第六章多元函数微分学

1、第六章 多元函数微分学第六章 多元函数微分学大纲要求数一1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4. （数一）理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.7. （数一）了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.8. 了解二元函数的二阶泰勒公式.9. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌

2、握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.数二1. 了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义2. 了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质3. 了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数4. 了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最

3、大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题数三1. 了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义2. 了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质3. 了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数4. 了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题§1多元函数极限与连续一、基本概念1、多元函数定义 设是平面上的一个点集称映射为定义在上的二元函数，通常记为

4、 ，（或，）其中点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量数集称为该函数的值域几何意义 的图形是一张曲面.多元函数的极限定义 设二元函数的定义域为，是的聚点如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点时，都有 成立，则称常数为函数当时的极限，记作 ， 或 （）为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限注意 所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于因此，如果以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在但是反过来，如果当以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数在该点的极

5、限不存在下面用例子来说明这种情形考察函数显然，当点沿轴趋于点时，；又当点沿轴趋于点时，虽然点以上述两种特殊方式(沿轴或沿轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是并不存在这是因为当点沿着直线趋于点时,有，显然它是随着的值的不同而改变的例 计算下列极限（1） （2） 解 =2、多元函数的连续定义 设函数在开区域（闭区域）内有定义，是聚点，且如果,则称函数在点连续如果函数在开区域（或闭区域）内的每一点连续，那么就称函数在内连续，或者称是内的连续函数我们指出：一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用，根据多元函数极限运算法则，可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，连续函数的商在分母

6、不为零处仍连续，多元连续函数的复合函数也是连续函数。与一元初等函数相类似，多元初等函数是指可用一个式子表示的，由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而得到。由以上可知，一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或者闭区域。与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域上的多元连续函数，必定在上有界，且在上一定有最大值和最小值这就是说，在上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，即对于一切PD, 有性质2（介值定理） 在有界闭区域上的多元连续函数，必取得介于最大值

7、和最小值之间的任何值二、典型例题例1 证明下列极限不存在（1） （2） 【证明】（1）取直线，让点沿直线趋于点，此时有.则重极限不存在.（2）设P(x,y)沿直线趋于点（0，0） ，所以上述极限不存在。例2 求下列极限（1）.（2） （3） 【解】1. 由于，而，由夹逼原理知.2方法1 将分子有理化原式又而，于是原极限方法2 当，时，则原式.3方法1 由于，即为有界量，而，即为无穷小量，则原式.方法2 由于（当，时），由夹逼原理知.习题6-11、 求下列函数的定义域。（1）（2）（3）2、求下列各极限。（1）（2）（3）3、证明下列极限不存在：（1）（2）§2偏导数与全微分一、基本概

8、念1、偏导数定义 设二元函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量, 如果极限 存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作, , 或 几何意义 设为曲面上的一点，过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率注意 对于多元函数来说，偏导数在某点存在，不能保证函数在该点连续这是因为各偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于时，函数值趋于,但不能保证点按任何方式趋于时，函数值都趋于 例如，函数在点对的偏导数为同样有但是我们在第一节中已经知道这函

9、数在点并不连续2、高阶偏导数 设函数在区域内具有偏导数, ,那么在D内 、都是的函数如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：= , =,= , =其中第二、三个偏导数称为混合偏导数同样可得三阶、四阶、以及阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例1 设，求证：【证明】 因为 , ,所以 例2 证明函数，满足方程+=0 ，其中.【证明】 =·=, =+·=+由于函数关于自变量的对称性，所以=+,=+.因此定理 如果函数的两个二阶混合偏导数 及 在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等3、 全微

10、分定义 如果函数在点的全增量可表示为，其中、不依赖于、而仅与有关，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即由于，而意味着函数连续，因此有下面结论。如果函数在点可微分， 则函数在点处连续定理1（必要条件） 如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且函数在点的全微分为=+定理2（充分条件） 如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分例3 计算函数的全微分【解】 因为 , , ,所以 =( ) +4、多元复合函数的求导法则（1）设在点处有连续偏导数，而在相应点有连续偏导数，则复合函数在点处有连续偏导数，且 （A）（2）设在点x 处可导，在相应点处有连续偏导数，则复合函数在

11、点x 处可导，且 （B）（3）设在点处有连续的偏导数，而在相应点处有连续偏导数，则 （C）注意1、公式（A）(C)不必刻意去记，但要彻底理解.可用图示法 设可导,在相应点有连续一阶偏导数,则2、函数对某自变量的偏导数之结构 （i）项数=中间变量的个数， (ii) 每一项函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数. 3、抽象半抽象复合函数求二阶偏导是重点又是难点，应注意对求完偏导后仍是的函数，复合关系不变。例4 设，而，求和。【解】 由复合函数链式法则，有 5、全微分形式不变性 设函数具有连续偏导数，则有全微分如果、又是、的函数、，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数的全微分为由

12、复合函数求导法则，将公式代入上式，得由此可见，无论z是自变量u、v的函数或者中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。6、多元隐函数求导（1） 由一个方程确定的隐函数的导数（i）设有连续的一阶偏导，且由方程确定隐函数，则 (ii) 设有连续的一阶偏导，且由方程确定隐函数，则方法:公式: 等式两边求导： +=0, +=0.（2） 由方程组确定的隐函数的导数 由四个变量两个方程所构成的方程组，一般是其中两个变量确定为另两个变量的二元函数. 设由所确定方法:等式两边求导 在条件下，解关于 的线性方程组。例5 设，求,和【解】 将所给方程的两边对求导并移项，得 在的条

13、件下， ， 将所给方程的两边对求导，用同样方法在的条件下可得 二、典型例题例1、 证明在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连续, 而在点 (0,0) 可微 .【证明】（1）因为 所以 故函数在点 (0, 0) 连续 ; （2）同理 （3）当时， 当沿射线趋于（0，0）时， 极限不存在，所以在点（0，0）不连续； 同理，在点（0，0）也不连续。 （4）由于 因此，函数在点可微。例2、设则在点（ ）（A）不连续； （B）连续但不可导； （C）可导但不可微； （D）可微.【解】 由于，则在连续，故（A）不正确.由偏导数定义知，但 不存在，因为与有关，故在点不可微，应选（

14、C）.例3、二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ）（A）. （B），且.（C）.（D），且.【解法1】 排除法 因为连续和可导都不是可微的充分条件，则（A）（B）都不正确；（D）也不正确，例如对 ，且.但在点不可微，因为在点不连续，故应选（C）。【解法2 】 直接法 由知 则 ，同理则在点处可微，故 应选（C）。例4、设,求和.【解】 由于 则 不存在；而例5、已知 【解】 由偏导数定义得例6、设,则 【答案】 .例7、（抽象函数）设【答案】例8、设 具有二阶连续偏导数，且满足 【答案】例 9、设其中f具有二阶连续偏导数，求 【答案】 例10、设方程确定函数，其中可微，求。【解】方

15、法一：方程两边分别对求偏导 ， ， 方法二：令，有 由隐函数求偏导的公式得 方法三：对方程两边求微分，有 于是 ， 所以 ，例11、设【解】所给的方程组中含有五个变量从所求的结果中明显看出是因变量，是自变量，究竟是因变量，还是自变量呢?在这种所求偏导是一阶，而又有一变量的属性不太明确的情况下，用全微分形式不变性来处理比较简便 的两边求全微分，得 习题6-21、函数在点处连续是函数在该点处存在偏导数的（ ） (A)充分但非必要条件 (B)必要但非充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件2、设函数在点处的两个偏导数和都存在，则（ ） (A)存在 (B)及都存在 (C)在点(，)处必连

16、续 (D)在点(，)处必可微3、二元函数在点(0，0)处（ ） (A)连续且偏导数存在 (B)连续但偏导数不存在 (C)不连续但偏导数存在 (D)不连续且偏导数不存在4、若，则（ ） (A) (B) (C) (D)5、下列所给条件中，使复合函数求导的链式法则成立的是（ ） (A)zf(u，v)且u(x，y)，v(x，y)都可偏导 (B)zf(u，v)可偏导，u(x，y)，v(x，y)都可微 (C)zf(u，v)有连续偏导数，u(x，y)，v(x，y)都可偏导 (D)zf(u，v)可偏导，u(x，y)，v(x，y)都连续6、已知函数zf(x，y)在点(1，2)处可微，且f(1，2)1，设函数(x

17、)f(x，2f(x，2x)，则'(1)等于（ ） (A)25 (B)50 (C)75 (D)1007、设二元函数U(x，y)具有二阶连续偏导数，且dUP(x，y)dxQ(x，y)dy，则等于（ ） (A)2 (B)1 (C)0 (D)18、已知函数对任何x与y成立，则等于（ ） (A)2x2y (B)2x2y (C)xy (D)xy9、设uf(r)，而，f(r)具有二阶连续导数，则等于 10、设函数F(u，v)具有一阶连续偏导数，且方程确定隐函数zz(x，y)，则等于 11、由方程所确定的函数zz(x，y)在点(0，1，1)处的全微分dz等于 12、设，其中yy(x)是由方程确定的隐函

18、数，且y(1)1，则z"(1)等于 13、设方程F(x，y，z)0确定隐函数zz(x，y)若已知F(x，y，z)可微，且，z(1，1)1和，则14、设函数f(x，y)满足条件，且f(x，0)1，则f(x，y)等于 15、设zz(x，y)由方程确定，f可微，则等于 16、 设zxf(xy)yg(xy)，其中f与g有二阶连续偏导数，则等于 §3多元函数极值一、 基本概念1、 极值定义 设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式（或），则称函数在点有极大值（或极小值）定理1（必要条件） 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

19、定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令，则在处是否取得极值的条件如下：(1) 时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2) 时没有极值；(3) 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：第一步 解方程组，求得一切实数解，即可以得到一切驻点第二步 对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A，B和C第三步 定出的符号，按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值例1 求函数的极值【解】 先解方程组 求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）再求出二阶偏导数在点(1,0) 处

20、，又，所以函数在处有极小值；在点(1,2) 处，所以(1,2)不是极值；在点(-3,0) 处，所以(-3,0)不是极值；在点(-3,2) 处，又所以函数在(-3,2)处有极大值(-3,2)=312、 条件极值 拉格朗日乘数法上面所讨论的极值问题对于函数的自变量除了限制在函数的定义域内以外，并无其它条件，这类极值称为无条件极值但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题称为条件极值拉格朗日乘数法 要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先构造辅助函数 其中为某一常数求其对与的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立由这方程组解出，及，则其中，就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标注

21、意 （1）此方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形（2）如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定例2 求表面积为的长方体的最大体积【解】设长方体的三棱长为，则问题就是在条件下，求函数 的最大值构造辅助函数求其对、z的偏导数，并使之为零，得到再与条件方程联立求解因都不等于零，所以可得，由以上两式解得.将此代入式，便得 这是唯一可能的极值点因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得也就是说，表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积为最大，最大体积二、典型例题例1、求由方程所确定函数的极值.【解法1】由得在上式中令得，将，代入

22、原方程得和.即驻点为和等式两端分别对求导得，.从而可得 .等式 两端对求导得从而可得 .则（1）在点处，且，则函数在该点取极大值，极大值.(2) 在点处，且，则函数在该点取极小值，.【解法2】 将方程配方得.从而有 .由此可见，时取得极大值为，取得极小值例2、求函数在约束条件和下的最大和最小值.【解】令 由 得 故，所求最大值为最小值为例3、设某厂生产甲乙两种产品,产量分别为(千只),其利润函数为,如果现有原料15000公斤(不要求用完),生产两种产品每千只都需要原料2000公斤,求1) 使利润最大的和最大利润. 2) 如果原料降至12000公斤,求这时利润最大的产量和最大利润. 【解】 1）

23、由 得即点为唯一可能取得极值的点，由该问题已知最大值存在，则最大值只能在点取到，（万元）2）如果原料降至12000公斤，问题变为条件极值，令,由 得即点为在条件下唯一可能取得极值的点，由该问题已知该最大值存在，则最大值只能在点取到，习题6-31、和是函数zz(x，y)在点处取得极值的( ) (A)必要条件但非充分条件 (B)充分条件但非必要条件 (C)充要条件 (D)既非必要也非充分条件2、设可微函数f(x，y)在点取得极小值，则下列结论正确的是（ ） (A)在处导数等于零 (B)在处的导数大于零 (C)在处的导数小于零 (D)在处的导数不存在3、设在全平面上有则能保证成立的条件是（ ） (A

24、) (B) (C) (D)4、 设，则下面结论正确的是（ ） (A)点(0，0)是f(x，y)的极大值点 (B)点(2，2)是f(x，y)的极小值点 (C)点(2，2)是f(x，y)的极大值点 (D)点(0，0)是f(x，y)的驻点，但不是极值点5、设函数f(x，y)在点(0，0)某邻域内连续，且，则（ ） (A)点(0，0)是函数f(x，y)的极大值点 (B)点(0，0)是函数f(x，y)的极小值点 (C)点(0，0)不是函数f(x，y)的极值点 (D)题设条件不足以判定点(0，0)是否函数f(x，y)的极值点6、函数在圆域上的最大值与最小值分别是（ ） (A)200，25 (B)180，0

25、 (C)205，15 (D)190，107、曲面到原点(0，0，0)的距离d（ ） (A)1 (B)2 (C) (D)48、某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为x，y单位时，总成本为，若两种产品的销售价格分别为4，8时，产品能全部售出，则该工厂能取得的最大利润为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)69、某产品的产量Q与原材料A，B，C的数量x，y，z(单位均为吨)满足Q0.05xyz，已知A，B，C的价格分别是3，2，4(百元)若用5400元购买A，B，C三种原材料，则使产量最大的A，B，C的采购量分别为：（ ） (A)6，9，4.5(吨) (B)2，4，8(吨) (C)2，3，6(吨

26、) (D)2，2，2(吨)10、已知函数的全微分，并且. 求在椭圆域上的最大值和最小值.§4 多元函数微分的几何应用、方向导数与梯度（数一）一、空间曲线在某点处的切线和法平面方程 （1）设空间曲线的参数方程为 曲线上一点，则曲线在该点的切线与法平面方程分别为 （2）设空间曲线的一般式方程为 则曲线在处切线和法平面方程分别为其中为雅可比行列式.例1 求曲线,在点 (1,-2,1)处的切线及法平面方程【解】 将所给方程的两边对求导并移项，得 由此得 从而 故所求切线方程为 法平面方程为 ,即 二、空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程 （1）设曲面为显式方程 ，则过上一点的切平面与法线方程分别为其中为对应的平面上的一点. （2）设曲面为隐式方程 ，则过上一点的切平面和法 线方程分别为例2 求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程【解】 () =, 所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为 即 法线方程为即 由此可见，法线经过原点(即球心)三、方向导数的概念 设是平面上以为始点的一条射线，是与同方向的单位向量，射线的参数方程为方向导数定义 设二元函数在点的某邻域内有定义，为从点 出发的射线，为上且含于内的任一点，以表示与两点间的距离。若极限存在，则称此极限为函数在点沿方向的