初三相似三角形地基本模型

1、实用标准精锐教育学科教师辅导讲义 授课类型t (相似三角形的基本类型。)c （专题方法主题）t （学法与能力主题）授课日期时段教学内容 一、同步知识梳理知识点1：相似证明中的基本模型知识点2：相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等如图：平分交于，求证：证法一：过作，交的延长线于，点评：做平行线构造成比例线段，利用了“a”型图的基本模型证法二；过作的平行线，交的延长线于，点评：做平行线构造成比例线段，利用了“x”型图的基本模型知识点3：相似证明中的面积法面

2、积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题常用的面积法基本模型如下：如图：如图：如图：。二、同步题型分析题型1：与三角形有关的相似问题例1：如图，、是的边、上的点，且，求证：.解析： 例2：如图，在中，于，于，的面积是面积的4倍，求的长.解析：题型2：相似中的角平分线问题例1：如图，是的角平分线，求证：解析： 例2：已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：解析： 例3：已知：、分别为的内、外角平分线，为的中点，求证：解析： 题型3：型结论的证明例1：如图，直角中，证明：，.解析：例2：如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：解析： 题型4、三角形内接矩形问题例1

3、、 已知，如图，中，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长解析： 三、课堂达标检测检测题1：如图，在正方形abcd中，点e在ab边上，且aeeb21，afde于g交bc于f，则aeg的面积与四边形begf的面积之比为（ ） a、12 b、14 c、49 d、23 检测题2、如图，已知debc，cd和be相交于点o，49，则aeec为（ ） a、21 b、23 c、49 d、54检测题3、在abc中，d为ac边上一点，dbca，bc，ac3，则cd的长为（ ） a、1 b、 c、2 d、答案：1、c2、a3、c一、专题精讲 构造相似辅助线双垂直模型 例1：在abc中，ab=，ac=4，

4、bc=2，以ab为边在c点的异侧作abd，使abd为等腰直角三角形，求线段cd的长答案：解：情形一：情形二：情形三：例2：在abc中，ac=bc，acb=90°，点m是ac上的一点，点n是bc上的一点，沿着直线mn折叠，使得点c恰好落在边ab上的p点求证：mc：nc=ap：pb答案：证明：方法一：连接pc，过点p作pdac于d，则pd/bc根据折叠可知mncp2+pcn=90°，pcn+cnm=90°2=cnmcdp=ncm=90°pdcmcnmc：cn=pd：dcpd=damc：cn=da：dcpd/bcda：dc=pa：pbmc：cn=pa：pb方法

5、二：如图，过m作mdab于d，过n作neab于e由双垂直模型，可以推知pmdnpe，则，根据等比性质可知，而md=da，ne=eb，pm=cm，pn=cn，mc：cn=pa：pb例3：已知，如图，直线y=2x2与坐标轴交于a、b两点以ab为短边在第一象限做一个矩形abcd，使得矩形的两边之比为12。求c、d两点的坐标。构造相似辅助线a、x字型 例4：如图：abc中，d是ab上一点，ad=ac，bc边上的中线ae交cd于f。求证：答案：证明：（方法一）如图延长ae到m使得em=ae，连接cmbe=ce，aeb=mec beacemcm=ab，1=babcmm=mad，mcf=adfmcfadfc

6、m=ab，ad=ac（方法二）过d作dgbc交ae于g则abeadg，cefdgf，ad=ac，be=ce例5：四边形abcd中，ac为ab、ad的比例中项，且ac平分dab。求证：答案：证明：过点d作dfab交ac的延长线于点f，则2=3ac平分dab1=21=3ad=dfdef=bea，2=3beadefad=dfac为ab、ad的比例中项即又1=2acdabc例6：在梯形abcd中，abcd，abb，cda，e为ad边上的任意一点，efab，且ef交bc于点f，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，ef=；(2)当时，ef=；(3)当时，ef=当时，参照上述研究结论，请你猜想

7、用a、b和k表示ef的一般结论，并给出证明答案：证明：过点e作pqbc分别交ba延长线和dc于点p和点qabcd，pqbc四边形pqcb和四边形eqcf是平行四边形pbefcq，又abb，cdaappb-abef-b，dqdc-qca-ef例7：已知：如图，在abc中，m是ac的中点，e、f是bc上的两点，且beeffc。求bn：nq：qm答案：解：连接mfm是ac的中点，effcmfae且mfaebenbfmbn：bmbe：bfne：mfbeefbn：bmne：mf1:2bn：nm1:1设nex，则mf2x，ae4xan3xmfaenaqmfqnq：qman：mf3:2bn：nm1:1，nq

8、：qm3:2bn：nq：qm5:3:2相似类定值问题 例8：如图，在等边abc中，m、n分别是边ab，ac的中点，d为mn上任意一点，bd、cd的延长线分别交ac、ab于点e、f求证：答案：证明：如图，作dpab，dqac则四边形mdpb和四边形ndqc均为平行四边形且dpq是等边三角形bp+cqmn，dpdqpqm、n分别是边ab，ac的中点mnbcpqdpab，dqaccdpcfb，bdqbec，dpdqpqbcabab（）例9：已知：如图，梯形abcd中，ab/dc，对角线ac、bd交于o，过o作ef/ab分别交ad、bc于e、f。求证：答案：证明：ef/ab，ab/dcef/dcaoe

9、acd，doedba，例:10：如图，在abc中，已知cd为边ab上的高，正方形efgh的四个顶点分别在abc上。求证：答案：证明：efcd，ehab，afeadc，cehcab，efeh例11：已知，在abc中作内接菱形cdef，设菱形的边长为a求证：.答案：证明：efac，debc，bfebca，aedabc，efdea一线三角等题型：例12（2010年绍兴中考）如图，已知在矩形中，是线段边上的任意一点（不含端点），连接，过点作交于（1）在线段上是否存在不同于的点，使得？若存在，求线段与之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（2）当点在上运动时，对应的点也随之在上运动，求的取值范围解：（1

10、）假设存在这样的点q；pepc，ape+dpc=90°，d=90°，dpc+dcp=90°，ape=dcp，又a=d=90°，apedcp，=，apdp=aedc；同理可得aqdq=aedc；aqdq=apdp，即aq（3aq）=ap（3ap），3aqaq2=3apap2，ap2aq2=3ap3aq，（ap+aq）（apaq）=3（apaq）；apaq，ap+aq=3（2分）apaq，ap，即p不能是ad的中点，当p是ad的中点时，满足条件的q点不存在当p不是ad的中点时，总存在这样的点q满足条件，此时ap+aq=3（1分）（2）设ap=x，ae=y，由

11、apdp=aedc可得x（3x）=2y，y=x（3x）=x2+x=（x）2+，当x=（在0x3范围内）时，y最大值=；而此时be最小为，又e在ab上运动，且ab=2，be的取值范围是be2（2分）例13（2012年宁夏中考）在矩形中，是上的任意一点（与不重合），过点作，垂足为，交于点（1） 连接，当 与全等时，求的长；（2） 若设为，为，试确定与的函数关系式当取何值时，的值最大？最大值是多少？（3） 若，试求出此时的长解：（1）apeade（已知），ad=3（已知），ap=ad=3（全等三角形的对应边相等）；在rtabp中，bp=（勾股定理）；（2）appe（已知），apb+cpe=cpe+p

12、ec=90°，apb=pec，又b=c=90°，rtabprtpce，即（相似三角形的对应边成比例），=当x=时，y有最大值，最大值是；（3）如图，连接bd设bp=x，pebd，cpecbd，（相似三角形的对应边成比例），即化简得，3x213x+12=0解得，x1=，x2=3（不合题意，舍去），当bp=时，pebd例14（2012年宜宾中考）如图，在中，已知，且 ，将 与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且、始终经过点，与交于点（1）求证： ；（2）探究：在运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由；（3）当线段最短时，

13、求重叠部分的面积（1）证明：ab=ac，b=c，abcdef，aef=b，又aef+cem=aec=b+bae，cem=bae，abeecm；（2）能解：aef=b=c，且amec，ameaef，aeam；当ae=em时，则abeecm，ce=ab=5，be=bcec=65=1，当am=em时，则mae=mea，mae+bae=mea+cem，即cab=cea，又c=c，caecba，ce=，be=6=；若ae=am，此时e点与b点重合，m点与c点重合，即be=0be=1或或0（3）解：设be=x，又abeecm，即：，cm=+x=（x3）2+，am=5cm（x3）2+，当x=3时，am最短为

14、，又当be=x=3=bc时，点e为bc的中点，aebc，ae=4，此时，efac，em=，saem=二、专题过关【题1】 如上图，垂足分别为、，和相交于点，垂足为.证明：.答案：(bf+df)/df=ab/ef 1 bf/df+1=ab/ef (bf+df)/bf=cd/ef 2 df/bf+1=cd/ef 1推出 bf/df=(ab-ef)/ef 代入2 ef/(ab-ef)+1=cd/ef = ab/(ab-ef)=cd/ef => 1- ef/ab =ef/cd => 1= ef(1/ab+1/cd) => 1/ef= 1/ab+1/cd 【题2】 如图，已知，找出、之

15、间的关系，并证明你的结论.答案：1/sbde=1/sabd+1/sbdc 以a e c三点坐高于bd 三条高依然存在1题中关系 共用底边bd 高的比等于面积比。【题3】 （2012年成都中考）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，的顶点与的斜边的中点重合将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点（1）如图，当点在线段上，且时，求证： ；（2）如图，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当时， 两点间的距离 （用含的代数式表示）解：连接pq，abc和def是两个全等的等腰直角三角形，b=c=def=45°，beq=eqc+c，即bep+def=eqc+c，bep+45&

16、#176;=eqc+45°，bep=eqc，b=c=45°，bpeceq，=，bp=a，cq=，be=ce，=，be=ce=a，bc=3a，ab=ac=bcsin45°=3a，aq=cqac=a，pa=abbp=2a，在rtapq中，pq=a三、学法提炼1、专题特点：从基本图形入手，能顺利找出解题问题的思路和方法，能帮我们尽快找到添加的辅助线。2、解题方法：寻找适当的辅助线，方法有平行型（a、x型）、相交线型、双垂型及一线三角等。3、注意事项 ：在解题过程中要注意比例的基本性质的运用，即等积变换、等比代换、等线代换。 一、 能力培养综合题1：（1）如图1，点p在平

17、行四边形abcd的对角线bd上，一直线过点p分别交ba，bc的延长线于点q，s，交ad，cd于点r，t求证：pq·pr = ps·pt（2）如图2，图3，当点p在平行四边形abcd的对角线bd或db的延长线上时，pq·pr = ps·pt是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；答案：（1）证明：在平行四边形abcd中，adbc，drp=s，rdb=dbsdrpbsp同理由abcd可证ptdpqb（2）证明：成立，理由如下：在平行四边形abcd中，adbc，prd=s，rdp=dbsdrpbsp同理由abc

18、d可证ptdpqb综合题2：已知：如图，abc中，abac，ad是中线，p是ad上一点，过c作cfab，延长bp交ac于e，交cf于f求证：bp2pe·pf 答案：证明:abac，ad是中线，adbc,bp=cp1=2又abc=acb3=4cfab3=f,4=f又epc=cpfepccpfbp2pe·pf 即证所求综合题3：如图，已知abc中，ad，bf分别为bc，ac边上的高，过d作ab的垂线交ab于e，交bf于g，交ac延长线于h。求证： de2=egeh 答案：证明：deab90°90°adedbede2=ae·bebfac90°

19、;90°且begheade2=eg·eh综合题4：已知如图，p为平行四边形abcd的对角线ac上一点，过p的直线与ad、bc、cd的延长线、ab的延长线分别相交于点e、f、g、h.求证：答案：证明：四边形abcd为平行四边形abcd，adbc1=2，g=h，5=6pahpcg又3=4apecpf综合题5：已知，如图，锐角abc中，adbc于d，h为垂心（三角形三条高线的交点）；在ad上有一点p，且bpc为直角求证：pd2ad·dh 。答案：证明：如图，连接bh交ac于点e，h为垂心beacebc+bca=90°adbc于ddac+bca=90°

20、ebc=dac又bdh=adc=90°bdhadc，即bpc为直角，adbcpd2bd·dcpd2ad·dh综合题6：已知如图，cd是rtabc斜边ab上的高，e为bc的中点，ed的延长线交ca于f。求证：证明：cd是rtabc斜边ab上的高，e为bc的中点ce=eb=deb=bde=fdab+cab=90°，acd+cab=90°b=acdfda=acdf=ffdafcdadc=cdb=90°，b=acdacdcbd即综合题7：如图，在rtabc中，cd是斜边ab上的高，点m在cd上，dhbm且与ac的延长线交于点e.求证：（1）a

21、edcbm；（2）答案：证明：（1）acbadc90°aacd90°bcmacd90°abcm同理可得：mdhmbdcmbcdbmbd90°mbdadeadcmdh90°mdhadecmbaedcbm（2）由上问可知：，即故只需证明即可aa，acdabcacdabc，即综合题8：如图，abc是直角三角形，acb=90°，cdab于d，e是ac的中点，ed的延长线与cb的延长线交于点f.（1）求证：.（2）若g是bc的中点，连接gd，gd与ef垂直吗？并说明理由.答案：（1）将结论写成比例的形式，可以考虑证明fdbfcd（已经有一个公共

22、角f）rtacd中，e是ac的中点de=aea=adeade=fdba=fdb而a+acd=90°fcd+acd=90°a=fcdfcd=fdb而f=ffbdfdc（2）判断：gd与ef垂直rtcdb中，g是bc的中点，gdgbgdb=gbd而gbd+fcd=90°又fcd=fdb（1的结论）gdb+fdb=90°gdef综合题9：如图，四边形abcd、defg都是正方形，连接ae、cg,ae与cg相交于点m，cg与ad相交于点n求证：答案：证明：由四边形abcd、defg都是正方形可知，adc=gde=90°，则cdg=ade=adg+90&

23、#176;在和中则dam=dcn又anm=cndanmcnd则综合题10：如图，bd、ce分别是abc的两边上的高，过d作dgbc于g，分别交ce及ba的延长线于f、h。求证：（1）；（2） 答案：证明：找模型。（1）bcd、bdg，cdg构成母子型相似。bdgdcg （2）分析：将等积式转化为比例式。 gfc=efh，而efh+h=90°，gfc+fcg=90°h=fcg而hgb=cgf=90°hbgcfg综合题11：.abc和def是两个等腰直角三角形，a=d=90°，def的顶点e位于边bc的中点上（1）如图1，设de与ab交于点m，ef与ac交于

24、点n，求证：bemcne；（2）如图2，将def绕点e旋转，使得de与ba的延长线交于点m，ef与ac交于点n，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论答案：（1）证明：mebnec180°45°135°mebembnecemb又b=cbemcne（2）coeeon证明：oen=c45°，coeeoncoeeon综合题12：如图，四边形abcd和四边形aced都是平行四边形，点r为de的中点，br分别交ac、cd于点p、q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求bp：pq：qr解：（1）bcpber，c

25、qpdqr，abpcqp，dqrabp（2）acdebcpber四边形abcd和四边形aced都是平行四边形ad=bc，ad=cebc=ce，即点c为be的中点又acdecqpdqr点r为de的中点dr=re综上：bp：pq：qr3：1：2综合题13：如图，在abc中，adbc于d，deab于e，dfac于f。求证：答案：证明：adbc，deabadbaedad²aeab同理可证：ad²afacaeabafac即二、 能力点评在解决综合性的问题时能将复杂图形划分为几个基本类型，并要注意数形结合思想和分类讨论思想及方程思想的应用。 学法升华一、 知识收获1、相似证明中的基本模

26、型2：相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等二、 方法总结（1）梅涅劳斯定理梅内劳斯（menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理梅涅劳斯定理：、分别是三边所在直线、上的点则、共线的充分必要条件是：根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或、三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或、三点分别都在三角形三边的延长线上证明：（1）必要性，即若、三点共线，则设、到直线的距离分别为、则

27、，、，三式相乘即得（2）充分性，即若，则、三点共线设直线交于，由已证必要性得：又因为，所以因为和或同在线段上，或同在边的延长线上，并且能分得比值相等，所以和比重合为一点，也就是、三点共线梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在、三个比中，已知其中两个可以求得第三个二是证明三点共线（2）塞瓦定理连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线塞瓦（g·gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理塞瓦定理：从的每个顶点出发作一条塞瓦线则共点的充分必要条件是充分性命题：设的三条塞瓦线共点，则必

28、有必要性命题：设中，是三条塞瓦线，如果，则三线共点我们先证明充分性命题如图，设相交于点，过作边的平行线，分别交的延长线于由平行截割定理，得上面三式两边分别相乘得：我们再证明必要性命题假设与这两条塞瓦线相交于点，连交于则也是一条过点的的塞瓦线根据已证充分性命题，可得，由因为，进而可得所以，因此所以与重合，从而和重合，于是得出共点塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式三、 技巧提炼本节常见误区有

29、（1）相似三角形中对应边及对应角找不准。（2）在运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似时容易把两边的夹角和其中一边的对角混淆。（3）在确定两个三角形相似时由于对应元素的不确定可能会出现多种结论，往往考虑问题欠全面，出现漏解现象。课后作业一、选择题1如图所示，在abc中，debc，若ad1，db2，则的值为( )第1题图abcd2如图所示，abc中debc，若addb12，则下列结论中正确的是( )第2题图abcd3如图所示，在abc中bac90°，d是bc中点，aead交cb延长线于e点，则下列结论正确的是( )第3题图aaedacbbaebacdcbaeacedaecdac4如图所示，在abc中d为ac边上一点，若dbca，ac3，则cd长为( )第4题图a1bc2d5若p是rtabc的斜边bc上异于b，c的一点，过点p作直线截abc，截得的三角形与原abc相似，满足这样条件的直线共有( )a1条b2条c3条d4条6如图所示，abc中若debc，efab，则下列比例式正确的是( )第6题图abcd7如图所示，o中，弦ab，cd相交于p点，则下列结论正确的是( )第7题图apa·abpc·pbbpa·pbpc·pdcpa·abpc·cddpapbpcpd8如图所示，