高考数学经典题解

1、（ 1）数学精英解“集合题”与“函数题”1（ 07 安徽理5）若 A xZ 222 x8， B x Rlog 2x 1 ，则 A(B)的元R素个数为（）A 0B 1C 2D 3【解答 】： C 由 A xZ 222x23 ，故 A xZ 1x1 ，解 B x Rlog2 x1得 B xR log2 x1或 log 2 x1 得B x R x 2 或 0x1 ，2所以 RB= x1x 2或 x0，则 A(RR |B)=0 ， 1 ，故有两个元素 .2【说明 】 对于指数的考查利用单调性来脱去“底” 从而比较 “幂” 的大小是常考的知识点，在第二题中也要注意对数的定义域，不少的同学因忽视定义域而选

2、择B.2（ 07 山东理6）给出下列三个等式：f ( xy)f ( x)f ( y) ， f ( xy)f ( x) f ( y) ，f (x)f ( y)f ( xy)1f (x) f ( y)，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A f ( x)3xB f (x)sin xC f ( x) log 2 xD f ( x)tan x【分析 】解决本题的关键是正确熟练的记住这些运算性质，把选项中函数代入验证即可.【解析 】Bf ( xy)f ( x)f ( y) 是对数模型，f ( x y)f ( x) f ( y) 是指数模型，f ( x y)f (x)f ( y)是正切的两角和公式的模

3、型.故选 B1f (x) f ( y)10.213 (07 天津文， c 23 ，则（4)设 a log 1 3 ， b）23A a b cB c b aC c a bD b a c【解答 】 解决的关键是选好关键值，如0，1 等.0.21A 由 alog 131， 0b11， c 231 可得 abc .324（ 07 湖北理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进yy （毫克）行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量1（毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函O0.1t （小时）ta数关系式为y1（ a 为常数），如图所示据图中提供的信息，回答下列

4、问题：16（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间 t （小时）之间的函数关系式为；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室【分析】本题以应用题的形式考查学生的阅读能力，识图能力，本题的关键是(0.1,1) 这点，通过此点求两个函数关系式，即可迎刃而解.【解答 】：通过读题可以发现这是一个分段函数前段是正比例函数，后段是指数函数，所以，0t 1，10t10把 (0.1,1)分别代入两个解析式可得： y；第二问通过 y0.25 代t1110116，t10入指数函数解析式可得求

5、得0.6【说明 】：本题的题目简单但是要求审题细致，否则第二问很容易错填23.405.（ 07 江苏 6）设函数f ( x) 定义在实数集上，它的图像关于直线x 1对称，且当 x1时，f ( x) 3x 1，则有（）1f32 ff3232f13 ff332231fff323321fff233【解答 】B 由题当 x1时 f ( x)3x 1是单调递增函数又它的图像关于直线x1 对称，所以当x1f ( x) 是单调递减函数，且f ( )f (1) f (1 )f () ，因为时，函数311122221121 ，所以 f ( 1)f ( 1)f ( 2) 即 f ( 2 )f ( 3 ) f (

6、1)323323323【说明 】解决的关键是放到一个单调区间上比较.比较大小是考查指数函数的性质灵活运用的常见题型，利用单调性比较或是选择关键值进行比较是常用的方法.x22axa1 的定义域为R ，则的取值范围为 _6（ 07 重庆理 13）若函数 f ( x)2【分析 】 解题关键是正确转化题干的含义.【 解 答 】 f (x)2x2 2 ax a1的定义域为R，可知xR ， 2x2 2 ax a1恒成立，即x22ax a 0 恒成立，即4a24a0得 a10， .7.（ 07 上海理 4）方程 9x6 ? 3x7 0的解是【解答 】令 t 3x ， t0 ，则方程变为 t 26t 70 ，

7、解得 t1(舍去）, t7 ，故3x7, xlog 3 7【说明 】指数方程不等式在利用换元法解决问题时应特别注意换元后的新元的取值范围.指数与对数的相互转化是高考命题的一大热点.8 (07 天津理5)函数 ylog2 ( x4 2)( x0) 的反函数是（） y 4x2x 1( x 2) y 4x2x 1 (x 1) y 4x2x 2 ( x 2) y 4x2x 2 ( x 1)【解答】C 由 ylog 2 (x 4 2)( x0)，解得x 4 y2 y 2 ( x 0) 得y 4x2x 2 ( x2) .9（. 07 全国卷 1 理 14）函数 yf (x) 的图像与函数ylog 3 x(

8、 x 0)的图像关于直线 y x对称，则 f ( x)【 解 答 】3x ( x R )函 数 y log 3 x( x0)关 于 直 线 yx 对 称 的 函 数 就 是y log3 x(x 0) 的反函数，故应填 3x ( x R ) ，请注意定义域 .10.（ 07 四川理 2）函数 f(x)=1+log 2x 与 g(x)=2 -x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是【解答 】 C 通过特殊点来判断图像f (x) 过点 (1,1) ， g(x) 过点 (0, 2) 可得选 C.考场精彩(2) 数学精英解 “不等式”题1.（北京卷第 7 题）如果正数a,b,c,d 满足 a+b=cd=4

9、, 那么A.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d 的取值唯一B.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d 的取值唯一C.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d 的取值不唯一D.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d 的取值不唯一解答： 由平均值不等式知.答案A.【说明】 平均值不等式等号成立的条件，而且又给定了具体的数值，所以 a,b,c,d 取值唯一 .2（ 湖南卷第 2 题）不等式 x2 0的解集是（）x1A (， 1)U( 1，2B 1，2C (， 1)U 2， )D ( 1，2解答：原不等式可化为x2x1 01 x 2, 故选 D.x10（山东卷第7题）命题“对任意的xR， x

10、3x21 0 ”的否定是（）3.A 不存在 xR ， x3x21 0B存在C存在xR ， x3x21 0xR ， x3x21 0D对任意的xR ， x3x210解答：全称命题的否定是存在性命题.答案为 C.【说明】命题是新课标的内容，只要理解其内涵，就不难了.4. （ 江 苏 卷 第10题 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy 中 ， 已 知 平 面 区 域A( x，y) xy 1，且 x 0，y 0，则平面区域 B(x y，x y) ( x， y) A的面积为（） 2 1 1124解答：令 x+y=x,x-y=t, 由题意可得平面区域B= （ x,t） |s1,s+t 0,s-t 0.

11、画出可行域可得. S AOB12 11. 答案为 B.25.（全国卷第x16 题）不等式 :>0 的解集为x 24(A)( - 2, 1)(B) (2, +)(C) ( - 2, 1)( 2, +)(D)( -, - 2)( 1, +)解答：令 x0 ，原不等式成立，即可排除B 、 D，再令 x3 ，原不等式仍成立，故再排除 A ，所以选 C.【说明】本题的选择支中，区间端点值只有涉及原不等式相应的方程的根，所以主要的错点在于解不等式过程中求并或求交过程中的丢解，这样的结果可能选错为A或B.bb ， 1c6（.天津卷第9 题）设 a，b，c 均为正数，且 2alog 1 a ，1log

12、1log2 c 则2222（） a bc cb a c a b b a c解答：2 alog 1 a0a1 ;22b11b 1;log 1 b222c1c1log 2 c2故有 a<b<c .答案为 A.7.（重庆卷第 2 题）命题“若 x21，则1 x1 ”的逆否命题是（）若 x2 1，则 x 1 或 x 1若1 x 1 ，则 x21若 x1 或 x1，则 x21若 x 1 或 x 1，则 x2 1解答：A 是已知命题的否命题，B 是逆命题，比较 C、D 易知 .答案为 D.8.（福建卷第7 题）已知 f ( x) 为 R 上的减函数，则满足 f1的实数 x 的取值范f (1)x

13、围是（）A (11)，B (0，1)C ( 1，0) U (01)，D (， 1)U (1， )解答：因为 f (x)为 R 上的减函数 .所以111解得或 11 ，即 -1<x<0 或 0<x<1.答案为 C.x1?,?xx9.（湖北卷第21 题）已知 m，n 为正整数 .（）用数学归纳法证明：当x>-1 时， (1+ x)m 1+mx；nnm（）对于 n6，已知 111 ，求证1m1，m=1,1,2， n；n32n32（）求出满足等式 3n +4m+ +(n+2) m=(n+3)n 的所有正整数 n.【分析 】一题多问的试题，后面的各问往往需要应用前此各问的结

14、论.本题第（）问不难，但第（）问却令人相当棘手.我们猜想：第（）问是否可以利用第（）问的结论？第（）问更难，是否又可以利用第（）问的结论？解题实践证明：这个猜想是对的.解答：（）略（） n 6, 且 m1,2,Ln, 知 mn. 令1x , 则1p x p 0 .n 31 0 p 1 x p 1，即 0 p 1（注：这是利用第（）问的前提条件）p 1n3m1mm根据（）， 11 mx ,即 11f0 .xn 3n3nmnmnm但 m n. 时，仍有 1m0,1 ，1m11p1p1.n3n3n322（注：这里连续利用放缩法达到了证题的目的）（）当 0 p n p 6 时，直接验算：显然 n=2

15、符合条件： 324222 3n=3 时，左边 =33+4 3+53=216，右边 =（ 3+3 ） 3=216， n=3 也符合条件 .n=4 时，左边 = 34445464，而右边= 4 3373 .注意到：两个奇数之和必是奇数，而任意多个偶数之和还是偶数，那么左边=偶数，而右边 =奇数，故两边必不相等，n=4 不符合条件 .n=5 时，左边 = 3545556575 ，而右边 = 53.383注意到：任一整数的5 次幂与其本身，其个位数相同，容易判断左边的个位为5，而右边的个位是 2，仍为左奇右偶，n=5 也不符合条件 .故当 0 p n p 6 时， n=2 或 3.（注：在数学高考中，

16、也用到了与整数论有关的课外基本知识，这个动向值得注意）当 n6 时，假定存在 n0 , 使得 3n04n0Ln2n0n 3n0 成立，则有：00n04n0n03n0211n0 3n0 3L3n0n0n0n0n0但是：3423Ln03n0n0 3n0n0n0n0n01L11= 113.n0 3n0n03n0根据（），右式 p1122n0 111nL1p 12220（ 1）与（ 2）矛盾，故当不存在满足等式3n+4 m+ +(n+2)m=(n+3) n 的正整数 .（注：当 0 p n p 6时，只有 2 与 3 两个数符合条件，据此我们已经猜想到n 6 时，符合条件的正整数不存在.而证题的策略是

17、，先假定存在，然后用反证法推翻这个假定.）综上，适合该等式的所有正整数只有2与3.考场精彩（ 3）数学精英解“三角函数”题1（北京卷第 1 题） 已知 cos? tan0 ，那么角是A. 第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C第三或第四象限角D.第一或第四象限角解答 cos ? tan0 cossinsin0 是第三或第四象限角 .?cos答案为 C.2（山东卷第5 题） 函数 ysin2xcos 2x的最小正周期和最大值分别为63（）A ，1B，2C2 ，1D 2， 2解答：ysin 2x3cos 2x1cos2 x 1sin 2x3cos2 x2222 T=， ymax=1答案为 A.3

18、（江苏卷第 1 题） 下列函数中，周期为的是（） y sin x2cos x y sin 2x y y cos4x224解答： 逐一验证， T4 ，只有 D.2答案为 D.4（浙江卷第2 题）若函数f ( x)2sin(x) ， xR （其中0 ，）的最小2正周期是，且 f (0)3 ，则（）A C解答：1 ，6B1 ，3222，D2，2632, f ( 0) 2 sin3,.,3答案为 D.5（福建卷第5 题）已知函数f ( x)sinx(0) 的最小正周期为，则该函数的图象（）A 关于点，对称B 关于直线x对称0C关于点，0 对称D 关于直线x对称解答：由题意知=2，所以解析式为f ( x

19、)sin 2 x，3经验证可知它的一个对称中心为?,?0 .?3答案为 A.6（江苏卷第 5 题） 函数 f ( x)sin x3cos x(x，0 ) 的单调递增区间是（），55，6660036解答：f ( x)2 sinx3令2k2x32k2(k Z ),得2k6x2k5( kZ ),6令k0,得x566由此可得,0符合题意 .6答案为 D.7（湖北卷第2 题） 将 y 2 cos x6的图象按向量a=,2平移，则平移后所得34图象的解析式为A. y2 cosx2B.y2 cosx23434C. y2 cosx2D.y2cosx2331212解答：看向量 a=, 2 的数据“符号” ，指令

20、图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相4加”的口诀，立可否定B、 C、 D.答案为 A.8（全国卷第2 题） 函数 ysin x 的一个单调增区间是（），3C ，D3，A B，2解法一： 函数 y=|sinx|的一个单调递增区间为0,，又函数 y=|sinx|是以为周期的函数，2函数 y=|sinx|的单调递增区间为k , k（ k Z ） .2当 k=1 时，函数 y=|sinx|的一个单调增区间为3,.故选 C.2解法二： 作出函数 y=|sinx|的图象，由图易知y=|sinx|的一个单调增区间为, 3.故选 C.2解法三： 将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，A 、B 两个选择

21、支的端点值相等，而选择支D 的左端点值大于右端点值，所以根据单调递增的概念判断，可排除A 、B 、D，故选 C.9.（全国卷第12 题） 函数 f ( x) cos2 x 2cos2x 的一个单调增区间是（）2A 2B，C 0，D，3362366解法一 ：fxcos2 x1cos x2cosx1524以下将各选项中的两个数据依次代入估算，只有A 项是递增的，故选A.解法二： 由 f (x)= -2cosx· sinx+4cos xsin x1sin x(1 2 cos x) 0 ，得222sin x0或 sin x0,0.12 cosx01 2 cos x当- <x<时，

22、上面不等式组的解集为,0, .故选 A.33解法三： 令 cosx=t，则 f(t)=cos 2x-cosx-1=t2-t+1.f(t)在 1 ,上递增，在, 1上递减，而当 x, 2时， cosx<1且 t=cosx 递22332减.由复合函数的单调性可知，f(x)一个单调递增区间为2.故选 A.，33考场精彩(4) 数学精英解 “圆锥曲线”题1.(2007 年湖北卷第x2y21 （ a>0,b>0）的左准线为 l,左焦点和右焦7 题) 双曲线 C1：b2a2点分别为 F1 和 F2；抛物线C2 的准线为l ，焦点为F2.C1 和 C2 的一个交点为M ，则|F1F2 |M

23、F1 |等于|MF1 |MF2 |A.-1B.111C.D.e,如图：22解答： 设双曲线的离心离为|F1F2 | |MF1 |2ce | MN |2ae=|MN |e|MF1| |MF2 | |MF1|e | MF1 |e? | MF1 | | MF 2|ee(1| MN | ) e e 1 e1|MF1 |e | MN |答案为 A.【说明】 MN 是转换的中介，巧用定义.2.( 湖南卷第 9题 ) 设 F1，F2 分别是椭圆x2y21（ a b0 ）的左、右焦点，若在其右a2b2准线上存在 P, 使线段 PF1 的中垂线过点F2 ，则椭圆离心率的取值范围是（）， 2B， 3C2 ，D3

24、，A 02032113xa2c,0, F2 c,0, Pa2, PF1 的中垂线过F2, 则解： 椭圆的右准线方程为, F1, ycca 22a4 ，F1 F2F2 P, 2ccy2y 23c 22a2cc 2当 y22120e331. 故选 D.0时， y最少，即： 3e23ee3答案为 D.【说明】充分利用圆锥曲线的性质寻找解题的突破口.3.( 全国卷第4 题 )已知双曲线的离心率为2 ，焦点是 (4，0) ， (4，0) ，则双曲线方程为（）x2y21B x2y2Cx2y21x2y21A 12121106D 10446解答： c=4， e=2，则 a=2. 焦点在 x 轴上 .答案为 A

25、.【说明】ec ,a 2b 2c2 .a4.( 全国卷第11 题 ) 抛物线 y24x 的焦点为 F ，准线为 l ，经过 F 且斜率为3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点A ， AK l ，垂足为 K ，则 AKF 的面积是（）A 4B3 3C4 3D 8解答：联立y 24xA(3,23) ,|AK |=3-（ -1）=4，y3(x1)S ABC142 343 .2答案为 C.【说明】A 点是突破点，只要求出它，便迎刃而解.5.( 浙江卷第4 题 )要在边长为16 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6 米的圆面， 则需安装这种喷

26、水龙头的个数最少是（） 3 4 5 6解答：每一条边上至少得2 个，则对称性知，最少得安装4 个 .【而答】答案为 B.6.( 浙江卷第9 题 )已知双曲线x2y21(a0， b0)的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，P 是a2b2准线上一点，且PF1PF2 ， PFgPF24ab，则双曲线的离心率是（）1 232 3解答： PF1PF2 , PFPF0 .12设 P a 2 , y ,则 ca 2 , yca2, y0 解得 | y |c 4a4,cccc又由 SPF F1PF|PF2ab及 SPF F1F F2| |yab2|1| 2|1| 212122得 12c 4a42, 解得c3 ,e

27、3.2ccaba答案为 B.【说明】用向量解决解析几何 .7.( 江苏卷第3 题 ) 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为x2y0 ，则它的离心率为（） 553 22a , e2解答：渐近线的斜率11b1 225 .2ba答案为 A.ca 2b22【说明】离心率 e1baa2.a8.( 全国卷第12x2y21的左、右焦点。若双曲线上存在11题) 设 F ，F分别是双曲线b2a2点 A，使 F 1AF2=90o，且 |AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为5(B)10(C)15(D) 5(A)222F1 AF2 9002AF2222c 代解

28、答：由题设知AF1F1 F2 ，将|AF1 |=3|AF 2|以及 F1F2入后解得 AF3 10 c, AF210 c ，155又由双曲线定义知3 10 c10 c 2aec1055a2答案为 B.【说明】本题除了将题设部分看错以外，不会出现选错情况， 比如将条件 |AF1 |=3|AF 2|看错为|AF 1|=2|AF 2|，就可能选错为 A 等 .9.( 全国卷第 12 题 ) 设 F 为抛物线y2=4x 的焦点， A 、 B、 C 为该抛物线上三点，若FAFBFC =0，则 |FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B) 6(C)4(D) 3解答： 欲求 |FA|+|FB|+|FC| ，

29、根据抛物线的定义，只需求A 、 B、 C 三点的横坐标之和即可。设抛物线 y2=4x 上的三点 A 、B 、 C 的坐标分别为A( x1, y1 ) 、 B(x2 , y2 ) 、 A( x3 , y3 )由于抛物线 y2=4x 的焦点坐标为uuur(xuuur( x1, y)F (1,0) ，所以 FA1, y ) ， FB1122uuur(x1, y) ，又由 FAFBFC =0 得， x1x2x3 3FC33进而得 |FA|+|FB |+|FC|= ( x1 1)( x21)(x3 1)336 ，故选 B.答案为 B.【说明】若把抛物线的焦点坐标错求为F (2,0)（这种错误比较容易出现） ，则选错为 A ；uuur uuur uuur0 ，则选错为 D 。若将向量