安徽省马鞍山市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题含解析

…………○…………外…………○…………装…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………PAGEPAGE18安徽省马鞍山市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某学校有老师100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，从低到高各年龄段分别抽取的人数为（

）A.7，5，8B.9，5，6C.6，5，9D.8，5，72.设复数z1=2−i，zA.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限3.如图，已知两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离都等于30km，灯塔A在视察站C的北偏东20°，灯塔B在视察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（

）A.30kmB.302kmC.303kmD.154.为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过简洁随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kw•h，则可以推想全市居民用户日用电量的平均数（

）A.肯定为5.5kw•hB.高于5.5kw•hC.低于5.5kw•hD.约为5.5kw•h5.已知复数z满意(z+1)i=1+iA.1B.2C.5D.66.设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（

）A.若a//α，b//α，则a//b

B.若a⊥b，α⊥β，a⊥α，则b⊥β

C.若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//7.下列命题是假命题的是（

）A.数据1，2，3，3，4，5的众数、中位数相同

B.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，这两组数据中较稳定的是乙

C.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的第85百分位数为5

D.对一组数据xi(i=1, 2, 8.设{e1, e2}为平面内一个基底，已知向量AB=e1−ke2A.2B.3C.-2D.-39.已知正三棱锥P−ABC的底面边长为6，点ABC究竟面ABC的距离为3，则三棱锥的表面积是（

）A.93B.183C.27310.从集合{3，4，6}中随机地取一个数a，从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数b，则向量m=(a,b)与向量nA.112B.16C.1411.在四边形ABCD中,AC=(1,2),A.5B.25C.512.如图，空间几何体ABCDEFGH，是由两个棱长为a的正三棱柱组成，则直线BG和HE所成的角的余弦值为（

）A.−34B.−38C.3二、填空题：每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．13.若向量a=(1,2x)，b=(−2,2)，且a//14.已知复数z满意|z|=2，则|z−3−4i15.已知三棱锥A−BCD，AB⊥底面BCD，∠CBD=90°，AB=5，BC=3，BD16.如图，已知为O平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120°，|OA|=|BC|=2|AB17.在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BM=13BC，AN=12AC，AM与三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．18.

2024年4月30日，马鞍山市采石矶5A级旅游景区揭牌．为了更好的提高景区服务质量，景区管理部门对不同年龄层次的入园游客进行随机调查，收集数据如下：组别青少年组中年组老年组调查人数102010好评率0.70.60.9假设全部被调查游客的评价相互独立．（1）求此次调查的好评率．（2）若从全部评价为好评的被调查游客中随机选择1人，求这人是老年组的概率.19.已知|a|=4，|b（1）求a与b的夹角θ；（2）求|a20.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，且PD=CD=2，点M, N是棱（1）求证：MN//平面PAD（2）求三棱锥N−BCD的体积．21.在△ABC中，角A, B, （1）证明：acos（2）若a=7，b=5，2c−bcosB=22.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，（1）证明：A1E⊥（2）求直线A1F与平面

答案解析部分安徽省马鞍山市2024-2025学年高一下学期数学期末考试试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某学校有老师100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，从低到高各年龄段分别抽取的人数为（

）A.7，5，8

B.9，5，6

C.6，5，9

D.8，5，7【答案】B【考点】分层抽样方法【解析】【解答】解：由题意得抽样比为20100=15，

则从低到高各年龄段抽取的人数依次为152.设复数z1=2−i，zA.第一象限

B.其次象限

C.第三象限

D.第四象限【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z1-z2=2-i-(-3+5i)=5-6i，表示的点为（5，-6）

故答案为：D

【分析】依据复数的运算，结合复数的几何意义求解即可.3.如图，已知两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离都等于30km，灯塔A在视察站C的北偏东20°，灯塔B在视察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（

）A.30km

B.302km

C.303km

D.15【答案】C【考点】余弦定理的应用【解析】【解答】解：由题意得∠ACB=180°-20°-40°=120°，

则由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB=302+302-2×30×30×cos120°=2700

则AB=303km

故答案为：C

4.为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过简洁随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kw•h，则可以推想全市居民用户日用电量的平均数（

）A.肯定为5.5kw•h

B.高于5.5kw•h

C.低于5.5kw•h

D.约为5.5kw•h【答案】D【考点】简洁随机抽样【解析】【解答】解：由简洁随机抽样的估计功能知，5.5为样本的平均数，我们只能用它来估计总体的平均数,得到的数据不是精确值，总体的平均数应当为5.5左右.

故答案为：D.

【分析】依据简洁随机抽样求解即可.5.已知复数z满意(z+1)i=1+iA.1

B.2

C.5

D.6【答案】A【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模【解析】【解答】解：由题意得z=1+ii−1=−i，则|z|=1

6.设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（

）A.若a//α，b//α，则a//b

B.若a⊥b，α⊥β，a⊥α，则b⊥β

C.若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面垂直的性质【解析】【解答】解：对于A，若

a//α

，

b//α

，则

a//b或a,b相交或a,b异面，故A错误；

对于B，依据平面与平面垂直的性质定理得，若

a⊥b

，

α⊥β

，

a⊥α

，则

b⊥β或b⊂β或b,β相交，故B错误；

对于C，若

α//β

，

a⊂α

，

b⊂β

，则

7.下列命题是假命题的是（

）A.数据1，2，3，3，4，5的众数、中位数相同

B.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，这两组数据中较稳定的是乙

C.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的第85百分位数为5

D.对一组数据xi(i=1, 2, 【答案】D【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【解析】【解答】解：对于A，依据众数、中位数的定义易知众数、中位数均为3，故A正确；

对于B，乙的平均数为5+6+9+10+55=7，则方差为s2=1522+12+22+38.设{e1, e2}为平面内一个基底，已知向量AB=e1−ke2A.2

B.3

C.-2

D.-3【答案】A【考点】向量的共线定理，向量的线性运算性质及几何意义【解析】【解答】解：由题意得BD→=CD→−CB→=3e1→−3e2→−2e1→−e2→=e1→−2e29.已知正三棱锥P−ABC的底面边长为6，点ABC究竟面ABC的距离为3，则三棱锥的表面积是（

）A.93

B.183

C.273【答案】C【考点】棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由题意作出图形如图，因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，

取BC的中点F，连DF，PF，则DF⊥BC，PF⊥BC.

在△PDF中，PD=3，DF=13×6×32=3，

所以PF=PD2+DF2=23

则这个正三棱锥的侧面积S侧=3×10.从集合{3，4，6}中随机地取一个数a，从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数b，则向量m=(a,b)与向量nA.112

B.16

C.14【答案】B【考点】数量积推断两个平面对量的垂直关系【解析】【解答】解：从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a,从集合{3,4,6}中随机地取一个数b,

基本领件总数N=4x3=12.

记事务A：m→⊥n→,

当向量m→=(b.a)与向量n→=(1,−2)垂直吋，m→11.在四边形ABCD中,AC=(1,2),A.5

B.25

C.5

【答案】C【考点】数量积推断两个平面对量的垂直关系，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：∵AC→·BD→=−4+4=0

∴AC→⊥BD→

12.如图，空间几何体ABCDEFGH，是由两个棱长为a的正三棱柱组成，则直线BG和HE所成的角的余弦值为（

）A.−34

B.−38

C.3【答案】D【考点】异面直线及其所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，

取CF中点M,连接BM，由正三棱锥的性质可知BM⊥平面CFGH，且BM=32a，

则yB=−32a,xB=HC=a,zB=12a，∴B二、填空题：每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．13.若向量a=(1,2x)，b=(−2,2)，且a//【答案】−【考点】平面对量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】解：∵a=(1,2x)

，

b=(−2,2)

，且

a//b

，

∴1×2-2x×(-2)=0

解得

x=−114.已知复数z满意|z|=2，则|z−3−4i【答案】3【考点】复数的代数表示法及其几何意义，两点间的距离公式【解析】【解答】解：设z=a+bi，则a2+b2=4,

则z-3-4i=a-3+(b-4)i

则z−3−4i=a−32+(b−4)2

则z−3−4i的最小值即求点（3,4）到圆a2+b2=4上一点(a,b)的最小距离15.已知三棱锥A−BCD，AB⊥底面BCD，∠CBD=90°，AB=5，BC=3，BD【答案】50π【考点】棱锥的结构特征，球的体积和表面积【解析】【解答】解：∵∠CBD=90°

，

BC=3

，

BD=4

∴Rt△BCD的外接圆半径为r=12BC2+BD2=52

又∵AB⊥

底面

BCD

，AB=5

，

∴h=AB=5

16.如图，已知为O平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120°，|OA|=|BC|=2|AB【答案】−12OA【考点】平面对量的坐标运算，向量的投影【解析】【解答】解：由题意得A2，0,B52,32,C32,332

则OA→=2，0,BC→=−1，3

则向量17.在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BM=13BC，AN=12AC，AM与【答案】0【考点】向量数乘的运算及其几何意义，平面对量的坐标运算，平面对量数量积的运算，数量积推断两个平面对量的垂直关系【解析】【解答】解：如图，以点A为原点，AC为x轴建立平面直角坐标系，

由题意得A0，0,B1，3，C4，0，N2，0

设点M为(x1,y1)

则BC→=3，−3，BM→=x1−1,y1−3

则由BM→=13BC→得

三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．18.

2024年4月30日，马鞍山市采石矶5A级旅游景区揭牌．为了更好的提高景区服务质量，景区管理部门对不同年龄层次的入园游客进行随机调查，收集数据如下：组别青少年组中年组老年组调查人数102010好评率0.70.60.9假设全部被调查游客的评价相互独立．（1）求此次调查的好评率．（2）若从全部评价为好评的被调查游客中随机选择1人，求这人是老年组的概率.【答案】（1）好评率是10×0.7+20×0.6+10×0.940=0.7

（2）在全部评价为好评的青少年组人数为7人，中年组人数为12人，老年组人数为9人，此人是老年组的概率是【考点】分层抽样方法，众数、中位数、平均数【解析】【分析】（1）依据平均数的解法干脆求解即可；（2）依据分层抽样干脆求解即可.19.已知|a|=4，|b（1）求a与b的夹角θ；（2）求|a【答案】（1）cosθ=∴θ=60°

（2）∵|a+2b∴|a【考点】向量的模，数量积表示两个向量的夹角【解析】【分析】（1）依据向量的夹角公式求解即可；

（2）依据向量的数量积，结合向量的模求解即可.20.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，且PD=CD=2，点M, N是棱（1）求证：MN//平面PAD（2）求三棱锥N−BCD的体积．【答案】（1）证明：取PD的中点E，连接AE、NE.∵E，N分别为PD，PC的中点，∴EN∥DC，EN=12又∵M是AB的中点，∴AM∥DC，AM=12∴AM∥EN，AM=EN.∴四边形AMNE为平行四边形.∴MN∥AE.又∵MN⊄面PAD，AE⊂面PAD∴MN∥面PAD.

（2）解：∵PD⊥底面ABCD，∴N点究竟面ABCD的距离为1.易知S