理论力学课件：12动量矩

1、动量矩动量矩2动量矩动量矩3质点系质点系对定点对定点“O”的动量矩的动量矩等于等于质系总动量对质系总动量对定点定点“O”之矩之矩加上加上质点系相对于质心的动量矩质点系相对于质心的动量矩 CCCOLvMrL xyOmiCrrrarx1y1C 质点系对固定点质点系对固定点“O”的动量矩的动量矩与与 相对于质心的动量矩之间的关系相对于质心的动量矩之间的关系复习复习动量矩动量矩4zvdm rA定轴转动刚体对该定轴的动量矩定轴转动刚体对该定轴的动量矩J z 为刚体对该轴的转动惯量。为刚体对该轴的转动惯量。 zzJL平面运动刚体平面运动刚体对面内对面内固定点固定点“O”的动量矩：的动量矩： CCzzOJv

2、mmLL)(转向相同时，取同号；反之，取异号转向相同时，取同号；反之，取异号动量矩动量矩5一质点系的动量矩定理一质点系的动量矩定理rvmxyOz)(rmmomFiiiOvmrL 对时间求导对时间求导 iiivmr右端项与质点受力的关系为：右端项与质点受力的关系为： )()(i).) ()(eiieiiiiiiFrFFrrmr iiirmr.iiiiiiOvmrvmrL 动量矩动量矩6即：即： )(FMFrdtLdOeiO 质点系对任一固定点的质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数动量矩对时间的导数，等于作，等于作用在质点系上所有用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量合。外力对同一点之矩的矢量合

3、。 zzzyyyxxxMFmdtdLMFmdtdLMFmdtdL)()()(将上式向固定轴（如：三个直角坐标轴）投影，得：将上式向固定轴（如：三个直角坐标轴）投影，得： 定理说明定理说明内力内力不会不会改变改变质点系的质点系的动量矩动量矩，只，只有有外力外力才能改变才能改变质点系的质点系的动量矩动量矩。动量矩动量矩7二、质点系的动量矩守恒二、质点系的动量矩守恒0 zM当当时，时， zL常量。常量。0 OM当当时，时， OL常矢量。常矢量。三、三、刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 )()(FmJdtJddtdLzzzz )(FmJJzzz 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程解决两类

4、问题解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。动量矩动量矩8 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，的数学形式，而对于质心以外的其它动点，而对于质心以外的其它动点，一般不存在一般不存在这种简这种简单的关系。单的关系。四、质点系相对质心四、质点系相对质心 “ C ” 的动量矩定理：的动量矩定理： 质点系相对于质心的动量矩的质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力

5、改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。有关，而与内力无关。 )(FMFrdtLdCeirCxyOmiCrirriarx1y1CeiOFrdtLd )(eiCFaM dtLvMrddtLdCCCO)( dtLdaMrCCC 0dtLdaMrvMvCCCCC eiFr )(FMMarCCC eireCFrFrdtLdC )(FMFrCeirCCCOLvMrL )(eirCFrr xyOmiCrirriarx1y1CxyOxyOmimiCrCrirriarx1y1Cx1y1C动量矩动量矩10五、平面运动刚体相对质心五、平面运动刚体相对质心 “ C ” 的动量矩定理：的动量矩定理： )()

6、(FmJJdtJddtdLCCCCC )(FmJJCCC 六、刚体平面运动微分方程：六、刚体平面运动微分方程：)(eiCCFaMrM )()()(321tftfytfxAA )(FmJJCCC 平 面 运 动 微 分 方 程平 面 运 动 微 分 方 程 .动量矩动量矩111. 直角坐标式：直角坐标式： CCCeiyCCyeixCCxMJJFyMMaFxMMa )()(2. 自然坐标式：自然坐标式： CCCninCiCMJJFMaFMa 动量矩动量矩121111FrMJ 211?JJM FFNNM11 2 221221?)(rrmJJM 222FrJ 2211rr 2211 rrFrrJ 22

7、112 22212111rrJJM AA Aa AaO1O2思考题思考题11-4动量矩动量矩1312211MJJ FFNNM11 2 AA Aa AaO1O2 )(FmJJCCC 12211MJJ 动量矩动量矩14M11 2 AAO1O21?22212211)(MrrmJJ )(FMFrdtLdOeiOF2F2xF2y动量矩动量矩15 AF2F2xF2y )(FmJJCCC 平动平动1 AF12aAMF21a2 MRFJfN , Fmg-N FmaA11111110 RFJfN , Fmg-N F FmaA22222220N1N22211RaRa F思考题思考题11-7动量矩动量矩1711 R

8、v 11Ra 1v1 P瞬心瞬心dtRddtdv)(11 动量矩动量矩18 MRFJfN , Fmg-N FmaA11111110 RFJfN , Fmg-N P FmaA222222202211RaRa 1)(FJRmRJMmRAA 12 mRJRP FA动量矩动量矩19MAB 2/00AyAxACyABAxACxABABFm JamamamamABABCCCxaCyaABAAyaAxaACCC:AB质心质心CC :系统质心系统质心MAxFAxFAyFAyFAAB M JFamFamAAAAyAyAAxAxA:轮轮CCxaCyaABAAyaAxa 2/AyAyCyABAxCxABABF JF

9、amFamABC动量矩动量矩21 M JFamFamABABCAyCyABAxCxAB: 0:AyAyAAxAxAAA JFamFamA轮轮MAxFAxFAyFAyFAABCCxaCyaABAAyaAxa动量矩动量矩222aAF2 FeRFJmg-N F FmaA222220N222Ra F2eemrJA r1r2ABz解：分析小球受力。解：分析小球受力。v2v1 思考题：思考题： 小球系于线的一端，线穿过铅直小孔，力小球系于线的一端，线穿过铅直小孔，力F将线缓慢向下拉。开始时，小球以匀速将线缓慢向下拉。开始时，小球以匀速v1沿半径为沿半径为r1的的圆周运动，求当小球被拉至圆周运动，求当小球被

10、拉至B处处(2r2=r1)时的速度时的速度v2 。FMZ(F(e) = 0， LZ = const !初瞬时初瞬时(A处处)，LZA = mv1r1，B处，处，LZB = mv2r2， mv1r1 = mv2r2得：得：v2 = 2v1mgT而而 r1 =2r2动量矩动量矩24解解: 取整个系统为研究对象，取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。受力分析如图示。 运动分析：运动分析：rPPrPrPMBABAO)( OBAOJrvgPrvgPL 212rgPJO 例例1. 均质圆盘重为均质圆盘重为P，半径为，半径为r ，绕，绕O轴无摩擦转动，其上吊着的轴无摩擦转动，其上吊着的两个重物两个重物 P

11、APB ，试求圆盘的角加速度，试求圆盘的角加速度。 rv ra )2( 2PPPgrLBAO 动量矩动量矩25由动量矩定理：由动量矩定理：rPPPPPgrdtdBABA)()2(2 2/PPPPPrgdtdBABA rPPrPrPMBABAO)( )2( 2PPPgrLBAO 动量矩动量矩26解解: 0)(FmOrvvmrvmABAA)(0 2vvA 猴猴A与猴与猴B向上的绝对速度是一样的向上的绝对速度是一样的,均为均为 。2v例例2. 已知：猴子已知：猴子A重重=猴子猴子B重，猴重，猴B以相对绳速度以相对绳速度上爬，猴上爬，猴A不动，问当猴不动，问当猴B向上爬时，猴向上爬时，猴A将如何动？将

12、如何动？动的速度多大？（轮重不计）动的速度多大？（轮重不计）v系统的动量矩守恒。系统的动量矩守恒。动量矩动量矩27问此种解法是否正确？问此种解法是否正确？为什么？为什么？已知均质轮已知均质轮O1，半径，半径R1，质量为，质量为m1; 均质轮均质轮O2，半径，半径R2，质量为，质量为m2，主动力矩主动力矩M，阻力矩阻力矩Mf，求求1。思考题思考题1O1O2MMf222111 JJLo foMMJJdtdL 22111 动量矩动量矩28问此种解法是否正确？问此种解法是否正确？为什么？为什么？222212111)( mOOJJLo foMMdtdL 11O1O2MMf2 对O1轮，有T1T1T2T2

13、 对O2轮，有正确解法MMfO1O2R2MMfMMfMMf 1 2R1 补充方程：且：将R2+R1可解得：T1T1T2T2T1T1T2T2T1T1T2T2例例3 3 ：卷扬机的传动轮系如图，设轴：卷扬机的传动轮系如图，设轴和和各转动部分对其轴的各转动部分对其轴的转动惯量分别为转动惯量分别为J1，J2，已知主动力矩，已知主动力矩M，提升重物为，提升重物为 W = mg，齿轮齿轮A、B节圆半径为节圆半径为r1、r2，卷筒半径为，卷筒半径为R，不计摩擦及绳质量，不计摩擦及绳质量，求重物的加速度。求重物的加速度。 分析：本题中有两根固定轴，分析：本题中有两根固定轴，必须分开考虑。分别以两轴必须分开考虑

14、。分别以两轴及与之固连的齿轮为研究对及与之固连的齿轮为研究对象，用对定轴的动量矩定理象，用对定轴的动量矩定理求解。求解。WMACBBr2RCMAr1解：解：研究轴研究轴及重物系统及重物系统(J2+mR2) 2 =Pr2 mgR 研究轴研究轴及轴上的齿轮，及轴上的齿轮，（约定以（约定以转向为正）。转向为正）。设设 1与与M同向，同向，受力如图。受力如图。XYPPnGPnPW 2XYG1补充方程：补充方程：解得：解得：重物上升重物上升的加速度为的加速度为由由 得得 zzMJ1 rPMJz 1 例例4 . 质量为质量为m半径为半径为R的均质圆轮置放于倾角为的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上，的斜面上，

15、在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为摩擦系数为f、f ，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。解：取轮为研究对象。解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。受力分析如图示。由由式得式得 cosmgN 式中含有四个未知数式中含有四个未知数aC 、F F、（角加速度） 、N N ，需补充附加条需补充附加条件 。件 。 . .一般情况下轮作平面运动。一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程，有根据平面运动微分方程，有FmgmaC sinNmg cos 0FRJC NFmgCa Oxy 运动分析：取

16、直角坐标系运动分析：取直角坐标系 Oxy a C y = 0，a C x = a C动量矩动量矩331设接触面绝对光滑：设接触面绝对光滑：0 F sin32gaC 2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，设接触面足够粗糙。轮作纯滚动， 所以可解得所以可解得, raC FmgmaC sinFRJC 因为轮由静止开始运动，故因为轮由静止开始运动，故 0，轮沿斜面平动下滑。，轮沿斜面平动下滑。 sin gaC 常量。常量。 , 0 sin31 ; sin32 mgFgR NFmgCa OxygfaC)cos(sin 轮作纯滚动的条件：轮作纯滚动的条件： cossin31maxfmgFmgF tg31 f表明

17、：当表明：当 时，解答时，解答3适用；适用； 当当 时，解答时，解答2适用；适用；f =0 时解答时解答1适用。适用。 tg31 f tg31 fFmgmaC sinFRJC 3设轮与斜面间有滑动，又滚动。设轮与斜面间有滑动，又滚动。 F= f N，可解得：可解得： cos2 Rgf cos mgfF NFmgCa Oxy例例5. 均质圆柱，半径为均质圆柱，半径为r，重量为，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速，置圆柱于墙角。初始角速度度 0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。阻不计，求使圆柱停

18、止转动所需要的时间。解：选取圆柱为研究对象。解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个注意只是一个刚体刚体)受力分析如图示。受力分析如图示。运动分析：质心运动分析：质心C 不动，刚体绕质心转动。不动，刚体绕质心转动。根据刚体平面运动微分方程根据刚体平面运动微分方程)0 , 0( CyCxaaBAFN 0QNFBA 0rFrFdtdrgQBA 212 补充方程：补充方程：BBAANfFNfF , 0)1(2 QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222 fQfFfQfNfQfFfQNAABB , 2112rgfffdtd 解得：解得：) 1( 2)1(02fgfrft BAFN 0QNFBA 0r

19、FrFdtdrgQBA 212 补充方程：补充方程：BBAANfFNfF , tdtffrgfd020112 0 动量矩动量矩37例例6 . 两根质量各为两根质量各为8 kg的均质细杆固连成的均质细杆固连成T 字型，可绕通过字型，可绕通过O点的水平轴转动，当点的水平轴转动，当OA处于水平位置时处于水平位置时, T 形杆具有角速度形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承。求该瞬时轴承O的反力。的反力。解：选解：选T 字型杆为研究对象。字型杆为研究对象。受力分析如图示。受力分析如图示。 rad/s 20.75 5 . 08 . 9825. 08 . 98 5 . 08121722 5 . 0

20、25. 0 mgmgJO 2222121712131mlmlmlmlJO 由定轴转动微分方程由定轴转动微分方程动量矩动量矩38根据质心运动微分方程，得根据质心运动微分方程，得OxCxCXmama 21mgmgYmamaOyCyC 21N 96) 5 . 04 25. 04 ( 8)( 2221 xCxCOaamXN 3 .32 ) 5 . 075.20 25. 075.20 ( 88 . 982 OY动量矩动量矩39例例7. 均质圆柱体均质圆柱体A和和B的重量均为的重量均为P，半径均为，半径均为r，一绳缠在，一绳缠在绕固定轴绕固定轴O转动的圆柱转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重上，绳重不计且不可伸长，不计轴不计且不可伸长，不计轴O处处摩擦。摩擦。求：求： 圆柱圆柱B下落时质心的加速度。下落时质心的加速度。 若在圆柱体若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么，试问在什么条件下圆柱条件下圆柱B的质心将上升。的质心将上升。动量矩动量矩40选圆柱选圆柱B为研究对象为研究对象rTrgPB212 TPagPC 运动学关系：运动学关系：BACrra TrrgPA 221解：选圆柱解：选圆柱A为研究对象为研究对象由由、式得