函数背景下的不等式问题

1、学习必备欢迎下载函数背景下的不等式问题长沙市十五中高三数学备课组颜志明胡超祖贺祥邹文1.考纲要求* 函数（ 1）了解映射的概念，理解函数的概念。（ 2）了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法。（ 3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。（ 4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。（ 5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。（ 6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。* 不等式（ 1）理解不等式的性质及其证明。（ 2）掌握两个（不扩展

2、到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用（ 3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。（ 4）掌握简单不等式的解法。（ 5）理解不等式：ababab2. 函数与不等式的相依关系函数与不等式的关系实际上是等与不等的关系，等与不等的关系，既对立又统一， 相互依存。如含一个未知数的不等式均可化为fx 0 或 f x 0 的形式，这就是函数 yfx的函数值大于零或函数值小于零， 解不等式就是求函数值对应的 x 的范围。 对不等式的研究， 可以了解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及函数图象的形状、范围，同时不等式也是研究函数极值的重要工具， 可以说离开了不等式的

3、研究就认识不了函数。 函数是高中数学的基石，高等数学的灵魂，而不等式是研究函数的工具，它们是初等数学过渡到高等数学的纽带。所以，它们自然成为高考的重点、热点，所以高考中长考不衰。3. 20042005 高考试题中解答题 函数与不等式情况的横向分析3.1 考题情况列表分析表试卷名称题号分值表试卷名称题号全 国全 国全 国全国北京上海天津重庆湖南浙江福建江苏广东辽宁12341922191819、2018、192120202021222118、 20、221214121212、1312、141212121214141212、12、14全 国全 国北 京湖南浙 江江西北（春）12理文191720无20

4、1719、20学习必备欢迎下载分值121214121413、13表试卷名称考点提 要04全国1用导数法求函数的单调区间04全国2用导数法求函数的最大值和证明不等式04全国3有关函数与不等式的应用性问题04全国4求连续函数在闭区间上的最大值和最小值04北京求列车运行误差中参数的范围；有限个正数的大小比较和不等式的证明04上海函数与不等式型的应用性问题；函数的定义域和参数的取值范围04天津三次函数的极值和切线的方程04重庆三次函数的极值和参数的取值范围04湖南函数的单调性与函数在闭区间上的最大值04浙江函数切线的方程与函数的最大值04福建分析分式函数的单调性与求不等式恒成立时参数的取值范围04辽宁

5、解不等式；函数最值的应用性问题；函数的导数与不等式恒成立时参数的取值范围04江苏条件为不等式的不等式的证明04广东函数背景下的解不等式与方程根的判定05全国1函数的最值及参数的取值范围05全国2函数背景下的指数不等式、绝对值不等式的求解05江西函数背景下求解含参不等式05浙江二次函数背景下的解绝对值不等式及求参数的取值范围05北京 理抽象函数背景下的不等式证明05北京 春分式函数求极值问题3.2 分析与启示从表和表可以看出：2004 年 15 份， 2005 年 7 份试卷共 25 题中，湖北04和湖南 05没考函数与不等式的解答题，同一份试卷中多的出现 3 道（ 04辽宁），出现 2 道的有

6、 04北京、 04 上海、 05北京。从题次来看， 2004 年 18 道题中排在 20 题后的有 11 道，占 61%。但在 2005 年的 7 道题中排在第 17 题的有 2 道，排在第 19 题的有 2 道，排在第 20 题的有 3 道，没有排在第20 题后的，这说明函数情景下的不等式问题在高考中有变易的趋势。我们在应考复习中不宜搞得太难，但这个问题在高考中的命中率很高，占到了90%以上，必须引起特别注意。从试题的题型结构上看，应用题有7 道，占 28%。设一问的有 3 道题，占 12%，设三问的有 4 道题（都出现在全国试卷中），占 16%，其余均为2 问题，占72%。从考试内容（表）

7、上看，涉及单调性或最值的有10 道题，占 40%。求参数的取值范围的有9 道题，占36%。恒成立问题有2 道，占 8%，不等式的证明有4 道，占 16%。几乎每道题都涉及到了不等式的转化和解不等式，这说明教学中应特别注意解不等式的基本功的训练，几种常用证不等式的方法应巩固加强，恒成立问题的几种解题方法与解题模式要进行归纳总结，让学生对可能出现的问题对之有法，应之有策。从涉及到的函数形式上看，最多的是以e 为底的指、 对函数， 有 8 道题，二次函数有4 道题，6223明，因为导数的加入，以前不太考的超越函数和三次函数突然加大了考试的力度而成为一个新的热点，跃居第一， 传统的二次函数和分式函数依

8、然占很大的份额，抽象函数和含绝对值的函数在复习时要适量加入。从整体上看，函数与不等式在解答题中是考查的重点内容，04 年较之03 年有较大的变化，05年的试题在04年的基础上稳中有变，但较之04年导数加入高考时的变化要小得多。试卷更学习必备欢迎下载加体现初等数学与高等数学的衔接性、选拔性。 特别值得一提的是，北京这两年的考题坚持改革创新，题型新颖，一改传统的应用题模式，更加具高等数学的语言特征，题目虽然运算量不大，但对思维能力的要求高，给学生留下了较大的探索空间，题目较长，阅读量大，学生需要认真阅读理解、分析、搜集、处理多个信息，并提炼、加工，找出数量关系转化为数学模型，对考查学生的创新能力做

9、了新的探索，值得我们在复习中借鉴。4. 湖南近十年高考函数与不等式考题情况的纵向分析4.1 考题情况列表分析表：湖南近10 年高考函数与不等式考题分值、题次情况一览表年份96979899200020012002200320042005题号2522、2422无19无211920无分值1212、121212121212表：湖南近10 年高考函数与不等式考题内容情况一览表96 年二次函数背景下的不等式的综合题97 年建模求最值及二次函数背景下的不等式的证明98 年建模求最值99 年解无理、对数不等式2000 年二次分段函数建模求最值2001 年数列与不等式2002 年二次函数结合绝对值求最值2003

10、 年不等式恒成立及建模解不等式2004 年以 e 为底的超越函数单调性与最值2005 年数列与不等式4.2 从表和表不难得出以下信息10 年中有7 年直接考了函数与不等式的综合题，有两年考了数列与不等式，有一年考的是解不等式， 如果把数列也看成函数的话， 就只有一年没有考函数与不等式的综合题， 考了函数与不等式综合题的占 90， 05年考的是数列与不等式，意味着 06 年考函数与不等式的概率增大，其中 97 年和 03 年考了两道函数与不等式的大题，可见函数与不等式在高考中的地位。 04 年前，二次函数考了 4 年，占统治地位，分式函数求极值考了两年，均出现在应用题中，函数与不等式的应用题有两

11、年没考了，06 年考的可能性增大。三次函数湖南没考过，应引起重视。在各类复习资料中，函数问题（等式）转化为不等式问题，不等式问题转化为函数问题来处理这样的题很多，高考中考得不多，复习中不能忽视。5. 几点建议（ 1）加强对常考函数的模块训练，对二次函数、分式函数、指、对函数、抽象函数、三次函数、分段函数、 恒成立问题及函数与不等式互相转化的问题进行针对性训练，可以增强学生考试的应对能力，但不要搞题海战术，通过有限的题让学生掌握解这类题的通法通则。题不在多，有质就行，题不在难，理解就灵。（ 2）重视导数在解题中的万能作用。在高中阶段引入导数，其主要作用是解决切线、极值、单调性等问题， 是每年高考

12、的必考内容， 利用导数求解函数与不等式就显得必不可少， 它可以取代很多初等的求解方法而具有万能作用。（ 3）函数与不等式是高中代数中的重点和难点，复习中首先不宜搞得太难，以免让学生望而生畏，而应采取螺旋式的复习方法，先易后难，循序渐进，教师讲解力求通透，以质取胜，一知半学习必备欢迎下载解的知识学生是用不动的。（ 4）加强对文字题的阅读理解，学生阅读时第一遍是泛读，理解大概题意和实际问题的背景，然后才是逐字逐句的推敲， 挖掘隐含条件， 设自变量， 寻找函数关系式， 建立模型， 写出定义域，再寻找下一步的解题方法。（ 5）对于不等式的证明问题，首先要训练学生学会参照目标进行分析、比较，确定证题思路

13、和方法。常用比较法、分析法、综合法、放缩法、三角换元、反证法、数学归纳法等，学生要滥熟于心，招之即来，应用自如。以上看法是我们的个人观点，不妥之处，敬请各位批评指正。电话：67546462005 年 12 月咐： 20042005 部分函数不等式高考试题集锦1.（全国1）已知 a R,求函数 f (x)=x 2e ax 的单调区间 .2.（全国2）已知函数 f (x)=ln(1+x)-x ,g (x)=xlnx. . 求函数 f (x)的最大值； .设 0<a<b,证明 0<g (a)+g (b)-2g ( a b )< (b-a)ln2.23.（全国3）某村计划建造一

14、个为室内面积为800m2 的矩形蔬菜温室 .沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？4. （全国 4）求函数 f (x)=ln(1+x)-1 x2 在 0， 2上的最大值和最小值 .45.（北京）某段城铁线路上依次有A ， B，C 三站 .AB=5Km,BC=3Km, 在列车运行时刻表上，规定列车 8 时整从 A 站发车， 8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟， 8 时 12 分到达 C 站 .在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1 分钟，并在行驶时以同一速度vKm/

15、h 匀速行驶，列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的时间误差分别写出列车在B,C 两站的运行误差 .若要求列车在B,C 两站的运行误差之和不超过2 分钟，求 v 的取值范围 .6 .(北京 )给定有限个正数满足条件T ：每个数都不大于50 且总和 L=1275. 现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150 且分组的步骤是：首先， 从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 150 与这组数之和的差r1 与所有可能的其他选择相比是最小的， r1 称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 r2

16、;如此继续构成第三组（余差为r 3） ,第四组（余差为r4），直至第N 组（余差为r N）把这些数全部分完为止.判断 r 1,r 2, ,r N 的大小关系，并指出除第N 组外的每组至少含有几个数；当构成第n(n<N) 组后，指出余下的每个数与r n 的大小关系，并证明:r n-1）> 150nL ;n1对任何满足条件T 的有限个正数，证明N 11.7.（上海）某单位用木料制作如图1 所示的框架，框架的下部是边y长分别为 x,y（单位： m）的矩形。上部是等腰直角三角形。要求框架围成的总面积为 8m2。问 x,y 分别为多少（精确到0.001m）x图一学习必备欢迎下载时用料最省？

17、.（上海）记函数f(x)=2x3 的定义域为，g(x)=lg(x a 1)(2a-x) （ a<1）的定义域为x1（）求：（）若 ? ，求实数 a 的取值范围（天津）已知函数f(x)ax 3 bx 23x 在 x ± 1 处取得极值（）讨论 f(1) 和 f(-1)是函数 f(x) 的极大值还是极小值；（）过点（，）做曲线y f(x) 的切线，求此切线方程10（重庆）设函数f(x) x(x )(x a)(a>1) （）求导数f (x) , 并证明 f(x)有两个不同的极值点 x1 ,x 2.（）若不等式f(x 1 )f(x 2) 0 成立，求 a 的取值范围11（湖南）已

18、知函数f(x) x 2eax ，其中 a 0,e 为自然对数的底数（）讨论函数f(x) 的单调性（）求函数 f(x)在区间 0,1上的最大值12（浙江）设曲线y e -x (x 0) 在点 (t,e -t ) 处的切线 L 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为 (t) （）求切线 L 的方程（）求 (t) 的最大值13 （福建）已知2xa (x)f ( x)2R 在区间，上是增函数x2（）求实数a 的值组成的集合（）设关于x 的方程 f(x) 1 的两个非零实根为x1、 x2.试问 :是否存在实数m,使得不等式xm2 tm 1 | x1 x2对任意 a及 t 1, 1恒成立？若存在，求m的

19、取值范围；若不存在，请说明理由14（辽宁）设全集( ）解关于 x 的不等式 x 1| a 1 0(a R)；（）记为(1) 中不等式解集，集合 x|sin( x-)+ 3 cos( x-)=0 ，若 A B33恰有个元素，求a 的取值范围15 （辽宁）甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x( 元 )与年产量t( 吨)满足函数关系x=2000t。若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s为赔付价格），（）将乙方的年利润 w( 元 ) 表示为年产量 t( 吨 )的函数，并求出乙方获

20、得最大利润的年产量（）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t 2 (元 ) ，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大的净收入，应向乙方要求的赔付价格 s 是多少？ x-1-1（）假设对任意x ln(3a),ln(4a),不等式 |m-f(x)|+ln(f (x)<0成立，求实数m的学习必备欢迎下载取值范围17（2004 江苏）已知函数 f(x)(x R)满足下列条件：对任意的实数x1，x2 都有 (x 1 -x 2 ) 2(x 1-x 2 )f(x1)-f(x2)和 |f(x1)-f(x2)| |x 1 -x 2| ，其中 是大于的常数设实数

21、a0,a,b满足f(a 0)=0 和 b=a- f(a).（）证明 ，并且不存在b0 a0, 使得 f(b 0)=0（）证明 (b- a 0) 2(1- 2)a-a0 2（）证明 f(b)2 (1- 2)f(a)218（ 2004 广东）设函数f(x)=x-ln(x+m),其中常数m为整数（）当m为何值时， f(x) 0（）定理：若函数g(x) 在 a,b上连续，且g(a) 与 g(b) 异号，则至少存在一点x0 (a,b),使 g(x 0)=0. 试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f(x)=0,在 e-m-m,e 2m-m内有两个实根19（ 2005 全国理17）设函数f(x)=2|x+1|-|x-1|, 求使 f(x) 22 的 x 的取值范围220（ 2005 江西卷， 17）已知函数 f(x)=x(a,b为常数 ) 且方程 f(x)-x+12=0有两个实根为axbx1=3,x 2=4（）求函数f(x)的解析式；（）设 k>，解关于 x 的不等式：f ( x)( k1) x k.2 x21（ 2005 浙江卷，文20）已知函数 f(x)和 g(x) 的图象关于原点对称，且 f(x)=x2+2x.（）求函数g(x)的解析式；（）解不等式g(x) f(x)-|x-1|（）若 h(x)=g(x)- f(x)+1 在-1,1上是增函数，求实数