理论力学课件：12 动能定理

1、第十二章第十二章动动 能能 定定 理理12-1 12-1 力的功力的功 一、一、常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功sFsFWcos二、变力在曲线运动中的功二、变力在曲线运动中的功cosWFdsdWFr元功元功ddddxyzFF iFjF krx iyjzk记记dddxyzWF xF yF z221112dMMMMWWF r 1212()iiiWm g zz 1.1.重力的功重力的功质点系质点系iiCzmmz由由重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。)(2112CCzzmgW得得)(d211221zzmgzmgWzz0 xyzFFFmg 三、几种常

2、见力的功三、几种常见力的功质点质点2.2.弹性力的功弹性力的功弹簧刚度系数弹簧刚度系数k( (N/m) )弹性力的功为弹性力的功为210()dArAk rl er2112dAAWFr211ddd()d()d22rrerrrrrrrrrrlrkWrrd)(01221得得)(2222112kW即即022011,lrlr弹性力的功也与路径无关弹性力的功也与路径无关2112dzWM3. 3. 定轴转动刚物体上作用力的功定轴转动刚物体上作用力的功)(1212zMW则则zM若若 常量常量dddttWFrF sFR由由RFMtzdzWM从角从角 转动到角转动到角 过程中力过程中力 的功的功为为12F4. 4

3、. 任意运动刚体上力系的功任意运动刚体上力系的功 无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功的代数和。的代数和。 对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，有系中所有力所作元功的和，有 ddiRCCWWFrM平面运动刚体平面运动刚体 ddRCCWFrM说明说明:1.:

4、1.对任何运动的刚体对任何运动的刚体, ,上述结论都适用上述结论都适用; ; 2.2.C点不是质心点不是质心, ,而是刚体上任意一点时而是刚体上任意一点时, ,上述结论也成立上述结论也成立 3. 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。 221112RddCCCCWFrM当质心由当质心由 , ,转角由转角由 时时, ,力系的功力系的功为为21 CC211WF s 20W 112WWWF s 思考：1WF R 20W 112WWWF R 已知已知: :均质圆盘均质圆盘R ,m ,F =常量常量, ,且很大且很大, ,使使O 向右运动向右运动

5、, , f , 初静止初静止。求求: O 走过走过S 路程时力的功。路程时力的功。 例例12-112-1 F 重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力F作功，作功，将力将力F向质心简化，得向质心简化，得解：解：2CWF sMFsCFSPFNF12-2 12-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能212iiTmv2.2.质点系的动能质点系的动能1.1.质点的动能质点的动能212Tmv（1 1）平移刚体的动能）平移刚体的动能iCimvvmTi222121221CmvT 即即 22222212121iiiiiirmrmvmT（2 2）定轴转动刚体的动能）定轴

6、转动刚体的动能221zJT 即即 22211()22PCTJJmd 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和的动能之和. .222121CCJmvT得得速度瞬心为速度瞬心为P（3 3）平面运动刚体的动能）平面运动刚体的动能 对于任意质点系（可以是非刚体）的任意运动，质点对于任意质点系（可以是非刚体）的任意运动，质点系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动能与相对于系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动能与相对于质心平移坐标系运动的动能之和。质心平移坐标系运动的动能之和。ddv trddvmFt将将 两端点乘两端点乘 , ,

7、21dd(),d2mvvmvFrW12-3 12-3 动能定理动能定理1.1.质点的动能定理质点的动能定理21d()2mvW因此因此ddmvvFr得得质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。质点动能定理的微分形式质点动能定理的微分形式2221121122mvmvW质点动能定理的积分形式质点动能定理的积分形式 在质点运动的某个过程中在质点运动的某个过程中, ,质点动能的改变量等于作用质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功于质点的力作的功. .2.2.质点系的动能定理质点系的动能定理质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和质点系动能的增量，等

8、于作用于质点系全部力所作的元功的和. . 由由21d()2iiim vW21d()2iiim vWdiTW得得质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式21iTTW质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式 质点系在某一段运动过程中质点系在某一段运动过程中, ,起点和终点的动能改变量起点和终点的动能改变量, ,等于等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和. .3.3.理想约束及内力的功理想约束及内力的功 光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等约束的约束力作功等于零索等约束的约束

9、力作功等于零. .称约束力作功等于零的约束为称约束力作功等于零的约束为理想约束理想约束. .对理想约束对理想约束, ,在动能定理中只计入主动力的功即可在动能定理中只计入主动力的功即可. .内力作功之和不一定等于零内力作功之和不一定等于零. .当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？思考：思考：为什么？已知已知: :m, h, k, 其它质量不计其它质量不计. .max求求: : 例例12-212-2 解解: :120,0TTmax2max2)(00khmgkmghgmkkmg2122max已知：轮已知：轮O ：R1 ，m1 1 , ,质量

10、分布在轮缘上质量分布在轮缘上; ; 均质轮均质轮C ：R2 2 ， m2 2 ，纯滚动，纯滚动, , 初始静止初始静止 ; ; , ,M 为常力偶。为常力偶。求求: :轮心轮心C 走过路程走过路程s 时的速度和加速度时的速度和加速度例例12-312-3122sinWMm gs01T22222211122222111 1()()222 2Tm Rm vm R轮轮C与轮与轮O共同作为一个质点系共同作为一个质点系解解:1212,CCvvRR1212TTW2212sin(23)4CvMm gsmm)(a1sR21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm式式(a)(a)是函数关系式，两端对是函

11、数关系式，两端对t 求导求导, ,得得12211(23)sin2CCCCvmm v aMm gvR211212 (sin )(23)CMm gRamm R求求: :冲断试件需用的能量。冲断试件需用的能量。 701 292已知已知: :冲击试验机冲击试验机m=18kg, l=840mm, , 杆重不计，在杆重不计，在 时静止释放，冲断试件后摆至时静止释放，冲断试件后摆至例例12-412-4k78.92JW 得冲断试件需要的能量为得冲断试件需要的能量为0, 021TT)cos1 (001mgl2k(1 cos)mglW解解: :kkWA冲击韧度：冲击韧度：衡量材料抵抗冲击能力的指标。衡量材料抵抗冲

12、击能力的指标。 例例12-512-5已知已知: :均质圆盘均质圆盘R ,m ,F=常量常量, ,且很大且很大, ,使使O 向右运动向右运动, , f , ,初静止。初静止。 求求: :O 走过走过S 路程时路程时， 。0vR01T圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为C 2222200113()2224mRTmvmv 解解: :12TTW20324FSmgfsmv)(a2WFsmgfs02(2)3svFmgfm将式将式( (a) )两端对两端对t t 求导求导, ,并利用并利用00,varr)2(320mgfFma得得21,OO已知已知: , : , 均质均质; ;杆杆m 均质均质, , = =l ,

13、, M= =常量常量, ,纯滚动纯滚动, ,处于处于水平面内水平面内, ,初始静止初始静止. . 21OO1r1m例例12-612-6求求: : 转过转过角的角的21OO, 01T221)233(21lmm研究整个系统研究整个系统),(1101101rlrl22112011222)2(2121)3(21rmmmlT解解: :MW WTT12221)233(21lmmM)(a21)92(12lmmM求导得求导得21)92(6lmmM注意注意: :轮轮、接触点接触点C是理想约束是理想约束, ,其摩擦力其摩擦力Fs尽管在尽管在空间是移动的空间是移动的, ,但作用于速度瞬心但作用于速度瞬心, ,故不作

14、功故不作功. .已知已知: :均质杆均质杆OB= =AB= =l, , m，在铅垂面内在铅垂面内; ;M= =常量常量, ,初始静止初始静止, , 不计摩擦不计摩擦. . 求求: :当当A 运动到运动到O点时点时, ,Av ？例例12-712-701TABABClCC23,BBABOBvvllOBAB2)cos1 (2lmgMW解解: :2AABvl2212ABOBCTTTmv2234ABml2022121OBABCJJ12TTW)cos1 (321mglMmlAB提问：提问：是否可以利用求导求此瞬时的角加速度？是否可以利用求导求此瞬时的角加速度？ dWPt12-4 12-4 功率、功率方程、

15、机械效率功率、功率方程、机械效率 ddtrPFF vFvt1.1.功率功率：单位时间力所作的功单位时间力所作的功. .即即: :功率等于切向力与力作用点速度的乘积功率等于切向力与力作用点速度的乘积. . 由由 , ,得得dWFr作用在转动刚体上的力的功率为作用在转动刚体上的力的功率为dddzzWPMMtt单位单位W（瓦特）（瓦特）, ,1 1W=1=1J/S2.2.功率方程功率方程11dddnniiiiWTPtt功率方程功率方程: :即质点系动能对时间的一阶导数即质点系动能对时间的一阶导数, ,等于作用于质点等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和系的所有力的功率的代数和. .无用有用输入PP

16、PtTdd或或ddTPPPt无用输入有用车床车床3.3.机械效率机械效率机械效率机械效率 输入有效PP有效功率有效功率 tTPPdd有用有效多级传动系统多级传动系统 12n例例12-8 12-8 求求: :切削力切削力F的最大值。的最大值。5.4kW,P输入%30输入无用PP100mm,42 /min, 112 /mindnnrr已知已知: :解解: :2 30dnPFvF有用6060 3.7817.19kN 0.1 42FPdn有用当当min/r112n时时60 3.786.45kN 0.1 112FkW78. 3无用输入有用PPP已知已知 : :m ，l0 ，k ， R ， J。求求: :

17、系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。例例12-9 12-9 sR解解: :2dd21tsmT22dd21tsRJmdd,ddssPmgPkstt 重力弹性力2dd21tJddTPPt重力弹性力tskstsmgtstsRJmdddddddd222ksmgtsRJm222dd令令 为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即mg= =k , ,以平衡位置为原点以平衡位置为原点000sx2022ddJxmmgkkxRtkx 0dd222kxtxRJm12-5 12-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律 1.1.势力场势力场势力场势力场( (保守力场保守力场) ): :力的功只与力

18、作用点的始、末位置有关力的功只与力作用点的始、末位置有关, , 与路径无关与路径无关. ., ,FF x y z 力场力场 : :一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由 所在位置确定的力的作用所在位置确定的力的作用. .势力场中势力场中, ,物体所受的力为有势力物体所受的力为有势力. .2.2.势能势能 在势力场中在势力场中, ,质点从点质点从点M运动到任意位置运动到任意位置M0,有势力所作有势力所作的功为质点在点的功为质点在点M相对于相对于M0的势能的势能. .（1 1）重力场中的势能）重力场中的势能00dZZVmg zmg zz0220

19、d2rrkVFr（2 2）弹性力场的势能）弹性力场的势能0,0为零势能点 则22kV 00ddddMMxyzMMVFrFxFyFz0M 称势能零点称势能零点 （3 3）万有引力场中的势能）万有引力场中的势能00122ddAArAAfm mVFrerrddrr由于有re112122111drrfm mVrfm mrrr取零势能点在无穷远取零势能点在无穷远 1rrmfmV210diiMiiMVFr质点系质点系00CCiiizzmgzzgmV重力场重力场（4 4）质点系受到多个有势力作用）质点系受到多个有势力作用质点系的零势能位置质点系的零势能位置: :各质点都处于其零势能点的一组位置各质点都处于其

20、零势能点的一组位置. .质点系的势能质点系的势能: :质点系从某位置到其零势能位置的运动过程质点系从某位置到其零势能位置的运动过程 中中, ,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能. .已知已知: :均质杆均质杆 l ,m , ,弹簧刚度系数弹簧刚度系数 k , , AB 水平时平衡，弹水平时平衡，弹 簧变形为簧变形为 . .0举例举例: :求求: :杆有微小摆角时系统势能杆有微小摆角时系统势能. . 重力以杆的水平位置为零势能位置重力以杆的水平位置为零势能位置, ,弹簧以自然位置弹簧以自然位置O为为 零势能位置零势能位置: :kgmlklmg

21、lkV821221222220kmg200( )02AlMFklmg2221212022020202lmgllkmghkV取杆平衡位置为零势能点取杆平衡位置为零势能点: :2221lkV即即质点系在势力场中运动质点系在势力场中运动, ,有势力功为有势力功为 2112VVW对于不同的零势能位置对于不同的零势能位置, ,系统的势能是不同的系统的势能是不同的. .3. 3. 机械能守恒定律机械能守恒定律 由由1212WTT 质点系仅在有势力作用下运动时质点系仅在有势力作用下运动时, ,机械能守恒机械能守恒. .此此类系统称类系统称保守系统保守系统. .2112VVW2211VTVT得得机械能机械能:

22、 :质点系在某瞬时动能和势能的代数和质点系在某瞬时动能和势能的代数和. .质点系仅在有势力作用下质点系仅在有势力作用下, ,有有非保守系统的机械能是不守恒的非保守系统的机械能是不守恒的. .已知：重物已知：重物m=250kg, 以以v=0.5m/s匀速下降，钢索匀速下降，钢索 k=3.35 N/m . 610求求: : 轮轮D突然卡住时，钢索的最大张力突然卡住时，钢索的最大张力. .例例12-10 12-10 stmgk10V 222maxmax2ststkVmg卡住前卡住前 卡住后卡住后 0,21221TmTkN45. 2mgkFst解解: :得得2maxstst1g2maxmaxstst1

23、116.9kNvvkFkkmgggm222maxstmaxstst20vg 即即由由 有有2211VTVTmaxstmg222maxst10022kmv20022021221JbkJ取水平位置为零势能位置取水平位置为零势能位置02220/ Jkb已知：已知：m, , k，水平位置平衡水平位置平衡 ，OD=CD=b。初角速初角速 度为度为 。O OJ0求：角速度与求：角速度与 角的关系。角的关系。解解:例例12-11 12-11 4. 4. 势力场的其他性质：势力场的其他性质：zVFyVFxVFzyx,(1)(1)有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于

24、该坐标 的偏导数冠以负号。的偏导数冠以负号。 （2 2）势能相等的点构成等势能面）势能相等的点构成等势能面 。 （3 3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。系统有多个有势力作用系统有多个有势力作用 ,xiyiziiiiVVVFFFxyz 等势能面不能相交。势能等于零的等势能面为零势能面。等势能面不能相交。势能等于零的等势能面为零势能面。 12-6 12-6 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用动量、动量矩动量、动量矩 动能动能矢量，有大小方向矢量，有大小方向内力不能使之改变内力不能使之改变只有外力能使之改变只有外力能使之改变约束力是外

25、力时对之有影响。不与约束力是外力时对之有影响。不与能量相互转化，应用时不考虑能量能量相互转化，应用时不考虑能量的转化与损失。的转化与损失。当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点当外力对定点O 或质心的主矩为零或质心的主矩为零时，系统对定点或者质心的动量矩时，系统对定点或者质心的动量矩守恒。守恒。动量定理描述质心的运动变化动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。运动变化。非负的标量，与方向无关非负的标量，与方向无关内力作功时可以改变动能内力作功时可以改变动能理想约束不影响动能理想约束不影响动能在保守系统中，

26、机械能守恒在保守系统中，机械能守恒动能定理描述质心运动及相对质动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。心运动中动能的变化。已知已知: :均质圆轮均质圆轮 m, , r, , R , ,纯滚动纯滚动. .求求: :轮心轮心的运动微分方程的运动微分方程. .例例1 1ddsPmg vmgt ddsmgt dsindsmgt 222113224CCCTmvJmv解解: :dsindsmgtddTPtd3d2sin4ddCCvsmvmgtt 032dd22rRgsts22ddtsCvrRs本题也可用机械能守恒定律求解本题也可用机械能守恒定律求解. .231 cos,4CVmg RrTmv0si

27、n32dd22gts得得0ddTVt已知已知: :两均质轮两均质轮m , ,R ; ; 物块物块m , ,纯滚动纯滚动, ,于弹簧原长处无于弹簧原长处无 初速释放，轮与地面间无滑动初速释放，轮与地面间无滑动. .求求: :重物下降重物下降h 时时, ,v，a 及滚轮与地面的摩擦力及滚轮与地面的摩擦力. .例例2 201T解解: :2222222211 111322 2222TmvmRmmRmv222221khmghhkmghW12TTW（a）22322mghkhmv223mgkh hvm将式（将式（a a）对）对t t 求导求导得得mkhga3432sd1d2vmRFF RtRkhF2其中其中

28、s14263mgFFmakh已知已知: : l, m，地面光滑地面光滑. .求求: :杆由铅直倒下杆由铅直倒下, ,刚到达地面时的角速度和地面约束力刚到达地面时的角速度和地面约束力. .例例3 32cosCCvvCPl解解: :01T22222111112223cosCCCTmvJmv22111 sin1223cosClmgmv133,2Cgvgll时时0(a)NCmgFma(b)(b)2N212ClmlFJtnCAC AC Aaaaat2CCAlaa(c)(c)N4mgF 已知已知: :轮轮I:I:r, m1 ; 轮轮III:III:r, m3 ; 轮轮II:II:R=2r, m2 ; 压力角（即齿轮压力角（即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为间作用力与图中两圆切线间的夹角）为2020度度, ,物块物块: :mA ;在轮在轮I I 上作用有力偶上作用有力偶M ，摩擦力不计摩擦力不计. .求求: :O1 , O2处的约束力处的约束力. .例例4 4其中其中122,21,221112rmJrrOA22211232111222OOOAATJJJm v解解: :23322221,21rmJRmJOOMddAWMmh其中其中d21drh ddTWt2,2121raArmmmmgrmMaAAA32144222研究研究I I轮轮2111t12AMm rMm raPrrnttta