第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答

1、第六章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法： 位移法和应力法， 并结合简单的三维问题，根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移解，并验证猜 想的解是否满足应力法或位移法的基本方程和边界条件，满足则为问题真 解。弹性体都是三维的，而受力（外力）一般也是空间力系，但如果所研 究弹性体具有某种特殊形状。例如：一个方向的尺寸远比其他两个方向的 尺寸大的多或小的多，并且承受某种特殊规定的外力和约束，则可以把空 间问题（三维）作为近似的平面问题（二维）处理，这将使分析和计算大 大简化，而所得结果也能满足工程上对精度的要求。第 1 节 平面问题的分类平面问题在工程中极为常见，

2、而且平面问题的解析解在整个弹性力学解析解中占有较大比重。因此必须给予足够的重视。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两类。面将它们分类简要说明一下。1.1 平面应力问题固体的形状特点：物体一个方向尺寸比其它两个方向尺寸小的多（等厚度薄板） 。 x2受力和约束特点：沿厚度（ x3 方向）均匀分布，体力 f3 = fz = 0, 面力 X3 Z 0，在薄板表面无面力，坐标系（ x1 , x2 , x3）放在板厚中间平面 中平面，以 z（或 x3）轴垂直板面。满足上述条件的问题称为平面应力问题。由物体几何特点和受力特点知：t在 z 2 处， X Y Z 0z=zx= zy=0 。由于薄板很薄，表面

3、三个应力分量为零，则近似认为 在 V 内认为z=zx=zy=0 。平面应力问题：应力分量仅存三个x=x（x,y）,y=y（x,y）,xy=xy（x,y）,均为 x,y 的函数，待求。将应力分量代入各向同性材料的本构关系存在四个应变分量 （待求量）： x , y , xy , z（其中z 不独立）位移分量待求量： u（x,y） , v（x,y）（考虑平面内位移） . 平面应力问题待求未知函数一共八个： 3个应力 3个应变 2个位移 1.2平面应变问题形状特点：物体一个方向尺寸（z 或 x3）比其它两个方向（x,y或 x1 ,x2） 大的多，如水坝、涵洞。受力和约束情况：沿 z （或x3）轴方向无

4、变化，体力 f3 = fz = 0， 面力 X3 Z 0，这样 x3 = z = const面均可看成对称面，对称结构受 对称荷载和约束，则此对称面处的位移和变形为零，即 w=0（z=0）,zx=yx所以平面应变问题：应变分量仅有三个位移分量两个： u（x,y） , v（x,y），应力分量： x, y, xy, z（其中 z 不独立）。平面应变问题待求未知函数仍然八个： 3应力 3应变 2 位移第 2 节 平面问题的基本方程和边界条件2.1平衡微分方程（ 2 个）两个平面问题一致：, +f =0, =1,22.22.3x yx X xy几何方程（ 3 个）两平面问题一致：相容方程（ 1 个）0

5、，xyxyY0 y1(u ,2,u,)y，xyuvyxxy两平面问题一致：x2xy对于平面应力问题还应有0，y2xy0，但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。2.4 本构方程（ 3 个）平面应力问题），E1(），xy2(1 )xy平面应变问题(12)），(12)），2(1 )xyxy两个平面问题的基本方程仅物理方程有所不同， 将平面应力物理方程 E中弹性系数 E E 2 ，则平面应力问题的物理方程变为平面1 2 1应变问题的物理方程。所以按平面应力问题求解的结果中弹性系数也如此 替换，则可得到平面应变问题解。2.5 边界条件位移边界条件： u u （ =1,2 ） u u ， v v在 S

6、u 上力的 边界条件： X nX l x m yx，Y l xy m y 在S 上第 3节 平面问题的基本解法3.1 位移法基本未知函数： u(x,y) , v(x,y)基本方程两个：用 u , v 表示的平衡微分方程。平面应力问题：G 2uG1 u , f 0其中2222 xy平面应变问题：2G 2u1G u , f 012边界条件：位移边界 uu ， v v 在 Su 上力的边界X l x m yx ， Y l xy m y 在 S 上应力需要用位移微分表示)3.2 应力法基本未知函数( 3 个)：x,y,xy=yx,基本方程( 3 个)：2 个平衡微分方程, +f =01 个相容方程：平

7、面应力问题时fxf y(1 )( x y ) xy2平面应变问题时 ( x1fxf y(xy )1xy力边界条件：X n X l x m yx ， Y l xy m y 在 S =S 上当体力为常数或体力为零时，两个平面问题的相容方程一致2( x+ y )=0( x+ y ) 为调合函数，与弹性系数无关，不管是平面应力(应 变)问题，也不管材料如何，只要方程一致，应力解一致，有利实验。3.3 应力函数解法当体力为常量或为零时，按应力法解的基本方程(共三个)为, +f =022 =0应力法基本方程的前两个为非齐次方程， 所以根据微分方程理论， 非齐次微分方程的通解等于其特解加上齐次微分方程的通解

8、。所以,非齐次方程特解可以选-fx x,y= -fyy ,xy= 0;(特解还可以选其它形式)下面工作求齐次微分方程 , =0 的通解，yx或者xxyyx 0 ，xxyyy 0 的通解同时通解还需要满足相容方程：2( x+ y )=0对于上面三个齐次微分方程要求出其通解，仍是一个较复杂、困难的问题。1862年 Airy 提出将满足三个齐次微分方程的 3个应力分量的齐次解由一个函数 (应力函数)的二阶微分来表示，使之自然满足齐次平衡微 分方程, =0这样应力法的齐次基本方程仅为用应力函数 表示的相 容方程，使未知函数和基本方程数均减为一个。Airy 提出应力函数 (x,y) 与齐次微分方程中待求

9、应力分量之间满 足如下微分关系：2xya)应力函数 (x,y) 与待求应力分量齐次解之间的微分关系是由两个 齐次平衡微分方程导出的：xxxy yA yx，A xxyyxyBBxyyxxy，yAB得xyAy，Bx从而导出 (a)式。则 (a) 式使得齐次的平衡微分方程自然满足，将 (a) 式代入相容方程，得2222) 2 2 420y2x应力函数解法的基本方程(一个)基本方程为由应力函数 满足的双调合方程。最后应力分量解为其特解加通解：2 fx x， yx2 f yy， xyxxy在边界上应力分量满足力的边界条件(在 S 上)，用应力函数表示：22222X l(y2fxx) m(xy)， Y l

10、(xyyxyxy) m(x2fy y)对于单连域，应力函数 (x,y)满足双调和方程=0，且在 S 上满足用应力函数二阶偏微分表示的边界条件，则由(x,y)导出应力分量为真解，对于复连域，还要考虑位移的单值条件。3.4 应力函数的特性1. 应力函数加上一个线性函数 a+bx+cy ，并不影响应力，换句话说， 某问题的应力函数为 ，则1= +a+bx+cy 也是问题的应力函数。应力函数可确定到只差一个线性函数。2. 无体力作用时， 应力函数及其一阶偏导数的边界值可分别由边界的面 力的主矩和主矢量来确定BB()B( )AAYdSRy, ()B()AA XdSRxx x A y y ABBB A A

11、(x xB)YdS A(y yB)XdS M B (对 B 点取AoxFy面推导一下 .对于无体力时 fx=f y=22l 2 m X ,y2x y0；力的边界条件为22l m 2 Yx yx2dy而 l cos(n,e1),dS2 dy 2 dx 2X y2 dSx y dS2 2 dx2 ) Y x2 dSm cos(n,e2) ddSx 代入上式得dddS( y) Xdy(x y dSdddS( x ) Y 积分得( )BydA ddS( y)BA Xds Rx( x )Bx( x )ABYdsARy根据函数的求导公式d dSdx C dS AdxdydS x dS y dS( Y)dS

12、dydSCA (X)dS而 C 为边界上动点上式对 s 积分得xCBAB( Y)dSA dS A采用分部积分dy CddSy AC XdS dS1 取 为二次项：(x,y)c1x22c2xyc3 y2代入=0，满足。C C B Bx ( Y)dS y XdS xYdS yXdSBBBBxB ( Y)dS yB XdS xYdS yXdSAAAABB(x xB )YdS(y yB)XdSAA边界力对 B 点之矩第4节 多项式应力函数运用举例例题 1矩形域无体力作用时应力函数分别为二次项和三次项的结果 而一次项无须考虑） ，采用逆解法。将 代入应力分量与应力函数的关系式，得x y2 c3 ， yx

13、2 c1， xyc2xy可见，矩形域各点应力状态一样，为常量。 设 c1 ,c2 ,c3 均为正值。矩形域边界面力如图所示。c1c31d1 3d22d3 2d433. 取 为三次项： (x,y) 61x322x2y23xy264y3，代入=0 ， 满足。代入应力分量与应力函数的关系式，得y2 d3x d4 yxy2 d1x d2 yx应力为 x、y 的线性式。2x y d2 x d3yd4 3仅取一项64 y3x= d4y,y=xy= 0在边界上面力分布与坐标系位置有关。坐标系如下图所示面力分布为纯弯问题，在两端面的面力将产生一个 M 。h/2Mh/d4 h/2xh2h2x ydxd4 y3h

14、2h2d4h312d4h3IzMMIzy材料力学解）12由应力分量求应变分量：xxx E xMEMI y， yEIxy0；通过几何方程积分及约束条件可以求出位移本题讨论坐标位置选取不同将导致边界上面力分布不同，从而对应不同的问题。因此，本题在 边界上面力分布与坐标系位置有关 。d4 3如果 仍取一项64 yx= d4y,y0；但坐标位置变了 , 边界上面力分布如下图。yd4hd4h/2 d4h/2hx例题 2 无体力作用的悬臂梁，在端部受集中力 P 作用。P本题采用应力函数的半逆解法。半逆解法思路：1. 根据受力情况和求解经验， 包括材料力学的解，2h定性估计应力分量的变化， 并根2. 将所设

15、代入=0 和力的边界条件进行检验，如果不满足则进行修据应力分量与应力函数关系，反推出 函数的主要项。正（适 当增加项），再代入 4 =0 和力的边界条件进行检验，直 至满足所有方程为止。本题求解的基本情况： 基本方程 4 =0 ， 边界条件为混合边界条件：主要边界上， 在 y= h ： X 0， Y 0 （无面力） 次要边界上，h在 x=l ： X 0 ， hYdy P在 x=0 ： 严格要求 u=0 ， v=0hhXdy 0Xdy M PlYdy P解题：1根据受力特点知在 x 处弯矩： M=P(l-x)，材料力学应力解：所以MIyP(l x)yx 包含 y 和 xy 项，又因为y2 ，a1

16、 xy3 c1 y3 可设 6 xy 6 y，代入 4 =0 ， 满足。将 代入应力分量与应力函数的关系式，得在 y=xa1xyc1 yy02xya1 221y2h 时，xya21 h2 为均匀剪力。将应力分量代入边界条件：代入 主要边 界 ： y=l=0, m=X0xy 0Y0如果满足，则 a1=0 。代回应力分量表达式c1yxy0 本应力解对应纯弯问题，不是所要求的。2 对要进行修正，消去 y=h 面上均匀剪力足。a1 3 c1 3设61 xy3 61 y3 +b1xy， 代入代入应力分量与应力函数的关系式，得a1xy c1 y=0 ， 满代入主要边界： y=ya12y2hxyb1y= 0

17、 满足；a21 h2 b1 0 ， 或a1 2b121h ；代回应力分量表达式xa1xy c1 y y0 a1 2 21 (y h )2将应力分量代入次要边界，代入 x=l 边界： l=1 , m=0,a1ly c1y 0 ， 或 c1a1l而 Ydy Ph 2 22 hh(y2 h2)dy Pa13P a12hc1 3Pl2h2 ，2h3 将惯性矩 I 23h 代入3b1a、a1Pb1x PI (lx)y，3P4hb、c 表达式，则Ph22I ，y0c1Plxy代回应力分量表达式P 2 22PI (h2 y2)与材料力学解相同。注意本题应力解在梁两端不能用。因为用到了圣维南原理。有了应力解后

18、，依次求应变和位移。在位移的确定中，当 x=0 , u=v=0 不能处处满足，而用到dvux 0 vx0y0y 0 dxx0y00， 将刚体位移去掉， 放松了位移边界处理。例题 3 简支梁（不计体力）上面受均载作用，仍采用应力函数解的半逆解法xllqqlyqlhh考虑应力特点： y与x无关， y由 q引起，且在 y h处 y为 常数。2设 y 2 f(y) xf(y) f1(y) xxx22 f (y) xf1(y) f2(y)代入基本方程 4 =01 x2 f (4)2xf1(4) f2(4) 2f''微分方程对全梁满足。因此。要求d4fdx40，dd4xf41 0dxd4 f2 2d2f dx4 2 dx2由