八年级分式及分式方程

1、学习必备欢迎下载课题分式教学内容分式及其基本性质1. 分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A 叫做分式B在理解分式的概念时，注意以下三点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为0；分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母,区别：是分式，是整式，根据本来面目判断整式与分式统称为有理式若是反应式中含有 则为无理式。题型一：考查分式的定义b , x2y21【例 1】下列代数式中：x , 1 xy,

2、a, xy ，是分式的有：.2ab xyxy题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义（ 1） x 4（2）3x（ 3）2（ 4） 6 x（ 5）1x 4x22x21| x | 31xx题型三：考查分式的值为0 的条件【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为0.（ 1） x 1（ 2） | x | 2（ 3） x22x 3x 3x24x25x6题型四：考查分式的值为正、负的条件【例 4】（ 1）当 x 为何值时，分式4为正；8x（ 2）当 x 为何值时，分式5x为负；3(x1) 2（ 3）当 x 为何值时，分式x2为非负数 .x 32. 分式的基本性质 ：分式的分

3、子与分母同时乘 ( 或除以 ) 一个不等于 0 的整式，分式的值不变用公式可表示为：aamaambbmbb( m 0 )m注意：在运用分式的基本性质时，基于的前提是 m 0 ；强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；分式的基本性质是约分和通分的理论依据学习必备欢迎下载最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式最简公分母： 几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母（因式） 的最高次幂的积叫这几个分式的最简公分母。确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.题型一：化分数系数、小数

4、系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.12xy（ 2） 0.2a0.03b（1） 231 x1 y0.04a b34题型二：分数的系数变号【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（ 1）xy（ 2）a（3）axya bb题型三：化简求值题【例 3】已知： 115 ，求 2x3xy2 y 的值 .xyx2 xyy提示：整体代入，x y3xy ，转化出 11 .xy【例 4】已知： x1221x，求 xx2 的值 .【例 5】若 | x y1 |(2 x3) 20 ，求1的值 .4x 2 y分式的运算1.基本运算法则同分母分式加减法：ab

5、a b异分母分式加减法：adac bdcccbcbc分式乘法： acac分式除法： acadadbdbdbdbcbc分式乘方：2.零指数.3.负整数指数4.约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分注： 约分的主要步骤：学习必备欢迎下载（ 1）分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。（ 2）分子、分母都除以它们的公因式。约分的依据是分式的基本性质；若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：（其中 n 为自然数） 。约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都

6、除以同一个因式当分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。5.通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分注： 通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；不要把通分与去分母混淆，通分的依据是分式的基本性质，去分母的依据是等式的基本性质题型一：通分【例 1】将下列各式分别通分 .（ 1）cba； （2） aab；（ 3） x21x2； （ 4） a12ab ,3a2 c ,5b2cb,2b2ax ,12x x2 , x2x 22,2 a题型二：

7、约分【例 2】约分：（ 1）16 x 2 y；（ 3） n2m2；（ 3） x2x 2 .20 xy3mnx2x66.分式的加减法法则同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算7.分式的乘除法法则两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘注： 在分式的乘法运算中，当分子和分母都是单项式时，可以直接运用法则计算：分子、分母是多项式时，要先分解因式，看能否约分，然后再乘：分式的除法可以统一成分式的乘法：分式乘除法中的符号法则与有理数

8、乘除法的符号法则相同。8. 分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的注： 分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简。9. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。注意“改变其中任意两个”当分子、分母出现多项式时，必须将它作为整体进行变号学习必备欢迎下载题型三：分式的混合运算【例 3】计算：（ 1） ( a2 b) 3 ( c2) 2( bc)4 ；（ 2） ( 3a 3)3 ( x2y2 ) ( y x )2 ；cabaxyyx（ 3） m 2nmn2m ；（ 4） a 21a 1；nmnnma（5）

9、112x4x38x 7； （6）(x241) ( x22x )1 x 1 x1 x 21 x 41 x8x24x 4x 2x 1题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（ 1）已知： x1 ，求分子 184( x241) (11) 的值；x 24x2x（ 2）已知： xyz ，求 xy2 yz3xz的值；234x2y2z2（ 3）已知：a2310211a，试求 (aa2 )( aa ) 的值 .题型五：求待定字母的值【例 5】若 13xMN，试求 M,N 的值.x21x1x1练习：一、分式的定义：1当 x 取何值时，下列分式有意义：（ 1）1（ 2）3x（ 3）16 | x | 3(x 1)2

10、111x2当 x 为何值时，下列分式的值为零：（ 1）5 | x1 |25x2x4（ 2） x26x5二、分式的基本性质：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.0.4a3（ 1） 0.03x0.2 yb（ 2）50.08x0.5 y11ab4102已知： x13，求x 2的值 .x4x 2x13已知： 113，求 2a3ab2b 的值 .abbaba4若 a 22ab 26b 100 ，求2a b 的值 .3a5b学习必备欢迎下载三、分式的运算：1计算（ 1） 2a5a12a3 ；（ 2） a 2b22ab ；2(a1)2( a1)2(a1)a bba（ 3） a b c a

11、 2b 3cb 2c ；（ 4） ab2b2；a b cb c ac a ba b4ab4ab)； （6）112； （7）121（ 5） (a b)( a bax1x1x2(x 1)( x 3).abb1(x 2)( x 3)(x 1)( x 2)2先化简后求值（ 1） a1a 241，其中 a 满足 a 2a0.a2a 22a1a 21（ 2）已知 x : y2 : 3 ，求 ( x2y 2)( xy)( xy ) 3 x的值 .xyxy23已知：5x4AB，试求 A、B的值.( x 1)( 2x1)x12x14当 a 为何整数时，代数式399a805 的值是整数，并求出这个整数值.a2四、

12、整式指数幂：1计算：（ 1） (11 )(1 )2|1 |(13) 0( 0.25) 20074 2008（2） (3 1 m3 n 2 ) 2(m 2 n) 33553（ 3） (2ab 2 ) 2(a2b)2（4） 4(xy) 2 ( xy) 2 2(3a 3b 2 )(ab3 ) 22(xy) 1 (xy) 22已知 x25x10 ，求（ 1） xx 1 ，（ 2） x2x 2 的值 .分式方程分式方程： 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。整式方程的未知数不在分母中。（二者的根本区别）解分式方程 ：基本思路就是将分式方程化为整式方程，具体做法就是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母

13、。列分式方程的一般步骤：（ 1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。（ 2）列整式方程，求得整式方程的根。（ 3）验根：把求得的整式方程的根代入A，使最简公分母等于0 的根是增根，否则是原方程的根。（ 4）确定原分式方程解的情况，即有解或无解。最简公分母不为0（a 是分式方程的解）或最简公分母为0（ a 不是分式方程的解）学习必备欢迎下载增根问题： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解释原分式的解；否则，这个解就不是原分式方程的解（又称是原分式的增根）。注意：

14、分式方程本身隐含着分母不为0 的条件， 当把分式方程转化为整式方程后，可能会增加使原分式方程中分式的分母为零的根，这个根叫原方程的增根，因此列分式方程一定要验根。（增根不是解题错误造成的。）（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程（ 1）13 ；（2）210 ；（ 3） x 1x241；（4） 5x x5x 1 xx 3 xx 11x3 4x提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例 2】解下列方程（ 1）x4 x 44 ；（ 2） x 7 x 9 x 10x 6x 1xx 6 x 8x 9x

15、 5提示：（1）换元法，设xy ；（ 2）裂项法， x711.x 1x6x6题型三：求待定字母的值【例 4】若关于 x 的分式方程x231m有增根，求 m 的值 .x 3【例 5】若分式方程2 xa1的解是正数，求a 的取值范围 .提示：2a0 且 x2 ， a2 且 a 4 .x2x3题型四：解含有字母系数的方程【例 6】解关于 x 的方程： xac (cd0)提示：（ 1） a, b, c, d 是已知数；（ 2） cd0 .bxd练习：1解下列方程：（ 1） x 12x0 ；（ 2）x24（ 3） 2x32 ；x 1 1 2 xx 3x 3x 2 x 2（ 4）7317x 2（ 5） 5

16、x 4 2x 5 1（ 6）1111x 2x x x 2x 212 x 4 3x 2 2x 1 x 5 x 2 x 42解关于 x 的方程：（1） 112 (b 2a) ；（ 2） 1a1b (a b) .axbaxbx3如果解关于 x 的方程k2x会产生增根，求k 的值 .x 2x24当 k 为何值时，关于x 的方程 x3( xk1 的解为非负数 .x21)( x2)5已知关于 x 的分式方程 2a1a 无解，试求 a 的值 .x1学习必备欢迎下载题型五：列分式方程解应用题列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答。（分式方程的应用）例 8-1沿河两地相距 s 千米，船在静水中的速度为a 千

17、米 / 时，水流速度为 b千米 / 时，此船一次往返所需时间为 ( )A.2s小时 B.2s 小时C.(ss ) 小时D.(ss) 小时abababa bab例 8-2赵强同学借了一本书，共280 页，要在两周借期内读完 . 当他读了一半时，发现平均每天要多读21 页才能在借期内读完 . 他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是 ()A. 140140 =14B. 280280=14 C.140140=14 D. 1010=1xx 21xx21xx 21xx 21分式方程的应用题一 工程问题1. 某水泵厂在一定天数内生产 4000 台水泵，

18、工人为支援四化建设， 每天比原计划增产 25% ，可提前 10 天完成任务，问原计划日产多少台？2.现要装配 30 台机器， 在装配好6 台后，采用了新的技术， 每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3 天完成任务。求原来每天装配的机器数 .3.某车间需加工 1500 个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的2 1倍，所以加工完比原计划少用9 小时，求原2计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？4.打字员甲的工作效率比乙高25% ，甲打 2000 字所用时间比乙打1800 字的时间少5 分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？二 路程问题1.某人骑自行车比步行每小时多走8 千米，已知他步行 12千

19、米所用时间和骑自行车走36 千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？2.某校少先队员到离市区 15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的1.2 倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少.3.供电局的电力维修工要到30 千米远的郊区进行电力抢修. 技术工人骑摩托车先走，15 分钟后， 抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达. 已知抢修车的速度是摩托车的1.5 倍，求这两种车的速度 .三 水流问题1.轮船顺流航行 66 千米所需时间和逆流航行48 千米所需时间相等，已知水流速度每小时3 千米，求轮船在静水中的速度 .四 拓展题1.一

20、个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数 .2.大小两部抽水机给一块地浇水，两部合浇 2 小时后， 由小抽水机继续工作1 小时完成 . 已知小抽水机独浇这块地所需时间等于大抽水机独浇这块地所需时间的11倍，求单独浇这块地各需多少时间？3.2.522 千米处，已用了 3 小时，若水流速度每一船自甲地顺流航行至乙地，用小时，再由乙地返航至距甲地尚差小时 2 千米，求船在静水中的速度 .4.假日工人到离厂 25 千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时 20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3 倍，求汽车和自行

21、车速度 .5.有三堆数量相同的煤，用小卡车独运一堆的天数是大卡车独运一堆天数的一半的3倍 . 第三堆大小卡车同时运6天，运了这堆煤的一半，求大小卡车单独运一堆煤各要多少天？学习必备欢迎下载6.有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独工作，就要超过规定日期3 天 .现在甲、乙合作2 天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天？列分式方程应用题：（ 1）甲、乙两队共同完成一项工程，甲队独做需要的天数是乙的2/3 ，又知甲、乙两队合作6 天可完成工程的一半，问甲、乙单独完成全部工程各需几天？（ 2）甲、乙各走14 千米，甲比乙少用半小时，并且甲

22、与乙的速度比为8： 7，求二人速度各是多少？（ 3）打字员甲的工效比乙高 25%，甲打 2000 字的时间比乙打 1800 字的时间少用 5 分钟，问甲、乙每小时能打多少字？（ 4）工厂生产某种产品，生产15件后，改进了方法，每小时生产的产品件数等于原来的1.5 倍，现在生产20 件的时间比原来生产 15 件的时间少20分钟，问原来每小时生产多少件？（ 5）某服装店老板用8000 元购进若干件衬衫，以每件58 元的价格出售，很快售完，又用17600 元购进同种衬衫，数量是第一次的2 倍，每件进价比第一次多4 元，服装店仍以每件58 元出售，全部售完，求盈利多少元？（ 6）A、 B 两地相距 1

23、60 千米，一俩公交车从 A 地驶出后 2 小时，又从 A 地驶出一俩小汽车，它与公交车的速度比为3： 1，且小汽车比公交车早 40 分到达 B 地，求两车速度。（ 7）某公司在一个月 （ 31 天）内完成新建办公楼的装修工程，如果由甲、 乙俩个工程合作，12 天可完成， 如果由甲、乙俩队单独做，甲队比乙队少用10 完成。求甲、乙俩工程单独完成此项工程所需的天数如果请甲施工，公司每日需付款2000 元，如果请乙施工，公司每日需付费用1400 元，在规定时间内，A、请甲单独完成工程B 、请乙单独完成工程C、请甲、乙合作完成工程以上方案那种花费最少？（ 8）用价值100 元的甲种涂料与价值240 元的乙种涂料配置成一种新涂料，其每千克的售价比甲种涂料每千克售价少 3 元，比一种涂料每千克的售价多1 元，求这种新涂料每千克多少元？（ 9）某商厦售货员用8 万元购进一批衬衫，全部售出，又用17.6 万元购进第二批同种衬衫，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了4 元，商厦销售这种衬衫的每件定价都是58 元，最后剩下150 件按 8 折出售，求共盈利多少元？列分式方程应用题参考答案：（ 1）设乙单独完成需要X 天，则甲单独完成需要2X/3