截面的形心静矩

1、 从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩、极惯性矩IP、抗扭截面系数、抗扭截面系数WP等一些几何量密切相关。等一些几何量密切相关。因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。性质的计算方法。另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部机动地为各种

2、构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其物尽其用用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。截面的几何性质重心、形心及静矩重心、形心及静矩1 1、理解重心、形心、静矩的概念、理解重心、形心、静矩的概念2 2、掌握简单组合图形的形心坐标计算、掌握简单组合图形的形心坐标计算3 3、掌握简单组合图形的静矩计算、掌握简单组合图形的静矩计算教学目标：教学目标：一、简单图形的重心和形心一、简单图形的重心和形心 地球上的物体都受到重力（地球引力）的作用，地球上的物体都受

3、到重力（地球引力）的作用，如果把物体看成是由许多微小部分组成的，由于地如果把物体看成是由许多微小部分组成的，由于地球的半径远远大于一般物体的尺寸，可以近似地认球的半径远远大于一般物体的尺寸，可以近似地认为这些微小部分所受重力是一个空间同向的平行力为这些微小部分所受重力是一个空间同向的平行力系。这个平行力系合力就是物体的重力，其大小即系。这个平行力系合力就是物体的重力，其大小即为物体的总重量。实践证明：无论物体在空间怎样为物体的总重量。实践证明：无论物体在空间怎样放置，物体重力的作用线总是通过物体上一个确定放置，物体重力的作用线总是通过物体上一个确定的点，这个点就是物体的的点，这个点就是物体的重

4、心重心。（可以说重力合力的作用点就是物体的重心。）7.17.1重心和形心重心和形心 如图如图7-17-1所示，设组成物体的各微小部分所受的所示，设组成物体的各微小部分所受的重力分别用重力分别用WW1 1、WW2 2、WWn n，则物体的总重力，则物体的总重力为：为： W=WW=W1 1+W+W2 2+W+Wn n 取空间直角坐标系取空间直角坐标系OxyzOxyz，设各微小部分重力作，设各微小部分重力作用点的坐标分别为用点的坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )、(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )、(x(xn n,y,yn n,z,zn n) )，物体重心，物体

5、重心C C点的坐标为（点的坐标为（x xC C,y,yC C,z,zC C) )。对对y y轴应用合力矩定理有轴应用合力矩定理有m my y(W)=m(W)=my y(W)(W)即即W Wx xC C=W=W1 1 x x1 1+W+W2 2 x x2 2+W+Wn n x xn n所以所以 WWxxc同理可得：同理可得： WWyycWWzzc因此，一般物体的重心坐标公式为因此，一般物体的重心坐标公式为WWxxcWWyycWWzzc（7-1） 若物体是匀质的，即物体的单位体积重量若物体是匀质的，即物体的单位体积重量是常数。设是常数。设物体的体积为物体的体积为V V，各微小部分的体积分别为，各微

6、小部分的体积分别为VV1 1、VV2 2、VVn n，则物体的重量，则物体的重量W W = =VV，每一微小体积的重量每一微小体积的重量W Wi i = =V Vi i，把此关系带入式（，把此关系带入式（7-17-1），并消去），并消去，则得匀质，则得匀质物体的重心坐标公式为物体的重心坐标公式为VVxxcVVyycVVzzc （7-2） 由此可见，匀质物体的重心位置与物体的重力无关，取由此可见，匀质物体的重心位置与物体的重力无关，取决于物体的几何形状，与物体的形心重合。决于物体的几何形状，与物体的形心重合。 物体的的形心就是它的几何中心。故式（物体的的形心就是它的几何中心。故式（7-27-2）

7、也是体积）也是体积形心的坐标公式。形心的坐标公式。 对于厚度远比其它两个尺寸小得多的匀质薄平板，其对于厚度远比其它两个尺寸小得多的匀质薄平板，其厚度可以略去不计。薄平板的重心就在其所在的平面上，厚度可以略去不计。薄平板的重心就在其所在的平面上，在薄平板平面内取直角坐标系在薄平板平面内取直角坐标系xoyxoy，故式，故式(7.2)(7.2)中的体积中的体积可用面积代换。所以薄平板重心的坐标公式为可用面积代换。所以薄平板重心的坐标公式为AAxxcAAyyc上式又可称为面积形心的坐标公式。上式又可称为面积形心的坐标公式。（7-3） 二、组合图形的形心二、组合图形的形心 若平面图形有对称面、对称轴或对

8、称中心，则它的形心若平面图形有对称面、对称轴或对称中心，则它的形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。若平面图形是一个组必在此对称面、对称轴或对称中心上。若平面图形是一个组合图形，而且各简单图形（如图合图形，而且各简单图形（如图7-3a7-3a、b b）的形心容易确定，）的形心容易确定，则组合形体的形心可按式（则组合形体的形心可按式（7-37-3）求得，这种求形心的方法为）求得，这种求形心的方法为分割法。另外有些组合图形（如图分割法。另外有些组合图形（如图7-3c7-3c、d d），可看作为是从），可看作为是从某个简单图形中挖去另一个简单图形而成。则求这类图形的某个简单图形中挖去另一个简单图形而

9、成。则求这类图形的形心，仍可用分割法，只是切去部分的面积（体积）应取负形心，仍可用分割法，只是切去部分的面积（体积）应取负值，这种求形心的方法称为负面积法。值，这种求形心的方法称为负面积法。图7-3【例【例7-17-1】试求如图】试求如图7-47-4所示工字形截面的形心坐标。所示工字形截面的形心坐标。解：将平面图形分割为三个矩形，每个图形的面积解：将平面图形分割为三个矩形，每个图形的面积和形心坐标分别为：和形心坐标分别为： A1=80A1=8040=320040=3200，z1=0 y1=40+120+40/2=180z1=0 y1=40+120+40/2=180 A2=120 A2=1204

10、0=480040=4800， z2=0z2=0， y2=40+120/2=100y2=40+120/2=100 A3=40 A3=40120=4800120=4800， z3=0z3=0， y3=40/2=20y3=40/2=20图7-4工字形截面的形心坐标为：工字形截面的形心坐标为：5 .15748004800320020480010048001803200321332211AAAyAyAyAAAyyczc=0解解：将平面图形看成是从一个大矩形中挖去一个小矩形组合而成，每个矩形的面积和形心坐标分别为： A1=280240=67200， z1=0， 1202402001y A2=200（280

11、-240）=40000 z2=0， 10022002y门字形平面图形的形心坐标为：门字形平面图形的形心坐标为：14940000672001004000012067200212211AAyAyAAAyycZc=0图7-5【例【例7-27-2】试求如图】试求如图7-57-5所示门字形平面图形的形心坐标。所示门字形平面图形的形心坐标。解：将平面图形看成是从一个大矩形解：将平面图形看成是从一个大矩形中挖去一个小矩形组合而成，每个矩中挖去一个小矩形组合而成，每个矩形的面积和形心坐标分别为：形的面积和形心坐标分别为： A1=280A1=280240=67200240=67200， z1=0z1=0， 12

12、02402001y第二节第二节 静矩静矩 AySzddAzSyddAAyyAAzzAzSSAySSddddzydAyz静距静距是面积与它到轴的距离之积。是面积与它到轴的距离之积。 平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是可能为负，也可能等于零。它常用单位是mm3 3或或mmmm3 3。 截面的几何性质形心形心dAzyyzCxCyAyAyAzAzCCAydAyAzdAzACACASyASzzCyCCyC

13、zzASyAS 平面图形对平面图形对z轴（或轴（或y轴）的轴）的静矩，等于该图形面积静矩，等于该图形面积A与与其形心坐标其形心坐标yC（或（或zC）的乘）的乘积。积。 截面的几何性质 当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。图形的形心。 如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。平面图形对其对称轴的静矩必等于零。 CyCzzASyAS截面

14、的几何性质根据平面图形静矩的定义，组合图形对根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或轴（或y轴）的静轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即 niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS1221112211式中式中 yCi、zCi及及Ai分别为各简单图形的形心分别为各简单图形的形心坐标和面积坐标和面积;n为组成组合图形的简单图形的个数。为组成组合图形的简单图形的个数。niiniCiiCniiniCiiCAyAyAzAz1111 组合图形组合图形形心的坐标形心的坐标计算公式计算公式截面的几何性质例例7-3 矩形

15、截面尺寸如图所示。试求该矩形对矩形截面尺寸如图所示。试求该矩形对z1轴的静矩轴的静矩Sz1和和对形心轴对形心轴z的静矩的静矩Sz。z1b/2b/2h/2h/2zCy2221bhhbhyASCz解解 (1) 计算矩形截面对计算矩形截面对z1轴的静矩轴的静矩 (2) 计算矩形截面对形心轴的静矩计算矩形截面对形心轴的静矩 由于由于z轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形截面对截面对z轴的静矩为轴的静矩为 Sz=0截面的几何性质 例例7-4 试计算如图所示的平面图形对试计算如图所示的平面图形对z1和和y1的静矩，并求的静矩，并求该图形的形心位置。该图形的形心位置。801201010z1y1C1C2 解解 将平面图形看作由矩形将平面图形看作由矩形和和组成组成矩形矩形 5mmmm2101Cz60mmmm21201Cy矩形矩形 45mmmm270012Cz5mmmm2102CyA1=10120mm2=1200mm2 A2=7010mm2=700mm2截面的几何性质801201010z1y1C1C2C