高考数学专题复习解析几何直线和圆教案

1、解析几何直线和圆【考点审视】本章是解析几何的基础，也是高考对解析几何进行综合考查的重要组成部分之一，因为直线和圆是最简单基本的几何图形。研究直线和圆的思想与方法也是解析几何研究的基本思想与方法，同时也是后继学习的基础，所以直线和圆成为高考的必考内容。 命题的特点： 1. 本章在高考中主要考查两类问题：基本概念题和求在不同条件下的直线方程。基本概念重点考查（ 1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题； （ 2）直线的平行和垂直的条件；（3）与距离有关的问题等。此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现。2. 直线与圆、 圆锥曲线的位置关系等综合性试题， 此类题难度较大， 一般以

2、解答题形式出现。3. 由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式等代数问题往往借助直线方程进行解决，考查学生的综合能力及创新能力。4. 本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。应试策略 ：首先是注重基础，基本知识、基本题型要掌握好，不必做那些难的有关直线的问题，高考中直线以解答题形式出现的可能性不大。解析几何解答题大多是关于直线与圆锥曲线关系的综合题，考查综合运用知识、分析问题、解决问题的能力，尤其现在高考不要求两圆锥曲线的交点来解决问题后，直线和圆锥曲线的关系问题更是重要，因此，在复习中要注意渗透本章知识在解答解析几何综合问题时的运用。【疑

3、难点拔】直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念，突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，直线方程中的各个参数都具有明显的几何意义，它对直线的位置、点与直线、直线与直线、直线与圆的各种关系的研究十分重要，高考中重点考查运用上述知识解题的变通能力。在解答有关直线的问题时，要注意：（ 1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；（ 2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况；（ 3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验不存在的情况，防止丢解；（ 4）直线方程

4、的三种形式各有适用范围， 要能根据题中所给已知条件选用最恰当的表示形式，并能根据问题的需要灵活准确地进行互化，在求直线方程时，要注意需二个独立的条件才能确定。常用的方法是待定系数法；（ 5）两直线的平行与垂直是现实生活中最常见到的两种特殊位置关系，故掌握它们的判断方法就显得非常重要，特别要提醒的是应把它们的判定和平面两向量共线与垂直的判定有机地结合在一起；（ 6）在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、 数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法。(7) 直线方程问题是 “解析几何” 的基础，学习时应注意积累下面两方面的经验： 正确选择各种直线方程解决各种问题；通过直

5、线方程问题的解题，逐步认识“解析几何”问题的解题思维策略，积累“方程” 、“坐标”、“图形”的解题经验。线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用，常通过二元一次不等式表示的平面区域来确定实际问题的解，应用极为广泛。加强思想方法训练，培养综合能力。平面解析几何的核心是坐标法，它需要运用变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此在处理解析几何问题时， 从知识到思想方法上都需要与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系。能够判断直线与圆、点与圆、圆与圆的位置关系，解决直线与圆的有关问题的基本方法是将直线和圆的方程组成的方程组通过消元，化成一元二次方程，然后灵活使用判别式或违达定理解题；同时要善

6、于利用直线和圆的几何知识解题。直线与圆的位置关系是直线的一种重要应用，在高考中每年都有重点的考查，因此在复习时一定注意知识间的横向联系，以达到融汇贯通。【知识网络】斜率五种形式二元一次不等式倾斜角直线方程表示平面区域线性规划直点与直线位置关系点到直线的距离线相 交交 点直夹 角线直线与直线位置关系平 行平行线间的距离和重 合圆求曲线的方程曲线的交点曲线与方程圆的标准方程圆圆的一般方程圆的参数方程直线与圆的位置关【经典题例】例 1：不等式 3x ay 60 (a0) 表示的平面区域是在直线3xay 6 0 （）的点的集合。（ A）左上方（B）右上方（C）左下方（ D）右下方 思路分析 作出直线

7、3x ay60 ，又因为 3 0 a 060，所以原点在区域内侧表示直线的左下方，故选取C。 简要评述 用特殊值法解选择题是常用的方法。例 2：若直线 yxk 与曲线 x1y 2 恰有一个公共点，则k 的取值范围是()（A ） k2 （B）2,2（C）2, 2 （D ） k2 或 (-1,1 思路分析 数形结合的思想， yxk表示一组斜率为 1 的平行直线， x1y 2表示 y 轴的右半圆。如图可知，选（D） 简要评述 数形结合思想的灵活运用，此题可以进一步拓展， x1 y 2 ， y1x2 等。例 3：如果实数 x、 y 满足x2y23 ，那么 y 的最大值是。x 思路分析 解法一：设直线l

8、 ： ykx ，则 y 表示直线 l 的斜率，直线 l 与圆xx 2y 2 3 相切时，斜率为最大或最小，所以只要求圆心到直线距离为半径即可。yx23 cosM解法二：设圆的参数方程：3 sinyC则 y3 sinOx据三角知识求解。x23 cos解法三：设 y =t ，则 ( x2) 2y 23 只要解方程组，利用0 可得解。xytx解法四：如图，联结圆心C与切点 M，则由 OMCM，又 Rt OMC中， OC=2，CM= 3所以， OM=1，得 yMC3xOM 简要评述 小题小做，选方法四最为简单，数形结合的数学思想的灵活运用。例 4：已知两点 A(m,2) ， B(3,1) ，求直线AB

9、 的斜率与倾斜角。 思路分析 注意斜率存在的条件。当m3 时， k 不存在。=，当 m3 时，2k tan211；当 m3 时,arctan1，当 m3 时 ,m3m 3m3arctan1m3 简要评述 此题涉及到分类讨论的数学思想方法，分类讨论在历年的高考中，特别是综合性题目中常常出现，是重点考查的数学思想方法之一。例 5：过点 M (2,4) 作两条互相垂直的直线， 分别交 x 、y 的正半轴于A 、B ，若四边形 OAMB的面积被直线AB 平分，求直线AB 方程。 思路分析 命题有两种设方程的方案：设MA 、 MB 的点斜式方程，然后求出k ；设AB 的截距式方程，经过估算，应选第方案更

10、好。设方程为xy1 （a>0,b>0 ）ab A(a,0) 、 B(0, b) 。 MA MB ( a2) (2)( 4)(b4) 0a10 2ba>0 0<b<5 AB 方程的一般式为 bxayab0 M 到 AB 的距离 d| 2 b4aab |a2b2MAB 的面积1|1| 2 4| |2820 |2820S12 dAB2bbb a abbb而OAB 的面积 S221 ab5bb2 ，直线 AB 平分四边形 OAMB 的面积， S1S2， 可得b4b52a或2a5故所求 AB 方程为 x2y50 和 2 xy40 。 简要评述 若命题中的直线与两坐标轴均有交

11、点，应首先考虑选用截距式方程是否有利。例 6：已知 x 2y 21，定点 A(1,0)， B、 C 是圆上两个动点，保持A、B、C 在圆上逆时针排列，且BOC(O 为坐标原点 ) ，求 ABC重心 G的轨迹方程。3思路分析设 B(Cos, Sin) ，则(Cos(3),(3)；设 G（x，y）CSin则 x11CosCos33y1SinSin332+2得3x1 23y 222Cos332即x1y 2105333 简要评述 适当运用圆的参数方程，设B、C 两点坐标，有利于寻求函数关系。例 7：过点 P（-8 ，0），引圆 C：x2y2xy210 4 0 的割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹方程。

12、y 思路分析 方法一， x1 2y5 222P CM PM，弦 AB的中点 M的轨迹是以xAMP（ -8 ， 0）、 C（ 1， -5 ）中点为圆心， |PC|B长为直径的圆。C225375（圆 C 的内部）xy222方法二，设M（x，y）为 AB 中点，过点 P（ -8 ， 0）的直线y k x 8 ，又设 A（ x1，y1），B（ x2， y2），由方程组 x2 y2 2x 10y 4 0yk x8可以得到1221621026428040kxkkxkk据韦达定理可以得解。方法三，M x, y ,CMx1, y5, PMx8, yCMPM ,CMPM0x -1 x8y y50化简得x27xy

13、25y80（圆C 的内部）简要评述 方法一是据圆的定义得解的较为简单；方法二容易想到， 但计算量太大； 方法三是利用平面两向量垂直的性质与平面两向量的数量积，使解题过程简单化。例 8：已知气象台 A 处向西 300km处，有个台风中心，已知台风以每小时 40km的速度向东北方向移动， 距台风中心 250km以内的地方都处在台风圈内， 问：从现在起， 大约多长时间后，气象台 A 处进入台风圈？气象台A处在台风圈内的时间大约多长？ 思路分析 如图建立直角坐标系，B为台风中心，y处在台风圈内的界线为以B 为圆心，半径为250 的圈内，若 t小时后，台风中心到达 B 点，则B 11B1(-300+40

14、tCOS450,40tsin450) ，则以 B1 为圆心，BO(A)x250 为半径的圆的方程为x 300202y20225022t2t那么台风圈内的点就应满足x300 202t2y 20 2t22502 。若气象台 A 处进入台风圈，那么A 点的坐标就应满足上述关系式，把A点的坐标 (0 ，0) 代入上面不等式，得300202t202t22502， 解 得152 5 7t152 5 7， 即 为2441.99t8.61；所以气象台 A 处约在 2 小时后进入台风圈，处在台风圈内的时间大约6 小时 37分。 简要评述 学生怕做应用题，帮助学生分析题意尤其重要。关键是寻求有效信息，建立函数关系

15、式，运算到位。【热身冲刺】一、选择题：1 ABC 中，三个顶点坐标A（2，4）、 B（ -1，2）、C（ 1， 0），点 P（x，y）在内部及其边界运动， 则 z=x-y 的最大值及最小值是（）（A ）3，1（B ）-1，-3（ C） 1，-3（D） 3， -12已知点 A（3，1）和 B（-4，6）在直线 3x2 ya 0 的两侧，则 a 的取值范围 （）（A ）-7a24（ B）-24 a 7（ C）a7 或 a24（D） a=7 或 a=243如果直线 l1 ,l 2 的斜率分别是方程x 24x10 的两根，则 l1 ,l 2 的夹角是（）（A ） /3（B ）/4（C）/6（D ）/8

16、4 平行直线 5x12 y30 与 10 x24 y50 的距离是（）（A ）2/13（ B）1/13（C） 1/26（D ）5/265等腰三角形 ABC ，若一腰的两个端点坐标分别是A（ 4， 2）、B（ -2， 0），A 为顶点，则点 C 的轨迹方程是（）（A ） x2y 28x 4 y 0（ B）x2y284y200x2,y10x（ C） x 2y 28x 8 y 20 0 x2, y 10（D） x 2y 28x4 y20 0 x2, y106圆 x2y 22x4 y30 到直线 x y 10 的距离等于2 的点有（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个7曲线 f (x,

17、y)0关于直线 x y20对称的 曲线方程式是（）（A ）（ B）（C）（ D）f ( y 2, x 2) 0f ( y 2, x) 0f ( y 2, x) 0f ( y 2, x 2) 08已知 A （3， 1），B （-1，2）若 ACB 的平分线方程为 yx1，则 AC 所在的直线方程为（）（ A ） y 2 x4 （B）13（C） x 2 y 10 （ D） 3x y 1 0yx29一条光线从点M（ 5， 3）射出，与光线所在直线方程为x 轴正向成 角，遇x 轴后反射，若tan =3，则反射（）（A ）y3x12（ B）y3x12 （C） y3x12（ D）y3x1210将直线 l沿

18、 x 轴正方向平移两个单位，再沿y 轴负方向平移 3 个单位，又回到了原来的位置，则 l 的斜率为（）3（B）322（A ）2（ C）（D）233二、填空题：x011不等式组y0表示的平面区域内的整点坐标是。xy 3 012直线 m1 xy2m 10 恒过定点，则定点的坐标是。13若实数 x ， y满足关系： x 2y 225 ，则 x + y 的最大值是。14若圆 x 2y 2DxEyF0，（D2E 24F 0 ）关于 x - y =0对称，则系数D、 E、 F 满足关系。三、解答题：15直线 l 1 ： 5x4 y2m 1和 l 2 2 x3y0 相交于第四象限，求m 的取值范围。x2y

19、20（1）若此方程组有实数解，求a 的范围；16设实数 a，考虑方程组2y 2xa1（2）此方程组有几组不同的实数解？17有一种大型的商品，A 、B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回来每公里的运费A 地是 B 地两倍。若 A 、B 两地相距 10 公里，顾客选择A 地或 B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，那么，不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？18已知点 A（ -1，-4），试在 y 轴和直线 y=x 上各取一点 B 、C，使 ABC 的周长最小。222m 取何值，圆心在同一19已知圆 x +y -6mx-2（ m-1） y+10m -2m-

20、24=0。（1）求证：不论直线 l 1 上；（ 2）与 l1 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（ 3）求证：不论 m 取何值，任何一条平行于l 1 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等。20已知 ABC 的三边长分别为 3、 4、 5，点 P 是它的内切圆上一点，求分别以PA、PB、PC 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。【热身冲刺】参考答案110.CAACB CCCDB，11（1，1），12（-2 ， 3），1352 ，14D=E，15m-1/216因为 2 20 表示过原点的两条互相垂直的直线：y=x， y=-x ，（x-a ） 2+y2=1 表示圆心为 C（a，0），半径为

21、1 的动圆，本题讨论方程组有实数解的问题即讨论圆与直线有公共点的问题。（1）-2 a2 ；（2）当 -2 a -1 或 -1 a1 或 1a2 时有四组实数解，当 a=± 1 时，有三组实数解， 当 a=±2 时，有两组实数解， 当 a-2 或 a2 时无实数解。17以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。设A（ -5 ， 0），则 B（5，0），在平面内任取一点 P（x，y），设从 A 运货物到 P 的运费为 2a 元/km，则从 B 运到 P 的费用是 a 元/km，若 P 地居民选择在 A地购买此商品，则222ax5 2y2ax5 2y 2 化简得x25y 220即 P点在圆 C3322x25y220的内部 . 换言之 , 圆 C 内部的居民应在A 地购买 , 同理可推