三次函数的性质-的总结练习

1、实用标准文案三次函数的性质三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (aw。在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是 其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己 知彼，百战不殆.性质一 单调性以a>0为例，如图1,记A小2-3ac为三次函数图象的判别式，则图1用判别式判断函数图象当A?0时，f(x)为R上的单调递增函数；当A>0寸,f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值.性质一的证明f(x)的导函数为f(x)=3ax3+2bx+c,其判别式为4(b2-3ac),进而易得结论.例1 设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点 A,B

2、,C,且|AB|=|BC|=5M 求直线l的方程.解由|AB|二|BC|可知B为三次函数的对称中心，由性质一可得 B(0,1),进而不难求得直线l的方程y=2x+1.性质二 对称性如图2, f(x)的图象关于点P(-b3a,f(-b3a)对称(特别地，极值点以及极值点对应 的图象上的点也关于P对称).反之，若三次函数的对称中心为(m,n),则其解析式可以设为 f(x)= o?(x- m)3+ f?(x- m)+n,其中aWO性质二的证明 由于f(x)=a(x+b3a)3+(c- b23a)(x+b3a)- bc3a+2b327a2+d,f(x)=(x+b3a)3+(c- b23a)(x+b3a

3、)+f(- b3a),于是性质二得证.例 2 设函数 f(x)=x(x- 1)(x- a), a>1.(1)求导数f'(x),并证明f(x)有两个不同的极值点xi, x2;(2)若不等式f(xi)+f(x2)? 0成立，求a的取值范围.(1)解 f(x)的导函数f'(x)=(x- 1)(x- a)+x(x- a)+x(x- 1)=3x2- 2(a+2)x+a,f'(0)f'(1)f '(a)=a>0,=1- a<0,=a(a-1)>0,于是f (x)有两个变号零点，从而f(x)有两个不同的极值点.(2)解 根据性质二，三次函数的对

4、称中心(a+13,f(a+13)是两个极值点对应的 函数图象上的点的中点.于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)? 0, 2?a+13?a-23?- 2a+13? 0,结合a>1,可得a的取值范围是2,+ °°.)性质三切割线性质注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第 20题.如图3,设P是f(x)上任意一点(非对称中心)，过 P作函数f(x)图象的一条割 线AB与一条切线PT (P点不为切点)，A、B、T均在f(x)的图象上，则T点的 横坐标平分A、B点的横坐标.图3 切割线性质精彩文档实用标准文案推论1 设P是f(x)上任意一点(非对称中心)，过 P作函数

5、f(x)图象的两条切 线PM、PN,切点分别为M、P,如图.则M点的横坐标平分P、N点的横坐标, 如图4.图4切割线性质推论一推论2设f(x)的极大值为M,方程f(x)=M的两根为XI、x2 (xi<x2),则区间xi ,x2被-b3a和极小值点三等分.性质三的证明设 f(x)=ax3+bx2+cx+d (aw。,直线 PT:y=k0x+m。，直线PAB:y=kx+m,则分别将直线PT与直线PAB的方程与三次函数的解析式联立，ax3+bx2+(c- ko)x+d- mo=0,ax3+bx2+(c- k)x+d- m=0,于是根据三次方程的韦达定理可得2xt+xp=xa+xb+xp, 即x

6、t=xa+xb2,于是命题得证.推论1和推论2的证明留给读者.例3 如图6,记三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (aO的图象为C,若对于 任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1)处的切线交于另一点P2(x2,f(x2), 曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3),线段P1P2、P2P3与曲线C所围成的封闭图形的面积分别记为Si、S2,求证：S1S2是定值.图6解由性质二，任意三次函数f(x)都可以通过平移变化变成g(x)=px3+qx,然后可以作伸缩变换变成h(x)=x3+rx,而无论平移还是伸缩，题中的 SSB匀保持不变，因此只需要证明命题对三次函数

7、h(x)=x3+rx成立即可.根据题意，联立函数h(x)=x3+rx与函数h(x)在Pi处的切线方程得(x- xl)2?(x- x2)=0,于是2xi+x2=0,即x2=-2 xi.又由性质三的推论1,可得2xl=x2+x3, 即x3=4xi.于是，线段P1P2与曲线C所围成的封闭图形的面积Sl= I I I x2x1(x-xi)2?(x-x2)dx 111=111 /2x1x1(x3-3x2ix+2x3l)dx I I I = II I (14x4-32x21x2+2x31x) I I I -2x1x1 | | | =274x41,类似的，线段P2P3与曲线C所围成图形的面积S2=274x4

8、2,于是所求的面积之比为S1S2=(x1x2)4=116.注 此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第(2)小问(第(1)小问要 求证明该结论对f(x)=x3- x成立).性质四切线条数如图7,过f(x)的对称中心作切线I,则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割 为四个区域，有以下结论：抑IV图7切线条数 过区域I、III内的点作y=f(x)的切线，有且仅有三条； 过区域II、IV内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有一条； 过切线l或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作 y=f(x)的切线，有且仅有 两条.性质四的证明由性质二，不妨设f(x)=x3+mx,坐标平面内一点

9、P(a,b).三次函数图象上x工处的切线方程为y=(3t2+m)(x- t)+t3+mt,即y=(3t2+m)x- 3t3,切线过点P(a,b),即b=-3 t3+3at2+ma.而三次函数对称中心处的切线方程为y=mx,于是考虑直线y=b-ma与函数y=-3 t3+3at2的图象公共点个数.当a=0时，无论b取何值，均为1个公共点；当a>0时，b- ma>0时为1个公共点，b- ma=0时为2个公共点，b- ma<0时为3 个公共点；当a<0时，b- ma>0时为3个公共点，b- ma=0时为2个公共点，b- ma<0时为1 个公共点.综上，性质四得证.在

10、高考中，对结论的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题(压轴题)就是证明性质四的结论：已知函数f(x)=x3-x.(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t)处的切线方程；(2)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：-a<b<f(a).例 4 设函数 f(x)=13x3-a2x2+bx+c,其中 a>0.曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0)处的切线方程为y=1 .(1)确定b,c的值；(2)设曲线y=f(x)在点(xi,f(xi)及(X2,f(x2)处的切线都过点(0,2).证明：当X1 方2 时,fxi)#(X2);

11、(3)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线，求a的取值范围.解 (1) f(x)的导函数为f (x)=x2- ax+b,于是该函数在x=0处的切线方程为y=bx+c,因此b=0,c=1.(2)函数f(x)在x=t处的切线方程为y=(t2- at)(x-t)+13t3-a2t2+1,当切线过点(0,2)时可得23t3- a2t2+1=0,于是x1,x2是该方程的两个不等实根.考虑f(x1)- f (x2)=(x21- ax1)- (x22- ax2)=(x1- x2)?(x1+x2- a),而?23x31- a2x21+1=0,23x32- a2x22+1=0,两式相减并约去x1-

12、 x2,得x21 +x1x2+x22=34a2,而x21 +x1x2+x22=(x1 +x2)2- x1x2>(x1 +x2)2- 14(x1 +x2)2=34(x1 +x2)2, 于是x1 +x2 汨，进而可得f'(x1) #(x2).(3)函数f(x)的对称中心为(a2,-a312+1),于是在对称中心处的切线方程为y=- a24(x- a2)- a312+1,根据性质四的结论 ，可得1<2<-a324+1,解得a>23 也即a的取值范围是(23”,+ 3.注 此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题(压轴题)练习 1、已知函数 f(x)=13x3+ax2

13、+bx,且 f(-1)=0 .(1)试用含a的代数式表示b;(2)求f(x)的单调区间；(3)令 a=-1，设函数 f(x)在 X1,x2(X1<X2)处取得极值，记点 M(x1,f(x1) , N(x2,f(x2), 证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点.练习2、已知f(x)=x3+bx2+cx+d在(-°0,0比是增函数，在(0,2)上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为从小到大依次为a、2、0.求|华即I勺取值范围.练习3、如图8,记原点为点P1(x1,y1),由点P1向三次函数y=x3-3ax2+bx (aO的图象(记为曲线C)引切线，切于不同

14、于点P1的点P2(x2,y2),再由点P2引此 曲线C的切线，切于不同于点P2的点P3(x3,y3).如此继续作下去，得到点列 Pn(xn,yn) 试回答下列问题：(1)求数列xn的递推公式与初始值；(2)求limn-” xn,并指出点列Pn的极限位置在何处？练习4、已知f(x)=x3-x,过点(x0,y0)作f(x)图象的切线，如果可以作出三条切线, 当xoC(0,1)时，求点(x0,y0)所在的区域面积.练习5、已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间-2,1上的最大值；(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(-1,2),

15、B(2,10), C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切？(只 需写出结论)练习 6、已知函数 f(x)=13x3+ax2+bx,且 f(-1)=0 .(1)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区问；(2)令 a=-1 .设函数 f(x)在 x1,x2(x1<x2)处取值极值，记点 M(x1,f(xl) , N(x2,f(x2), P(m,f(m), x1<m?x2.请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段 MP的位置变 化趋势，并解答以下问题： 若对任意的mC(t,x2,线段MP与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，试确定t 的最小值；若存在点Q(n,f(n)

16、, x1?n<m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点， 请直接写出m的取值范围(不必写出求解过程).练习题的参考答案练习1、 (1) f(x)的导函数为f'(x)=x2+2ax+b,于是所求的代数表达式为b=2a-1.(2)在(1)的基础上，有f(x)=(x+1)?(x+2a-1),于是当a<1时，函数f(x)的单调递增区间是(-8,-1河口(1-2a,+ oo)单调递减区间为 (-1,1-2 a);当a=1时，函数f(x)的单调递增区间是R；当a>1时，函数f(x)的单调递增区间是(-OO1-&)和(-1,+ oo)单调递减区间是 (1-2 a,

17、-1).(3)此时f(x)=13x3- x2- 3x,f (x)=x2- 2x- 3,于是M(-1,53), N(3,-9).根据性质二，该公共点为三次函数f(x)图象的对称中心 (1,-113).注本题为2009年高考福建卷文科数学第21题(压轴题).练习2、根据题意，x=0为f(x)的导函数f'(x)=3x2+2bx+c的零点，于是c=0.又f(2)=0,于是8+4b+d=0,即d=-4 b- 8,从而f(x)=x3+bx2- (8+4b)=(x- 2)?x2+(b+2)x+2b+4,因此(o-份2=(廿 6)2-4 a?炉(2-b)2-16.另一方面，由f(x)在(0,2)上是减

18、函数得f(2)?0,即12+4b?0,于是可得b的取值范围是b<-3.从而10-。的取值范围是3,+ 00.)练习3、(1)根据已知，联立P1出发的切线方程与曲线C的方程，得(x- xl)(x- x2)2=0,又x1=0,切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得x2=32a.进而由性质三的推论1可得? n? 3A nC N?,2xn=xn-1+xn-2.于是数列xn的递推公式与初始值为xn=xn-1+xn-22,n? 3 A n N?,x1=0,x2=32a.(2)由数列的递推公式不难得到通项? n N?,xn=a?1-(- 12)n-1,于是lim n+ocxn=a.因此点列Pn的极限位置为(a,-2a3+ab)