第五章第五节PPT课件

1、1.公式法等差数列前等差数列前n n项和公式项和公式 S Sn n= = = =等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式 S Sn n= = 前前n n个个正整数之和正整数之和 1+2+ 1+2+n=+n=1n n1nad21nn aa21naa q,q11 qn1a 1 q1 q_,q=1n n12na1第1页/共56页前前n n个个正奇数之和正奇数之和 1+3+5+1+3+5+(2n-1)=_+(2n-1)=_ 前前n n个正整个正整数平方和数平方和 1 12 2+2+22 2+ +n+n2 2= =前前n n个正整个正整数立方和数立方和 1 13 3+2+23 3+ +n+n3 3=

2、=n n1 2n162n n12n2第2页/共56页2.裂项相消求和法把数列的通项分解为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法.3.错位相减求和法(1)适用的数列：anbn，其中数列an是公差为d的等差数列,bn是公比为q1的等比数列.第3页/共56页(2)方法：设Sn=a1b1+a2b2+anbn,则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1，-得：(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1，就转化为根据公式可求的和.第4页/共56页4.其他求和方法名称名称含义含义简单示例简单示例分解法分解法分解为基本数列求和分解为基本数列求和a an n=2=

3、2n n+(2n-1)+(2n-1)分组法分组法分为若干组整体求和分为若干组整体求和a an n=(-1)=(-1)n nn,n,求求S S2n2n倒序倒序相加法相加法把求和式倒序后两和式把求和式倒序后两和式相加相加函数函数f(x)f(x)图象关于点图象关于点(1,1)(1,1)对称，求对称，求f(-1)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)f(0)+f(1)+f(2)第5页/共56页判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn= 较为合理.( )(2)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn= ( )(3

4、)当n2时， ( )1nn aa21n 1aa.1 q21111().n12 n1n1第6页/共56页(4)求Sn=a+2a2+3a3+nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.( )(5)如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm=mSk.( )(6)如果数列an是公差d0的等差数列，则 ( )nn 11a ann 1111().d aa第7页/共56页【解析】(1)正确.根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知.(2)正确.根据等比数列的求和公式可知.(3)正确.直接验证或倒推可知正确.(4)错误.需要分a=0,a=1，以及a0且a1三种情况求

5、和.(5)正确.根据周期性可得.(6)正确.直接验证或倒推可得.答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6)第8页/共56页1.等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1=1，则S4=_.【解析】4a1，2a2，a3成等差数列，4a1+a3=4a2，即4a1+a1q2=4a1q,q2-4q+4=0,q=2,S4=15.答案：15第9页/共56页2.等差数列an的通项公式为an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列 的前10项和为_.【解析】因为等差数列an的通项公式为an=2n+1，所以Sn=n2+2n,所以 n+2，3+4+5+1275.答案：75nSnnS

6、n第10页/共56页3.数列an的通项公式an=2n-(-1)n，设此数列的前n项和为Sn，则S10S21S100的值是_.【解析】当n为奇数时，an=2(n+1)；当n为偶数时，an=2(n-1)，故有S10= =60+50=110,S21= =464,S100= 50=10 100.故S10S21S100=9 746.答案：9 7464202185522 444238111022420021985022第11页/共56页4.一个数列an，当n是奇数时，an=5n+1；当n为偶数时，an= ，则这个数列的前2m项的和是_.【解析】所有奇数项的和S1=6m+ =5m2+m，所有偶数项的和S2=

7、 =2m+1-2，两部分相加即得.答案：2m+1+5m2+m-2n2210m m 12m2 212 1第12页/共56页5.在数列an中，a1= ，Sn为数列an的前n项和且Sn=n(2n-1)an，则Sn=_.【解析】因为Sn=n(2n-1)an，Sn-1=(n-1)(2n-3)an-1(n2),两式相减Sn-Sn-1=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1(n2),即an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1(n2),即n(2n-1)-1an=(n-1)(2n-3)an-1(n2),即(2n+1)(n-1)an=(n-1)(2n-3)an-1(n2),即(2n+1

8、)an=(2n-3)an-1(n2),13第13页/共56页即 (n2),所以Sn=n(2n-1)an=答案：nn 1a2n3a2n1nn 1n 22n1n 1n 2n 31aaaaaaaaaa2n3 2n5 2n71 12n1 2n1 2n35 32n32n5 (2n7)5 3 112n1 (2n1)2n3 (2n5)5 31.2n12n1n.2n1n2n1第14页/共56页考向 1 公式求和法 【典例1】(1)(2013南通模拟)已知数列an的前n项和Sn=32n-n2，求数列|an|的前n项和Tn.(2)已知数列an的通项公式是an=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)

9、nnln 3，求其前n项和Sn.【思路点拨】(1)根据数列an的前n项和可得数列an的通项公式，根据求出的通项公式把数列|an|分段求解.(2)由于存在(-1)n，按照n为奇数和偶数分别求解.第15页/共56页【规范解答】(1)当n=1时，a1=S1=31，当n2时，an=Sn-Sn-1=33-2n，an=33-2n(nN*)，即数列an是公差为-2，首项为31的等差数列，令an=33-2n0，则n16，故当0n16时，Tn=Sn=32n-n2；而当n17时，Tn=S16-(a17+a18+an)=-Sn+2S16，第16页/共56页即Tn=-32n+n2+2(3216-162)=n2-32n

10、+512，(2)Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+-1+2-3+(-1)nnln 3，所以当n为偶数时，2n232nn 0n16Tn32n512n17.，nnn1 3nnS2ln 33ln 3 11 322；第17页/共56页当n为奇数时，= ln 3-ln 2-1.综上所述，nn1 3n1S2ln 2ln 3(n)ln 31 32nn132nnnn3ln 3 1n2Sn13ln 3ln 2 1,n.2， 为偶数，为奇数第18页/共56页【拓展提升】几类可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可

11、以使用等差数列、等比数列的求和公式求解.(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式.(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列乘以(-1)n.第19页/共56页【变式训练】(1)在等差数列an中，a1=-60，a17=-12,求其前30项的绝对值之和.【解析】设等差数列的前n项和为Sn，前n项的绝对值之和为Sn，由-60+16d=-12得d=3，an=-60+3(n-1)=3n-63，第20页/共56页由此可知当n20时，an2时，Sn=1- bn,Sn-1=1- bn-1,两式相减得bn= bn-1- bn, ,所以bn是等比数列

12、，5121aa4d9,aad3，1a1,d2，12122312121212nn 1b1b3n 1n1n12bb( ).33第37页/共56页(2)cn=anbn=两式相减得：所以n4n2,3n1234 124224 32T333 n 1n4n124n2,33n012n 2n 14n124 124224 324n23T,33333 n12n 1n4444n22T23333n4n44,3nn2n2T2.3第38页/共56页【满分指导】解答数列求和问题【典例】(14分)(2012江西高考)已知数列an的前n项和Sn=- n2+kn(其中kN*),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，求an.(2)求

13、数列 的前n项和Tn.12nn92a2第39页/共56页【思路点拨】第40页/共56页【规范解答】(1)当n=k，kN*时，Sn=- n2+kn取最大值，即8=Sk=- k2+k2= k2，2分故k2=16，因此k=4,3分从而an=Sn-Sn-1= -n(n2).又a1=S1= ,适合an= -n，5分所以an= -n.6分12121292729292第41页/共56页(2)设bn= ，8分Tn=b1+b2+bn=2Tn= 10分所以Tn=2Tn-Tn 14分nnn 192an222n 2n 123n1n12222，01n 3n 223n1n2,2222n 2n 111n21222 n 2n

14、 1n 11nn244.222第42页/共56页【失分警示】(下文见规范解答过程)第43页/共56页1.(2013扬州模拟)已知an为等差数列，a3=7,a1+a7=10,Sn为其前n项和，则使得Sn达到最大值的n等于_.【解析】设公差为d,则由题意知an=13-2n,a6=10,a7=-11时，an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1)，则a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2)， ，c=2.a2=4，即k(c2-c1)=4，解得k=2，an=2n(n1)，当n=1时，a1=S1=2，综上所述an=2n(nN*).6536323accc8acc第48页/共56页(2)nan=n2n，则

15、Tn=2+222+323+n2n2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1-得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1，Tn=2+(n-1)2n+1.第49页/共56页1.若数列an满足 =d(nN*，d为常数)，则称数列an为“调和数列”.已知正项数列 为“调和数列”，且b1+b2+b9=90，则b4b6的最大值是_.【解析】由已知得bn为等差数列，且b4+b6=20,又bn0,所以b4b6答案：100n 1n11aan1b246bb100.2（）第50页/共56页2.已知数列an满足a1= ，且对任意的正整数m,n都有am+n=aman，若数列an的前n项和为Sn，则Sn=_.【解析】对m=1等式am+n=aman也成立，即an+1= an，所以数列an是首项为 ，公比为 的等比数列，所以Sn=答案：23232323n22133213 （ ） n 1n22.3n 1n223第51页/共56页3.在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n.(1)设 .证明：数列bn是等差数列.(2)求数