排列与组合教学设计[备课教学]

1、【课题】 31排列与组合（一）【教学目标】知识目标：理解排列的定义，掌握排列数的计算公式能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高【教学重点】排列数计算公式 【教学难点】排列数计算公式【教学设计】复习两个计数原理，一方面它是复习回顾，另一方面是做好衔接，为下面的问题及排列数的计算奠定基础一个排列元素是不可重复的也就是说，利用排列研究问题时，元素是不可以重复选取对于元素可以重复选取的问题是直接应用两个计数原理计算的问题排列的概念中有两个要素一个是不同的元素，另一个是一定的顺序从n个不同元素中，取出m(mn)个不同元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素

2、的排列数，用符号表示.采用这个符号是执行国家的新规定有些教材中使用符合表示例2是巩固排列数公式的题目例3与例4是排列的实际应用题其中例3是基础题，解题关键是搞清原来不同元素的个数、取出不同元素的个数、是否有序例4是综合利用计数原理与排列知识的题目讲解时要注意进行数学方法的渗透首先考虑特殊元素或特殊位置，然后再考虑一般元素或位置，分步骤来研究问题，这种研究方法是本章中经常使用的方法排列数的计算一般的数字都是比较大，比较麻烦，采用计算器来完成计算非常便捷教材介绍了利用计算器计算排列数的方法【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间*揭示

3、课题31排列与组合*创设情境 兴趣导入基础模块中，曾经学习了两个计数原理大家知道：（1）如果完成一件事，有N类方式.第一类方式有k1种方法，第二类方式有k2种方法，第n类方式有kn种方法，那么完成这件事的方法共有= + +（种） （3.1）（2）如果完成一件事，需要分成N个步骤完成第1个步骤有k1种方法，完成第2个步骤有k2种方法，完成第n个步骤有kn种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有 = · ··（种） （3.2）下面看一个问题：在北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？这个问题就是从北京、重

4、庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数.首先确定机票的起点，从3个民航站中任意选取1个，有3种不同的方法；然后确定机票的终点，从剩余的2个民航站中任意选取1个，有2种不同的方法根据分步计数原理，共有3×2=6种不同的方法，即需要准备6种不同的飞机票：北京重庆，北京上海，重庆北京，重庆上海，上海北京，上海重庆.介绍播放课件质疑了解观看课件思考引导启发学生得出结果015*动脑思考 探索新知我们将被取的对象（如上面问题中的民航站）叫做元素，上面的问题就是：从3个不同元素中，任取2个，按照一定的顺序排成一列，可以得到多少种不同的排列.一

5、般地，从n个不同元素中，任取m (mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，时叫做选排列，时叫做全排列.总结归纳分析关键词语思考理解记忆引导学生发现解决问题方法20*巩固知识 典型例题例1写出从4个元素a, b, c, d中任取2个元素的所有排列分析首先任取1个元素放在左边，然后在剩余的元素中任取1个元素放在右边解 所有排列为【说明】如果两个排列相同，那么不仅要求这两个排列的元素完全相同，而且排列的顺序也要完全相同引领讲解说明观察思考主动求解注意观察学生是否理解知识点25*动脑思考 探索新知从n个不同元素中，取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n

6、个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 例1中，从4个元素a, b, c, d中任取2个元素的的排列数为可以看到 下面研究计算排列数的公式计算可以这样考虑：假定有排列顺序的m个空位（如图31） 第1位 第2位 第3位 第m位 图31第一步，从n个元素中任选1个元素，填到第1个位置，有n中方法；第二步，从剩余的n1个元素中任选1个元素，填到第2个位置，有n1种方法；第三步，从剩余的n2个元素中任选1个元素，填到第3个位置，有n3种方法； 第m步，从剩余的n（m1）个元素中任选1个元素，填到第m个位置，有nm+1种方法；根据分步计数原理，全部填满空位的方法总数为n(n1)(n2)(nm+1

7、) 由此得到，从n个不同元素中任取m(mn)个元素的排列数为 =n(n1)(n2)(nm+1) （3.） 其中，且mn公式（3.3）叫做排列数公式当m=n时，由公式（3.3）得=n(n1)(n2)3×2×1. （3.4）正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作n!.【说明】规定即 n! = n(n1)(n2)3×2×1.因此公式（3.4）还可以写成 =n! （3.5）一般地， 因此，当mn时，公式（3.3）还可以写成 （3.6）总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆启发引导学生发现解决问题的方法40*巩固知识 典型例题【例题】例2 计算和解 =5&#

8、215;4=20， 例3 小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙3位同学，每人1本，共有多少种选法？分析选出3本不同的书，分别送给甲、乙、丙3位同学，书的不同排序，结果是不同的.因此选法的种数是从5个不同元素中取3个元素的排列数解 不同的送法的种数是 即共有210种不同送法说明 公式（3.3）与公式（3.6）都是计算排列数的公式.计算排列数，通常使用公式（3.3）；进行有关排列数的证明与研究通常使用公式（3.6）.例4用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的3位数？分析 因为百位上的数字不能为0，所以分成两步考虑问题第一步先排百位上的数字；第二步从剩余的数字中任取2个

9、数排列解 所求三位数的个数为【说明】象例4这样，“首先考虑特殊元素或特殊位置，然后再考虑一般元素或位置，分步骤来研究问题”是本章中经常使用的方法引领讲解说明引领分析说明引领讲解说明观察思考主动求解观察思考理解思考主动求解注意观察学生是否理解知识点学生自我发现归纳55*动脑思考 探索新知【计算器使用】利用计算器，可以方便地求出任意一个正整数的阶乘.以计算为例，计算方法是：输入数字4，然后依次按键SHIFT 、 、 = ， 显示24.即=24.利用计算器，可以方便地计算排列数.以计算为例，计算方法是：输入数字6，然后依次按键SHIFT 、 ，然后输入数字3，按键 = ，显示120.即=120.仔细

10、分析讲解关键词语思考记忆启发引导学生发现解决问题的方法60*运用知识 强化练习 1.填空 （1）已知=56，那么n= . （2）用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，共有 个.2.在A，B，C，D四个候选人中，选出正副班长各一个，选法的种数是多少？提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况65*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：排列数计算公式的内容是什么？结论：从n个不同元素中任取m(mn)个元素的排列数为=n(n1)(n2)(nm+1)质疑归纳强调回答理解强化师生共同归纳强调重点70*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75*自我反思

11、目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有多少个？提问巡视指导反思动手求解培养反思学习过程的能力85*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题31（必做）；学习指导31（选做）(3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意

12、通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】 31排列与组合（二）【教学目标】知识目标：理解组合的定义，掌握组合数的计算公式能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高【教学重点】组合数计算公式 【教学难点】组合数计算公式【教学设计】组合与排列的区别是，组合与顺序无关因此判断是排列问题还是

13、组合问题的关键是看元素是否有序从n个不同元素中取m（mn）个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号表示组合数的计算公式及组合数的性质中，教学重点是组合数计算公式和性质1利用它们可以方便地计算组合数例5是组合数计算问题例6 是组合的实际应用与排列数的计算一样，教材介绍了利用计算器计算组合数【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题31排列与组合*创设情境 兴趣导入在北京、重庆、上海3个民航站的直达航线之间，有多少种不同的飞机票价（假设两地之间的往返票价和舱位票价是相同的）：飞机票的价格

14、有如下三种： 北京重庆（重庆北京） 北京上海（上海北京） 重庆上海（上海重庆）这个问题，是从3个不同的元素中任取2个，不管是怎样的顺序总认为是一组，求一共有多少个不同的组一般地，从n个不同的元素中，任取m（mn）个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合三地之间不同的飞机票价种数，就是从3个不同元素中，取出2个不同元素的所有组合的个数【注意】：组合问题与排列问题的区别是：从n个不同元素取m（mn）个元素的一个组合，与m个元素排列的顺序无关，而从n个不同元素中取m（mn）个元素的一个排列，与m个元素的排列顺序有关介绍播放课件质疑了解观看课件思考引导启发学生得出结果015*

15、动脑思考 探索新知一般地，从n个不同元素中取m（mn）个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号表示下面我们通过研究计算的方法来研究组合数的计算公式我们用两种不同的方法来计算方法1： =4×3×2方法2：从4个不同元素中取3个不同元素的一个排列，可以分两步完成第一步，从4个不同元素中取3个元素组成一组，有种取法；第二步，对每一组中的3个不同元素进行全排列根据分步计数原理，得 所以 类似地，可以得到组合数的计算公式一般地，求从n个不同元素中取m（mn）个不同元素的组合数为 由于 故组合数公式还可以写作其中，并且mn可以证明，组合数具有如下

16、性质（证明略）：性质1 （mn）利用这个性质，当m时，通过计算可以简单得到的值，如 性质2 （mn）性质2反映出组合数公式中的m与n之间存在的联系总结归纳分析关键词语思考理解记忆引导学生发现解决问题方法35*巩固知识 典型例题例5 计算和解 说明 一般地，可以得到例6 圆周上有10个点，以任意三点为顶点画圆内接三角形，一共可以画多少个？分析只要选出三个点三角形就唯一确定，与三个点的排列顺序无关，所以是计算从10个不同元素中取3个元素的组合数问题解可以画出的圆内接三角形的个数为 即可以画出120个圆内接三角形说明 公式（37）与公式（38）都是计算组合数的公式计算组合数，通常使用公式（33）；进

17、行有关组合数的证明与研究通常使用公式（36）引领讲解说明观察思考主动求解注意观察学生是否理解知识点50*动脑思考 探索新知【计算器使用】利用计算器可以方便地计算组合数以计算为例，计算方法为：输入数字6，依次按键 SHIFT 、nCr ,然后输入数字2，按键 = ，显示15即 =15仔细分析讲解关键词语思考记忆引导学生发现解决问题方法60*运用知识 强化练习 1 计算下列各数： （1）；（2）；（3） ；（4） 2 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？3 从3，5，7，11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不相等的积？提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况65*理论升华 整

18、体建构思考并回答下面的问题：组合数计算公式的内容是什么？结论：从n个不同元素中任取m(mn)个元素的组合数为质疑归纳强调回答理解强化师生共同归纳强调重点70*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？2现有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，共有多少种不同的选法？提问巡视指导反思动手求解培养反思学习过程的能力85*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题31（必做）；学习指导31（

19、选做）(3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否

20、有意识的反思实践过程的方面；【课题】 31排列与组合（三）【教学目标】知识目标：利用排列数组合数计算公式解决简单的应用问题能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高【教学重点】排列与组合的综合应用 【教学难点】排列与组合的综合应用【教学设计】实际应用过程中，要注意区分以下3点：（1）元素是否允许重复元素不允许重复的是排列与组合问题；元素允许重复的是直接应用计数原理的问题（2）元素是否有序有序是排列问题，无序是组合问题（3）是否需要分类或分步骤来进行研究例7是简单的排列与组合训练题要注意分清是排列问题还是组合问题例8是产品检验的抽样计算问题，是组合应用的典型问题在题目的

21、说明中，介绍了对立事件例9是照相排队问题，是排列应用的典型问题要注意“先考虑特殊元素或特殊位置，再考虑一般元素或位置”这种分步骤研究方法的使用例10是排列组合综合应用问题“先取出元素，然后再安排”是这类问题的典型方法例11元素可以重复，不是排列与组合问题，直接应用分步计数原理计算【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题31排列与组合介绍了解1*巩固知识 典型例题例7从5名学生中，选出2名学生（1）去参加一个调查会，有多少种不同的选法？（2）担任两项不同的工作，有多少种不同的选法？分析 两个人参加一个调查会，是无序的，是组

22、合问题；两个人担任两项不同的工作，是有序的，是排列问题解 （1）不同的选法共有（种）（2）不同的选法共有（种）例8100件产品中有两件次品，从中任意抽取3件产品进行检查问（1）一共有多少种不同的抽取方法？（2）抽取的3件产品中，恰有一件是次品的不同抽取方法有多少种？（3）抽取的3件产品中，至少有一件是次品的不同抽取方法有多少种？解 （1）不同的抽取方法的总数为从100件产品中取出3件的组合数（2）分成两步来完成第一本从2件次品中抽出1件，第二步从98件正品中抽出的2件中.由分步计数原理知，恰有1件次品的不同抽取方法的种数为（3）从任意抽取不同的3件产品的抽取方法总数中，减去3件全是正品的抽取方

23、法种数，就是至少有一件是次品的不同抽取方法种数即【想一想】例8（3）是否还有其他的解法？例9 如果7名学生照集体像，要排成一列，有两名学生必须要相邻，那么共有多少种不同的排法？分析 分成两步来排队第一步，将这两个人的顺序排好；第二步，将这两个人作为一个总体，与剩下的5名学生一起排队解 不同的排法共有（种）【说明】要注意“先考虑特殊元素或特殊位置，再考虑一般元素或位置”这种分步骤研究方法的使用例10从6名男生和5名女生中选出3名男生和2名女生排成一行，有多少种不同排法?分析可以首先将男生选出，再将女生选出，然后对选出的5名学生排序解 不同排法的总数为（种）例11某城市的电话号码是从0、1、2、3

24、、4、5、6、7、8、9中取8个数字组成（允许数字重复），但0和1不能作为电话号码的首位数问该城市最多可以装多少部电话？分析将一个电话号码的组成分成两个步骤第一步，选首位数字，从2、3、4、5、6、7、8、9中取1个数；第二步，从第2位至第8位，每个位置填入上述10个数字中的任意一个数再根据分步计数原理计算解 城市最多可以装电话的数量为（部）【注意】研究实际问题的时候，一定要注意区别是否允许重复，是否有序的问题引领讲解说明引领讲解说明引领分析说明引领讲解说明观察思考主动求解观察思考主动求解观察思考理解思考主动求解注意观察学生是否理解知识点注意观察学生是否理解知识点学生自我发现归纳45*运用知识 强化练习 1平面内有8个点（1）以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？ 2某城市的电话号码是由0到9中的7个数字组成（允许重复），问该城市最多可以装多少部电话？ 3有11个队参加的篮球比赛分成两个阶段进行第一阶段，分组成2个小组，第1小组5个队，第2小组6个队，各组都进行单循环比赛；第二阶段，