第五章相似矩阵PPT课件

1、3. 3. 求一般矩阵A的特征值的方法。2. 2. 对类似上述特殊矩阵，较容易直接得到方程 的解X和数 。但对一般方阵A而言， 是绝大多数非零向量难以满足的方程，仅从矩阵A不容易直接看出它的特征值和特征向量。XAX XAX 将（5.15.1）式变形为： . 0)( XAI （5.25.2） 第1页/共36页4.4.特征多项式 注 ： 是 一 个 次 多 项 式 ， 方 程 在复数域内必有n个根，它们就是矩阵的全部特征值. . 从而n阶方阵在复数域内有n个特征值. .则齐次线性方程组（5.25.2）有非零解的充要条件是.0| AI 0|212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA

2、即即为了方便起见，称 为矩阵A的特征多项式 |)(Af )( f0)( fn第2页/共36页例 求下面矩阵A的特征值。 466353331A解 ).4()2(466353331|2 AI得, 0| AI.4, 2321 第3页/共36页5.5.矩阵的特征值和矩阵的关系 定理5.1 设n阶方阵 的n个特征值为： 则nnijaA ,21n . |)1(21An .) 2(221121nnnaaa 证 （5.65.6）A A的特征多项式可表示为： ( (1 1）当 是的特征值时， nii,2, 1, )()()(|121nAI 121)(nnn .)1(21nn 令 niinnAA121.|,)1(

3、|, 0 即即得得第4页/共36页的行列式展开式中，主对角线上元素的乘积是其中一项：而行列式展开后，每项为取自于不同行不同列的 个元素乘积，展开式的其余项至多包含 个主对角线上元素. . 因此，特征多项式中含 和 的项只能在主对角元素乘积这一项中出现，故应有：（2 2）因为 nnnnnnaaaaaaaaaAI 212222111211| ).()()(2211nnaaa )2( nn 1 n |,|)1()(|12211AaaaAInnnnn 将它与（5.65.6）比较，即得 niiiniia11. n第5页/共36页求一般矩阵A的特征值 后，求方程组（5.25.2）的非零解，得到A的关于 的

4、全部特征向量。7.7.求一般矩阵A的对应特征值的特征向量的方法。推论 n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零.6.6.方阵A的迹 niiintiaAtr11 ）（i i 第6页/共36页例2 求下面矩阵A的特征值和特征向量。 466353331A解 ).4()2(466353331|2 AI第7页/共36页由 ，得得解0| AI .4, 2321 ，即即时时当当0)2( ,221 XAI ,000666333333 X,1,0, 10, 1, 1211TTkkX 因此，上式在 不同时为0 0时，给出 A A 关于 的全体特征向量 。21kk 与与2 第8页/共36页此时 是A的二重根，它

5、对应有二个线性无关的特征向量：2 .1, 0, 1,0, 1, 1 TT 给出A A关于 的全体特征向量. . 只对应一个线性无关的特征向量 求解得 即即，时时当当0)4( ,43 XAI ,000066393333 X.2, 1, 1 TkX 0 k4 4 .2, 1, 1 T第9页/共36页解 例3 求 的特征值和特征向量。266157113A.)4()2(266157113|2AI，得得由由0| AI .4, 2321即即，时时当当0)2( ,221 XAI ,000066177111 X第10页/共36页此时A A的二重特征值-2,-2,只对应一个线性无关的特征向量 问题：从上面例子可

6、以看到，的一个特征值对应着无穷多个特征向量. . 那么的一个重特征值对应着多少个线性无关的特征向量？而一个特征向量又能否对应不同的特征值？这都是有待讨论的问题. .求得特征向量：解得特征向量.0,0, 1, 1 kkXT.0, 1, 1 T即即，时时当当0)4(,4 XAI ,000666117117 X.0,1, 1, 0 kkXT第11页/共36页例4 4 设n n阶方阵A A满足等式 证明A A的特征值为1 1或0 0。证 设 特征值，则存在向量 由此A为为 ., 0XAXX 使使.)()(22XXAAXAXA 故故有有，又又AA 2,2XX ，AA 2. 0)(2 X 即即.01,0,

7、02或或即即所所以以因因此此 X第12页/共36页例5 设 是方阵A对应于特征向量X的特征值，证明：（1）对数 是 对应于特征向量X的特征值；（2）对正整数 是 对应于特征向量X的特征值；（3）若A是可逆的，则 是 对应于特征向量X的特征值。证 由题意，对向量 （1 1） ，即 是 对应于特征向量的特征值. .0,kkkA0lA01 1 A., 00XAXX X)k()AX(kX)kA(00 kkAlll0),2(第13页/共36页（3 3）A可逆时，由定理5.15.1的推论， 用 左乘两端 ，得（2 2） 对应于特征向量的特征值. .8. 8. 矩阵多项式 所以 对应于特征向量的特征值. .

8、ttttttttAXXAAXAXAAXAXA是即0022020101,)()(. 00 1 AXAX0 ,10XAX ,101XXA 即即101 A为为 .)(0111axaxaxaxgkkkk 多项式多项式则定义矩阵多项式.)(0111IaAaAaAaAgkkkk 第14页/共36页用例5的方法，读者可自证：若g（A）是矩阵多项式，值得注意的是， 和矩阵A的特征向量是一样的. . 的特征值，则为A0的特征值。为）（)(00110100Agaaaagkkkk1),( AAg第15页/共36页例6 设三阶方阵A的三个特征值分别为2，3，7，求行列式|5A+I|。解 当 是A的特征值时，由例5 5

9、， 是矩阵 的特征值，即矩阵 有特征值：由定理5.1 5.1 i )15( i )5(IA )5(IA , 175, 135, 125 6336) 175 () 135 () 125 (|5| IA第16页/共36页1.1. 特征向量的性质 ： 矩阵A关于特征值 的 m个特征向量 的任何非零线性组合 还是A关于 的特征向量特征向量的性质0mXXX,21001 miiiXk由定义易证 .第17页/共36页我们还要重点关注矩阵的特征向量的线性相关性。 定理5.2 5.2 设 是矩阵A的不同特征值所对应的特征向量，则 是线性无关的。rXXX,21r21X,X,X证 用数学归纳法对向量个数 施归纳证明

10、。设 为 对应于 与 两个特征向量，即r21, 2XXr与与 A12 .,21222111 XAXXAX为证 的线性无关性，令 ，得 21XX 与与, 02211 XkXk则有 , 0)(2221112211 XkXkXkXkA 1 , 0)(2212 Xk 因为 所以 同理可得即定理对 成立。 , 0, 0212 X. 02 k. 01 k2 r第18页/共36页设由归纳假设， 线性无关，因此 用A A左乘，得 又 从而 代入，得 ，得, 02211 rrXkXkXk, 0222111 rrrXkXkXk r. 0)()()(111222111 rrrrrrXkXkXk 121, rXXX.

11、 1, 2, 1, 0)( rikiri ,0 ir , 1, 2, 1, 0 riki. 0 rk定理得证. . 第19页/共36页定理5.4 设 是n阶方阵A的一个t重特征值，则 对应的特征向量中线性无关的最大个数t。定理5.45.4的证明超出了我们的范围，我们不证明该性质。 00定理5.3 矩阵A的s个不同特征值所对应的s组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。第20页/共36页 从以上定理可知，若A有n个互异的特征值，则每个 仅对应一个线性无关的特征向量，从而A共有n个线性无关的特征向量 若A的互异的特征值只有s个： ， 即有 其中，若A的 重特征值对应 个线性无关的特征向量，

12、必有 ，所以A共有 个线性无关的特征向量。 于是，n阶方阵A至多有n个线性无关的特征向量。）（nss ,21srsrrA）（）（）（ 2121|irikiirk nkisi 1第21页/共36页 5.2 矩阵相似对角化1. 矩阵相似的概念定义5.2 对n阶方阵A和B，若有可逆的n阶方阵P，使得 （5.8）则称A A和B B相似，或A A相似于B B，记为AB 。可逆矩阵P P称为相似变换矩阵。相似是方阵之间的一种关系，BAPP 1第22页/共36页2. 相似关系性质 （1）AA，（2）AB，则BA，（3）AB且BC，则AC。即它是一种等价关系。 证明 CPAPPPCPAPPPCBPPBAPPA

13、BPPBAPPAAII2112121111221211111111)(,)3()(,)2(;).1 (即第23页/共36页3. 相似的矩阵具有一些共性 定理5.5 设n阶方阵A和B相似，则有（1）（2）（3）A和B的特征多项式相同，即从而A和B的特征值相同。, ）（）（BrAr |,|BA |,|BA 证 性质（1）、（2）显然，下面只证明性质（3）。因 为 ， 故 存 在 可 逆 矩 阵 使 ，于是BA ,PBAPP 1. | | |)(|111AIPAIPPAIPAPPIBI 第24页/共36页矩阵相似对角形 1.矩阵相似问题矩阵相似的主要问题，是求一个可逆矩阵P，使 具有尽可能简单的形式

14、。所谓矩阵相似对角形，是希望选一个变换矩阵P，使 APP1（5.9） nAPP 211第25页/共36页2 2 相似对角化 定义5.3 对n阶方阵A，若存在可逆矩阵P，使（5.9）式成立，则称A相似于对角矩阵，也称矩阵A可相似对角化。 问题是如何确定可逆矩阵 P 和数 ，为此将（5.9）式变形为i,21 nPAP 将按列分块为 线性无关，代入上式，有nnXXXXXXP,2121 第26页/共36页,221121nnnXXXAXAXAX 因此 这说明可逆矩阵 的 个列 线性无关. 即相似于对角矩阵时， A A有n n个线性无关 的特征向量。再由上述过程的逆推导，可得到相似 于对角矩阵的结论. .

15、故有： ., 2, 1,niXAXii PnnXXX,21第27页/共36页 定理5.6 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 设有可逆阵P，使得 则 为A的n个特征值，而矩阵P的n个列向量是A的对应于这些特征值的n个线性无关的特征向量。 nAPP 211n ,21第28页/共36页 推论1 若n阶方阵A有n个互异的特征值，则A必相似于对角矩阵。 该推论只给出A相似于对角矩阵的一个充分条件，非必要条件。 如例2给出的矩阵A有二重特征值2，A有三个线性无关的特征向量，由定理5.6，A可相似于对角阵。 而例3中矩阵有和例2中矩阵有一样的特征值，但只有二个线性无关的特征向

16、量，故该矩阵就不能相似于对角矩阵。 例2与例3还提供了两个矩阵特征值一样，但并不相似的例子。第29页/共36页 推论2 n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是，A的每一个ti重特征值对应ti个线性无关的特征向量。A的 重特征值一定得对应 个线性无关的特征向量（以保证A有n个线性无关的特征向量），因而有:itit第30页/共36页例8 判断下列矩阵能否相似于对角矩阵，若能，则求相似变换矩阵解 （1）由 ;111011002)1(1 A.122212221)2(2 A1. 2, 1:0) 1)(2(|2132121 其其中中得得AI为二重特征值，又其秩 ,011001001)1(1 AI, 123)

17、AI1 (r3, 2)AI1 (r11第31页/共36页当 时， 得 故 只对应一个线性无关的特征向量，不能相似于对角形. （2）由 1 , 0)5()1(122212221|22 AI. 5, 1321 对应2 2个线性无关的特征向量，即 可对角化 所以 1 ,000000111222222222)1(2 AI1, 213) IA(r32故2A第32页/共36页得解 所以存在 为单特征值，它有且仅有一个线性无关的特征向量，由 对应的线性无关特征向量为 121 .1,0,1,0,1,1TT 53 , 0X)AI5(2. 1, 1, 1 T 110101111P.51121 PAP使使第33页/