chap4微分方程模型

1、第四章第四章 微分方程模型微分方程模型4.1 湖水污染模型湖水污染模型4.2 传染病模型传染病模型4.3 放放射性衰变与考古计年模型射性衰变与考古计年模型微分方程建模微分方程建模对于微分方程建模，虽然我们得不到一种建立和解决所有对于微分方程建模，虽然我们得不到一种建立和解决所有问题的通用法则，但我们可以注意以下几点：问题的通用法则，但我们可以注意以下几点： （1）转化：在实际问题中，有许多表示）转化：在实际问题中，有许多表示“导数导数”的常用词，如的常用词，如“速度速度”、“增长增长”、“衰变衰变”、“边际边际”等。等。“改变改变”、“变变化化”、“增加增加”、“减少减少”等词都是信号，要注意

2、什么在变化，导等词都是信号，要注意什么在变化，导数也许用得上。其次想一想你所考虑的问题是否遵循什么原则或物数也许用得上。其次想一想你所考虑的问题是否遵循什么原则或物理定律？是应该用已知的定律呢？还是必须去推导问题的合适结果？理定律？是应该用已知的定律呢？还是必须去推导问题的合适结果？对这些问题的回答将直接引到你如何去处理问题。不少问题都遵循对这些问题的回答将直接引到你如何去处理问题。不少问题都遵循着下面的模式：着下面的模式：净变化率净变化率=输入率输出率输入率输出率 （2）写出微分方程：微分方程是一个在任何时刻都必须正确的）写出微分方程：微分方程是一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式，这是数学

3、问题的核心。如果你看到了表示导数的关键瞬时表达式，这是数学问题的核心。如果你看到了表示导数的关键词。你就想要寻找词。你就想要寻找y，y及及t之间的关系。首先把注意力集中在文字之间的关系。首先把注意力集中在文字形式的总关系式上，如形式的总关系式上，如“变化率变化率=输入输出输入输出”，写出这些关系式，写出这些关系式，然后确信你填写好了式子中所有的项。然后确信你填写好了式子中所有的项。 （3）单位：一旦你认为那些项应该列入微分方程中，你就要注）单位：一旦你认为那些项应该列入微分方程中，你就要注意每一项都采用同样的单位。意每一项都采用同样的单位。 （4）给定初始条件：这是关于系统在某一特定时刻的信息

4、。它）给定初始条件：这是关于系统在某一特定时刻的信息。它独立于微分方程而成立。在微分方程解出后，利用它来确定有关常独立于微分方程而成立。在微分方程解出后，利用它来确定有关常数。数。4.1 湖水污染湖水污染模型模型 湖泊为人们提供了大量的水资源，还可以养鱼、运输，湖泊为人们提供了大量的水资源，还可以养鱼、运输，也是人们旅游的场所但是湖泊也承受着人们倾倒的垃圾、也是人们旅游的场所但是湖泊也承受着人们倾倒的垃圾、废水、污物，它们越来越受到工业和生物污水的污染。废水、污物，它们越来越受到工业和生物污水的污染。 湖水污染的治理工作是困难的因为一般湖水覆盖的区湖水污染的治理工作是困难的因为一般湖水覆盖的区

5、域较大，周围的污染源较为复杂，很难指明所有污染的原因域较大，周围的污染源较为复杂，很难指明所有污染的原因通常治理水体污染的办法靠水体本身的自净能力来缓解污染通常治理水体污染的办法靠水体本身的自净能力来缓解污染这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的如何治理湖水污染，下面我们通过组建数学模型行不通的如何治理湖水污染，下面我们通过组建数学模型来进行分析。来进行分析。一、模型假设一、模型假设 （1）不区分不同的污染物所造成的污染，不考虑从不同的渠道流）不区分不同的污染物所造成的污染，不考虑从不同的渠道流入与流出湖泊之间的区别只考

6、虑携带污染物的水流入湖泊和湖泊入与流出湖泊之间的区别只考虑携带污染物的水流入湖泊和湖泊中的水流出对湖水污染程度的影响因此可以把湖泊看成是一个单中的水流出对湖水污染程度的影响因此可以把湖泊看成是一个单流入、单流出的系统流入、单流出的系统 (2)流入湖泊的污染物能以很快的速度与湖中的水均匀混合，也流入湖泊的污染物能以很快的速度与湖中的水均匀混合，也就是说湖中的污染状况与任何局部水体在湖中的位置无关就是说湖中的污染状况与任何局部水体在湖中的位置无关 (3)参与模型的变量是连续变化的，并且充分光滑参与模型的变量是连续变化的，并且充分光滑 (4)湖水的体积保持定常，也就是说假设由降水等原因所引起的湖水的

7、体积保持定常，也就是说假设由降水等原因所引起的流入物增量与被蒸发、渗漏所造成的损失量互相抵消不考虑湖水流入物增量与被蒸发、渗漏所造成的损失量互相抵消不考虑湖水体积季节上的差异体积季节上的差异 (5)不考虑生物学因素在水体自净过程中的作用，污染物除流出不考虑生物学因素在水体自净过程中的作用，污染物除流出外不因腐烂、沉积或其它任何手段从湖水中消失外不因腐烂、沉积或其它任何手段从湖水中消失 二、建模二、建模根据假设根据假设(1)，我们令：，我们令： t时刻流入湖水的流速时刻流入湖水的流速; )(tri)(tpit时刻流入湖水的污染物的浓度时刻流入湖水的污染物的浓度 ;)(tpt时刻湖水的污染物的浓度

8、时刻湖水的污染物的浓度; t时刻湖水的湖水的体积。时刻湖水的湖水的体积。 )(tV 由假设由假设(3)，它们都是连续而且充分光滑的；，它们都是连续而且充分光滑的； 由假设由假设(4)可知可知V(t)=V（常数）（常数） )(0trt时刻流出湖水的流速时刻流出湖水的流速; t时刻流出湖水的污染物的浓度时刻流出湖水的污染物的浓度; )(0tp根据物质平衡原理，和假设根据物质平衡原理，和假设(5)可知湖内污染物的改变量流入的污可知湖内污染物的改变量流入的污染物量一流出的污染物量于是对于充分小的染物量一流出的污染物量于是对于充分小的t,在时间在时间(t，t+t)内有内有 ttrtptrtpVtpVtt

9、pii)()()()()()(00令令t0得得 )()()()(trtptrtpdtdpVooii由于由于V为常数，故有为常数，故有 )()(0trtri，另外根据假设，另外根据假设(2)，流出的污，流出的污染物应与湖水中污染物有相同的浓度染物应与湖水中污染物有相同的浓度 )()(0tptr进一步我们假定进一步我们假定 从湖中流出的湖水的流速为常数，于是有从湖中流出的湖水的流速为常数，于是有 00)()(rtrtri这样这样,我们得到我们得到 )()(0tptprdtdpVi0/rV令，不难理解，不难理解给出了排尽湖水所需要的时间或称之为给出了排尽湖水所需要的时间或称之为 湖水的保留时间于是就

10、得到了湖水污染的模型湖水的保留时间于是就得到了湖水污染的模型ppdtdpi (1) 三、模型分析三、模型分析)(tpi对于模型对于模型(1)的分析，我们需要关于输入函数的信息的分析，我们需要关于输入函数的信息 的不的不 同导致不同的结论同导致不同的结论 情形情形I：设设 Ktpi)(常数常数)。可以认为它大致描述了自由污染。可以认为它大致描述了自由污染 的情况，每天污染物以其平均值流入湖泊内的情况，每天污染物以其平均值流入湖泊内 如果已知在初始时刻如果已知在初始时刻t=0有有 spp)0(，那么模型，那么模型(1)可以解出为可以解出为 KeKptpts/)()(（2） 从这个结论可以看到：从这

11、个结论可以看到： （1）当）当 Kps时，污染物的浓度将逐渐减少；当时，污染物的浓度将逐渐减少；当 Kps时污染时污染 物的浓度随时间而增加，而且有物的浓度随时间而增加，而且有 Ktpt)(lim称称K为该湖泊的最终为该湖泊的最终 污染状况。污染状况。 （2）由（）由（1）可以看出，当流入浓度）可以看出，当流入浓度K给定时，湖水污染物浓度给定时，湖水污染物浓度的变化速率只依赖于湖水的保留时间的变化速率只依赖于湖水的保留时间，并与，并与的大小成反比。的大小成反比。 （3）称）称p(t)/K为湖水在为湖水在t时刻的污染水平。时刻的污染水平。1位标准污染位标准污染水平；水平；时称超标准污染水平，这是

12、污染物的浓度将不断下降时称超标准污染水平，这是污染物的浓度将不断下降1时湖水的污染状况不断加重。时湖水的污染状况不断加重。 （4）若）若 0sp，即对于一湖清水，则，即对于一湖清水，则t时刻的污染水平时刻的污染水平 /1)(tet而对于给定的水平而对于给定的水平1，湖水的污染程度达到水平，湖水的污染程度达到水平所需要的时间所需要的时间为为 )1ln(t，特别当，特别当0.5时有时有 7 . 02ln2/ 1t。即湖水。即湖水 从清洁的水体污染到从清洁的水体污染到0.5的水平所需的时间。对于一般的水平所需的时间。对于一般 的情形，当的情形，当 1/Kps时，水体达到污染水平时，水体达到污染水平所

13、需的时间为所需的时间为 )1/()1ln(0t其中其中 Kps/0 （5）若）若K0，既没有污染物流入这时湖水将会以最快的速，既没有污染物流入这时湖水将会以最快的速度得到净化这时，式度得到净化这时，式 )(/ln(tppts则给出了要把污染减少到则给出了要把污染减少到 初始污染水平的百分比初始污染水平的百分比 sptp/ )(所需要的时间如果取所需要的时间如果取0.5 也就是说把污染程度降低到目前水平的一半，则有也就是说把污染程度降低到目前水平的一半，则有 2ln5 . 0t情形情形:设设 0,)(0tieKtp，它表明流入的污染物将逐年降，它表明流入的污染物将逐年降 低它反映了污染状况正在逐

14、步得到控制于是模型将有低它反映了污染状况正在逐步得到控制于是模型将有teKtpdtdp0)(（3） 若令若令p(0)K。，则。，则(3)有解有解 1)()(/0tteeKtp1)(/0tteeKtp或或 （4） 不难证明不难证明p(t)或或p(t)K。是。是t的单调减函数，并且有的单调减函数，并且有 0)(limtpt它表明在污染源逐步得到控制的条件下，湖水的污染状况将会不断它表明在污染源逐步得到控制的条件下，湖水的污染状况将会不断得到改善得到改善 在一般的情形下在一般的情形下 spp) 0(有解有解 可见湖水的污染状况将会不断得到改善可见湖水的污染状况将会不断得到改善 )1 ()(/0/tt

15、tseeKeptp情形情形：考虑情形考虑情形I和情形和情形组合的情形在初期，湖泊属于自由污组合的情形在初期，湖泊属于自由污染阶段，当湖水被污染到一定的水平染阶段，当湖水被污染到一定的水平(水平污染，水平污染，1)，将对污，将对污染源加强管理和控制对此我们将有如下的模型染源加强管理和控制对此我们将有如下的模型 若在初期的自由污染阶段我们有若在初期的自由污染阶段我们有 1) 0(, 0Kpps则湖水将在时刻则湖水将在时刻 )1ln(t(1)达到达到水平的污染，即有水平的污染，即有 1)(Ktp此后对污染源加强管理，降低了排污量，有此后对污染源加强管理，降低了排污量，有 12)(KKtpi则有输入函

16、数则有输入函数 .0 , , )(,21sipttKttKtp求解可以得到它的污染状况为求解可以得到它的污染状况为 . ,)(, ),1 ()(2/)(21/1ttKeKKtteKtpttt如果在控制阶段污染程度逐渐降低，如情形如果在控制阶段污染程度逐渐降低，如情形所示，那么将有所示，那么将有 .0 , , ,)(11stiptteKttKtp同样也可以给出它的污染状况为同样也可以给出它的污染状况为 tteeeKtteKtptttttt )1 ( )1 ()(/)()(1/1v五五. . 讨论讨论v 1. 1. 蒸发与渗漏：流出蒸发与渗漏：流出r0=kV(t)r0=kV(t)有所变化，有所变化

17、，添加一个输出添加一个输出项项 AV(t)AV(t)P(t)P(t)v 2. 2. 离散离散动动态：态：v 变连续的微分方程为离散的差分方程变连续的微分方程为离散的差分方程动态模拟动态模拟v 3. 3. 污染物的影响：污染物的影响：例如：例如：DDTDDT被动物吸收，溶解于脂肪中；被动物吸收，溶解于脂肪中；有机磷引起水藻激增，贮存于水藻体内，当水藻腐烂时，有有机磷引起水藻激增，贮存于水藻体内，当水藻腐烂时，有机磷又游离于水中。机磷又游离于水中。1(11/ )/ttIPPPv 4. 4. 混和过程混和过程：浓度是空间点的函数。：浓度是空间点的函数。污染物浓度是空间点的函数污染物浓度是空间点的函数

18、 p(t,x)p(t,x)污染物流速污染物流速 J(t,x)= - D J(t,x)= - D x x p(t, x) p(t, x)， D D 污染物扩散系数污染物扩散系数污染物扩散方程污染物扩散方程 p(t,x)/p(t,x)/ t= - t= - x x J(t,x) J(t,x) 因此因此 p(t,x)/p(t,x)/ t= t= x x (D (D x x p(t, p(t, x) x) 。当当D D是常数时，导出二阶偏微分方程是常数时，导出二阶偏微分方程 p(t,x)/p(t,x)/ t= t= D D x x p(t, x) p(t, x) 。 4.2 4.2 传染病模型传染病模

19、型v 一、问题的提出一、问题的提出 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规分析受感染人数的变化规律律 预报传染病高潮到来的时预报传染病高潮到来的时刻刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型 二、建模及分析二、建模及分析把传染病流行范围内的人分为三类把传染病流行范围内的人分为三类.vI类：感病者（infective），指染上传染病的人。vS类：易感者（susceptible），指未得病者，但与感染者接触后容易感染。vR类：移出者（removal），指因患病而被隔离，或因病愈

20、而具有免疫力的人，他们已经退出了我们所考虑的系统。 已感染人数已感染人数 ( (病人病人) ) I I( (t t) )模型模型1 1? ?()( )( )I ttI tkI tt建模建模0(0)dIkIdtIItI 0( )ktI tI e 每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触( (足以使人致病足以使人致病) )人数为人数为假设假设k若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者( (病病人人) )和未感染者和未感染者( (健康人健康人) )模型模型2 2区分已感染者区分已感染者( (病人病人) )和未感染者和未感染者( (健

21、康健康人人) )假设假设1 1）总人数）总人数N N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为( ), ( )I tS t 2 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为k, 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病k 日日接触率接触率SI SI 模型模型dIkSIdt( )( )1S tI t建模建模ttkItNStIttIN)()()()(0(1)(0)dIkIIdtII01( )111ktI teI0(1)(0)dIkIIdtII模型模型2 2101ln1mtkIt tm m 传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻k(日接触率日接触率) t tm m

22、1tI Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！? ?t=tt=tm m, , d dI I/ /dt dt 最最大大I曲线 模型模型3 3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS SIS 模型模型3 3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为h hh 日日治愈率治愈率 ()( )( ) ( )( )N I ttI tkNS t I tthNI tt 建模建模/k hk 日接触率日接触率1/h 感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接

23、触数。0(1)(0)dIkIIhIdtII111(1)dIkI Idt 模型模型3 311,1()0 ,1I接触数接触数 =1 阈值阈值1( )I t感染期内感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数有效接触感染的健康者人数不超过病人数模型模型4 4传染病有免疫性传染病有免疫性病人治愈病人治愈后即移出感染系统，称后即移出感染系统，称移出者移出者SISIR R模型模型假设假设1 1）总人数）总人数N N不变，病人、健康人和移不变，病人、健康人和移出者的比例分别为出者的比例分别为( ),( ),( )I tS tR t2）病人的日接触率）病人的日接触率k , 日日治愈率治愈率h h, 接触数接触

24、数 = k/ h建模建模( )( )( )1S tI tR t需建立需建立 的两的两个方程个方程( ), ( ), ( )I t S t R t001ssd Id sSII000( )()lnSI SSISS模型模型4 400(0),(0)dIkSIhIdtdSkSIdtIISS /h k消去消去dtdtSIRSIR模型模型(, )0,0,1DS ISISI相轨线的定义相轨线的定义域域相轨线相轨线1 11 1s si i0 0D D在在D D内作相轨线内作相轨线 的图形，进行分析的图形，进行分析( )I ssi101D模型模型4SIR模型模型相轨线相轨线 及其分析及其分析)(sI000ln1)

25、()(SSSISSI0ln1000SSSISS满足miI ,/1s(t)单调减单调减相轨线的方向相轨线的方向0,ItP1s0imsP3P4P2S0传染病蔓延传染病蔓延传染病不蔓延传染病不蔓延P P1 1: : S S0 0 I(t)先升后降至先升后降至0P P2 2: : S S0 0 I(t)单调降至单调降至0阈值阈值01lnlnSSS模型模型4 4SIRSIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段k (日接触率日接触率) 卫生水平卫生水平 h(日日治愈率治愈率) ) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件S S0 0 NNN* *时元素不断减少时元素不断减少, ,

26、 NN NN* *时元素将会增加时元素将会增加. . 放射性元素最终将会达到这个平衡状态放射性元素最终将会达到这个平衡状态, , 我们称这个现象为我们称这个现象为放射性元素的平衡放射性元素的平衡。 4. 14C计年法计年法 原理：原理： 1. 1. 宇宙射线穿过大气，产生中子，使得宇宙射线穿过大气，产生中子，使得1414N N蜕变为蜕变为1414C C 2. 2. 它与氧结合生成它与氧结合生成1414COCO2 2被植物吸收，进入食物链。被植物吸收，进入食物链。 3. 3. 生物体内的生物体内的1414C C不断衰变为不断衰变为1414N N成为气体散失。成为气体散失。 4. 4. 活体还会不

27、断吸收活体还会不断吸收1414C C，使体内的，使体内的1414C C维持平衡。维持平衡。 5. 5. 生物死亡后，不再吸收生物死亡后，不再吸收1414C C，则体内的，则体内的1414C C将由于蜕将由于蜕变，在体内的比例数将逐渐降低。变，在体内的比例数将逐渐降低。 6. 6. 利用死亡的生物体内利用死亡的生物体内1414C C的含量就可以测定死亡的的含量就可以测定死亡的时间。时间。 分析：分析： N(t)=N0e-(t-t0), N(t0)=N0. 则则 t t0= lnN0/N(t)/. 如果生物体在如果生物体在 t = tt = t0 0埋葬时死亡埋葬时死亡, , 则有则有 N N0

28、0=N=N* *。 如果在如果在 t = tt = t1 1 时被发掘出土，时被发掘出土， 可以得到埋葬时间可以得到埋葬时间 t1-t0 = ln N*/N(t1) / 例例1.1.马王堆古尸年代的估计。马王堆古尸年代的估计。 假设：假设： 1.1.马王堆墓葬的年代生物体中马王堆墓葬的年代生物体中1414C C的平衡数量与现代生物的平衡数量与现代生物体中体中1414C C的平衡数量相同；的平衡数量相同； 2. 2. 1414C C的放射速率的放射速率x x正比与正比与1414C C的含量的含量; ; 3. 3. 出土的木炭是在墓葬的当时出土的木炭是在墓葬的当时(t = t(t = t0 0 时

29、时) )被砍伐烧成的被砍伐烧成的, , 之前其中的之前其中的1414C C处于平衡状态。处于平衡状态。 当当 t tt t0 0 时木炭内的时木炭内的1414C C将按模型将按模型 N= - NN= - N，N(0)=NN(0)=N* * 衰减衰减, , 如果墓葬在如果墓葬在t = tt = t1 1 时出土时出土, , 用当时新砍伐烧成的木炭中的用当时新砍伐烧成的木炭中的1414C C的的( (平平衡衡) )含量估计墓葬的当时木炭内含量估计墓葬的当时木炭内1414C C的平的平衡量。衡量。 在出土墓葬时同时还测量了墓葬中的木炭样本在出土墓葬时同时还测量了墓葬中的木炭样本中放射中放射14C 的

30、放射性衰变物的速率为的放射性衰变物的速率为29.78次次/分分. 当时还新砍伐了木材而且烧成木炭，并且测当时还新砍伐了木材而且烧成木炭，并且测量了其中放射量了其中放射14C 衰变物的速率为衰变物的速率为 38.37次次/分分.将观测值代入可以算出将观测值代入可以算出t1ln(38.3729.78)57300.6931 2095结论表明墓葬是在两千多年入土的，大约是在结论表明墓葬是在两千多年入土的，大约是在公元前公元前120年左右西汉中期年左右西汉中期. 其他出土的资料也其他出土的资料也证明了这个计算结果的正确性证明了这个计算结果的正确性2.地质年代的测定地球的年龄有多大？为简单起见，只考虑到放射性元素直接衰变为稳定为简单起见，只考虑到放射性元素直接衰变为稳定的生成物且总量没有改变的情况。的生成物且总量没有改变的情况。令令 N(t)和和D(t) 分别表示分别表示t时刻放射性元素及其稳定时刻放射性元素及其稳定生成物的数量，生成物的数量，N0 和和 D0 分别为它们的初始量分别为它们的初始量. 则则有有N(t)+D(t)= N0+D0. 注意到（注意到（2）可以写为）可以写为 N0 = N(t) et 这个式子还可以写为这个式子还可