1 若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是()A.相交B.相交或异面C.平行或异面D.平行、相交或异面2. 已知a, b是异面直线，直线 c/直线a,则c与b( )A. 定是异面直线B. 定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线3. 如图所示，点

3、 P, Q, R, S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()CD4. 直三棱柱 ABC A1B1C1中，若/ BAC = 90 ° AB = AC = AA 1，则异面直线 BA 1与ACi所成的角等于()B. 45 °D. 90°A. 30 °C. 60°5. 下列命题： 空间不同三点确定一个平面； 有三个公共点的两个平面必重合； 空间两两相交的三条直线确定一个平面； 三角形是平面图形； 平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； 垂直于同一直线的两直线平行； 一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一

4、条相交; 两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是 .(填序号)探究点一平面的基本性质例 11:HD ；FG、BD三线共点.如图所示，空间四边形 ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足 AE : EB =CF : FB = 2 : 1 , CG : GD = 3 : 1，过 E、F、G 的平面交 AD 于 H，连接 EH.EH、(1) 求 AH(2) 求证：变式迁移1如图，E、F、G、H分别是空间四边形 AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交 于点O.求证：B、D、O三点共线.探究点二异面直线所成的角例2 已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，

5、Ai在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线 AB与CCi所成的角的余弦值为（）变式迁移 2 在空间四边形 ABCD中，已知 AD = 1 , BC = '3，且AD丄BC,对角线 BD =亠尹，AC =中，求AC和BD所成的角.转化与化归思想的应用（12分）如图所示，在四棱锥 P ABCD中，底面是边长为 2的菱形，/ DAB = 60°对 角线AC与BD交于点 O, P0丄平面ABCD , PB与平面ABCD所成角为60°（1）求四棱锥的体积；若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的余弦值.多角度审题对（1）只需求出高PO,易得体积；对 可利用定义，

6、过 E点作PA的平 行线，构造三角形再求解.【答题模板】解 （1）在四棱锥 PABCD中，/ PO丄平面ABCD ,/ PBO是PB与平面ABCD 所成的角，即 / PBO = 60°, 2分在 RtAAOB 中，/ BO = AB-sin 30 = 1,又 PO丄 OB , PO = BO- tan 60 = ；3,底面菱形的面积 S= 2X 2X 2X 23= 2,31四棱锥PABCD的体积Vpabcd = 3X 2 3X 3 = 2.6 分3取AB的中点F,连接EF, DF, E 为 PB 中点， EF / PA,/ DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.8分在 RtA

7、 AOB 中，AO = AB -cos 30 =爭，在 Rt POA 中，PA =护， EF =当.在正三角形 ABD和正三角形 PDB中，DF = DE = ：3,DE1. 利用平面基本性质证明“线共点”或“点共线”问题： 证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直 线上，有时也可将问题转化为证明三点共线. 要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的 公共点，根据公理 3可知这些点在交线上，因此共线.2 异面直线的判定方法：(1) 定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.(2) 反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线.3 求异

8、面直线所成的角的步骤：(1) 一般是用平移法(可以借助三角形的中位线、平行四边形等)作出异面直线的夹角;(2) 证明作出的角就是所求的角；+ EF利用条件求出这个角； DF如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补 角才是要求的角.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1 和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A.异面B .相交由余弦定理得 cos/ DEF =10分2DE EF3C.平行D .异面或相交2. 给出下列命题：+ 2-3 2 J仝=2 X 3X 2 若平面a上的直线a与平面B上的直线b为异面直线，直线C是a与B的交线，那么= 丁所

9、以异面直线DE与PA所成角的余弦值为 #.12分【突破思维障碍】求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下：(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置， 顶点选在特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解，异面直线所成角的范围是(0 °, 90° 【易

10、错点剖析】1. 求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明.2 忘记异面直线所成角的范围，余弦值回答为负值.)课堂小结c至多与a、b中的一条相交；若直线 a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面; 一定存在平面 a同时和异面直线a、b都平行.其中正确的命题为 （）A.B.C .D .3.ABCABCG、H、I、J 分别为 AF、GH与IJ所成角的度数在正三角形 的中点，将中，D、 沿DE、E、F分别为各边的中点，EF、DF折成三棱锥以后,如图所示，AD、 BE、 DE 为（）A. 90 °4. 已知正四棱柱ABCD AiBiCiDi与CDi所成角的余弦值为（）_1013 7

11、010B.5105. （2011三明模拟）正四棱锥 SABCD点，则异面直线BE和SC所成的角为（）A. 30°B. 45°C.二、填空题（每小题4分，共12分）C.中，45 °D. 0AA 1 = 2AB , E 为 AA 1的中点，则异面直线BE3D.5的侧棱长为匕2，底面边长为.'3, E为SA的中D . 90 °6. 个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：AB丄EF :AB与CM所成的角为60°EF与MN是异面直线；MN / CD.则正 确结论的序号是7. 如图所示，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各条棱长

12、都相等， M是侧棱CC1的中点, 则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 .三、解答题（共38分）9. （12 分）&如图所示，正四面体 P ABC中，M为棱AB的中点，贝U PA与CM所成角的余弦 值为如图所示，正方体 ABCD AiBiCiDi中，E, F分别是AB和AA 1的中点. 求证：(1)E, C, Di, F四点共面；(2)CE, DiF，DA 三线共点.10. （12 分）fllA1B1的中在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，P, Q, R分别是棱CC1, A1D1, 点，画出过这三点的截面，并求这个截面的周长.11. （14 分）如图，正方体 ABCD A

13、1B1C1D1的棱长为2, E为AB的中点.(1)求证：AC丄平面BDD1；求异面直线BD1与CE所成角的余弦值.(3) 求点B到平面A1EC的距离.空间点、线、面之间的位置关系自主梳理1. 两点不在一条直线上一条 2.(1)平行 相交n(2)锐角或直角0, 23平行相交在平面内4.平行 相交 5同一条直线6相等或互补自我检测1. D a, c都与直线b异面，并不能确定直线 a, c的关系.2. C a, b是异面直线，直线 c/直线a.因而cD |弓b,否则，若c / b，则a / b与已知矛盾， 因而 cDlb.3. C A 中 PQ / RS; B 中 RS/ PQ;D中RS和PQ相交.

14、4. C 艮ft将直三棱柱 ABC A1B1C1补成如图所示的几何体.由已知易知：该几何体为正方体.连接 C1D，则 C1D / BA1.异面直线BA1与AC1所成的角为/ AC1D(或补角), 在等边 AC1D 中，/ AC1D= 60 °5. 课堂活动区例1 解题导引 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把 直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证.(1)解CF_ QFB ， EF / AC. EF / 平面 ACD.而 EF?平面 EFGH , 且平面 EFGH n 平面 ACD = GH, EF / GH. 而 EF/ AC , AC /

15、 GH. AH HD -= GD= 3，即 AH : HD = 3 : 1.(2)证明 T EF/ GH，且 A| = 3,崇=4， EFM GH , 四边形EFGH为梯形.令 EH n FG= P,贝y P EH , 而 EH?平面 ABD ,P FG, FG?平面 BCD , 平面ABD n平面BCD = BD , P BD. EH、FG、BD 三线共点.变式迁移1 证明 / E AB , H AD , E 平面 ABD , H 平面 ABD. EH?平面 ABD.EH n FG = O , O 平面 ABD.同理可证O 平面BCD, O 平面ABD n平面BCD ,即O BD , B、D

16、、O三点共线.例2 解题导引 高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，求 异面直线所成角的一般步骤为：(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点.证明：证明所作的角是异面直线所成的角.（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.（4）取舍：因为异面直线所成角B的取值范围是0°赵90 °所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.如图，Aid丄平面ABC，且D为BC的中点，设三棱柱的各棱长为 1,则AD =于，由 1_竺

17、33二AB与CCi所成的角的余弦值为 才如图所示，分别取 AD、GF.CD、AB、BD 的中点 E、F、G、H，连接 EF、FH、HG、GE、由三角形的中位线定理知，AC和BD所成的角.13HF / BC.GH = 2，HF =- ,GHF = 90°, GF1 2 3= GH2+ HF 2= 1.EF / AC,且 EF =, GE/ BD，且 GE=GE 和 EF 所成的锐角（或直角）就是同理，GH / AD,又AD丄在厶 EFG 中，EG2 + EF2= 1 = GF2,/ GEF = 90°即AC和BD所成的角为90°. 课后练习区1 AiD 丄平面 AB

18、C 知 A1D = 2，Rt A1BD 中，易求 A1B=4 2 .CC1/ AA1, AB与AA1所成的角即为 AB与CC1所成的角.在厶A1BA中，由余弦定11 +1-2理可知 cos/ A1AB =-2 X 1 X 1变式迁移2解A(J.Q将三角形折成三棱锥，如图所示，HG与IJ为一对异面直线，过 D分别作HG与IJ的平行线，因 GH / DF ,IJ / AD,所以/ ADF为所求，因此HG与IJ所成角为60°4. C 0./Ec"7/Aa如图所示，连接 A1B，则A1B / C D1故异面直线 BE与CD1所成的角即为 BE与A1B所 成的角设 AB = a,贝V

19、 A1E = a, A1B=©5a,BE= .'2a. A1BE中，由余弦定理得BE2 + A1B2 A1E2cos/ A1BE =2BE A1B2a2+ 5a2 a2 = 3/2X 2aX . 5a 105. C 设AC中点为O,贝U OE/ SC,连接BO,则/ BEO（或其补角）即为异面直线 BE 和SC所成的角，1 返EO= 2SC七，BO=知=26，1'3 出2AB 2心在厶SAB中，cos A =亦=.2 =才AB2 + AE2 BE2.=2AB AE ，BE = 2亠亠 /BE2 + EO2 BO2 1在厶 BEO 中，cos/ BEO = 2BE EO

20、 = 2,/ BEO= 60°6.解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，易知 CM，EF与MN异面，MN丄CD，故正确.7. 90°解析 延长 AiBi 至 D，使 AiBi = BiD，贝U ABi / BD,AB 丄 EF , AB /设三棱柱的各条棱长为2,/ MBD就是直线ABi和BM所成的角. 则 BM = :'5, BD = 2 '2,CiD EF / AiB，且 EF = ?AiB, （2 分）又T AiDi 綊 BC,四边形AiBCDi是平行四边形，- AiB / CDi,. EF / CDi, EF与CDi确定一个平面 a

21、, E, F, C, Di a,即E, C, Di, F四点共面.（6分） i（2）由（i）知 EF / CDi, 且 EF = ?CDi,四边形CDiFE是梯形， CE与DiF必相交，设交点为 P, （8分）则 P CE?平面 ABCD，且 P DiF?平面 AiADDi, P 平面 ABCD 且 P 平面 AiADDi.（i0 分）又平面ABCD n平面AiADD i = AD , P AD, CE , DiF , DA 三线共点.（i2 分）i0.解 如图所示，连接 QR并延长，分别与 CiBi, CiDi的延长线交于E, F两点.= AiD2+ AiCl 2AiD AiCicos 60

22、=i6 + 4 2X 4= i2. DM2= CiD2+ CiM2= i3,BM2+BD2DM2 cos/ DBM = 0, / DBM = 90°2 BM BD'8並8. 6解析如图，取PB中点N,连接CN、MN. / CMN为PA与CM所成的角（或补角），设 PA= 2，则 CM =、3MN = 1, CN = .'3.MN2+ CM2- CN2'3 cos/ CMN =2MN CM6 -9. 证明 如图所示，连接 CDi, EF , AiB,/ E、«l连接EP交BBi于M点，PMRQN为过三点P, Q, R的截面.（3分）连接FP交DDi于N点. 再连接RM , QN，则五边形 由Q, R分别是边AiDi, A1B1的中点，知 QRAiBA ERBi, （6分）1-Bi E= QAi = 2a,由厶 EBiMECiP,知 EM : EP = EB