初三数学圆教案

1、亿库教育网 http:/www.eku.cc 百万教学资源免费下载第七章 圆一. 本周教学内容： 第七章 圆三 圆和圆的位置关系学习目标 1. 掌握圆和圆的各种位置关系的概念及判定方法； 2. 理解并掌握两圆相切的性质定理； 3. 掌握相交两圆的性质定理，并完成相关的计算和证明； 4. 理解圆的内、外公切线概念，会计算内、外公切线长及两公切线夹角；并能根据公切线的条数确定两圆的位置关系； 5. 通过两圆位置关系的学习，进一步理解事物之间是相互联系和运动变化的观点，学会在变化中寻找规律，培养综合运用知识的能力。知识回顾 1. 圆与圆的位置关系的判定方法及图形特征 2. 两圆相切的性质：如果两圆相

2、切，那么切点一定在连心线上。 3. 两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 4. 设两圆公切线长l，两圆半径r、r，两公切线的夹角 【典型例题】 例1. 已知o1、o2半径分别为15cm和13cm，它们相交于a、b两点，且ab长24cm，求o1o2长。 分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1. 两圆心在公共弦的两侧； 2. 两圆心在公共弦的同侧； 因此，我们必须分两种情况来解。 解：（1）连结o1o2交ab于c （2）连结o1o2并延长交ab于c o1 o2交于a、b两点 在rtao1c中，由勾股定理： 在rtao2c中，由勾股定理： 如图（1） o1o2=o1c+

3、o2c=14cm 如图（2） o1o2=o1co2c=4cm 例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。 例2. 如图，o1与o2外切于点p，ac切o2于c交o1于b，ap交o2于d，求证： （1）pc平分bpd （2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。 证明：（1）过p点作公切线pm交ac于m点 ac切o2于c mp=mc mcp=mpc 在o1中，由弦切角定理： bpm=a cpd为apc的外角 cpd=a+mcp=bpm+mpc=bpc pc平分bpd。 （2）两圆内切时仍有这样的结论。 证明：过p点作公切线pm交ab延长线于m am切o2于c，mc=mp mpc=mc

4、p mpb=a mcp为cpa的外角 mcp=cpa+a 又mpc=mpb+bpc bpc=cpa 即pc平分bpd。 在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。 从这道题我们还可以联想到做过的两道题， 当a、b重合时，也就是ac成为两圆的外公切线时，pcad，即我们书上的例题（p129 例4） 当apd经过o1、o2时，pbac，pc平分bpd的证法就更多了。 例3. 如图，以fa为直径的o1与以oa为直径的o1内切于点a，adf内接于o，dbfa于b，交o1于c，连结ac并延长交o于e，求证： （1）ac=c

5、e （2）ac2=db2bc2 分析：（1）易证 （2）由（1）我们可联想到相交弦定理，延长db交o于g：即ac·ce=dc·cg 由垂径定理可知db=bg，问题就解决了。 证明：（1）连结og，延长db交o于g， oa为o1直径 ocae 在o中 ocae ac=ce （2）在o中， dg直径af db=gb 由相交弦定理：ac·ce=dc·cg=（dbbc）（bgbc） ac=ce ac2db2bc2 本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。 例4. 如图：o1和o2相交于a、b两点，过a作o1切线交

6、o2于点c，过点b作两圆割线交o1和o2于d、e，de与ac相交于p点， （1）求证：pa·pe=pc·pd （2）当ad与o2相切且pa=6，pc=2，pd=12时，求ad的长。 分析：（1）从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。 （2）求ad想到用切割线定理，但pb、pe均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结ce，可推出adce，这样，问题就解决了。 （1）证明：pa切o1于a，pbd为o1割线 在o2中 由相交弦定理 （2）连结ab、ce ca切o1于a ab为弦 cab=d o2中cab=e d=e adce be=3+

7、4=7 db=123=9 由切割线定理 ad2=db·de=9×(9+7) ad=12 解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。 例5. 如图，已知：o与b相交于点m、n，点b在o上，ne为b的直径，点c在b上，cm交o于点a，连结ab并延长交nc于点d，求证：adnc。 分析：要证adnc，我们可证c+cad=90°或dbn+bnd=90°，这里可用到的是ne为直径，它对的圆周角是直角，因此我们连结ec，而ecm=enm，又可利用圆内接四边形的性质得enm=cad

8、，从而得证。 证明：连结ec en为直径 ecm+acd=90° 四边形abnm内接于o cad=mne ecm=mne cad+acd=90° adc=180°90°=90° adnc 从证明中可见点b在o上这一条件的重要性。 例6. 如图：已知dec中de=dc，过de作o1交ec、dc于b、a，过a、b、c作o2，过b作bfdc于f，延长fb交o1于g，连dg交ec于h， （1）求证：bf过o2的圆心o2 （2）若eh=6，bc=4，ca=4.8，求dg的长。 分析：要证bf过o2圆心o2，只需证它所在弦对的圆周角是直角即可，故应延长bf

9、交o2于m，连cm，去证mca+acb=90°，而连ab后可得mca转移到mba，再由圆内接四边形的性质转移到cdg，而dhec，于是可证。 （1）证明：延长bf交o2于m，连mc、ab 四边形abgd内接于o1 abm=adg dgec于h adg+dch=90° abm=acm adg=acm acm+acb=90° bm为o2直径 bf过o2的圆心o2。 （2）解：四边形adeb内接于o1 cab=e de=dc e=dcb cab=acb ab=bc=4 等腰cbacde 设cd=5k，ec=6k dhec de=dc ec=2eh=12=6k，k=2 cd=10 在rtdhe中，由勾股定理： bh=64=2 由相交弦定理：dh·hg=eh·hb dg=8+1.5=9.5 例7. 如图：o1与o2外切于点p，ab是两圆外公切线，ab与o1o2延长线交于 （1）求证：acec （2）求证：pc=ec （1）证明：连结bp apbaec ace=apb 由例4结论得apb=90° ace=90° 即acec （2）证明：连结bd， apb=bpd=90