高考数学经典大题专项训练

1、经典高考大题专项训练1已知函数 f(x)x·ax1(a>0，xR) 当 a>1 时，求 f(x)的单调区间和值域，并证明方程f(x)0 有唯一根；当 0<a1 时，讨论方程 f(|x|)0 的实根的个数情况，并说明理由。2已知等比数列an的 前n项 之 和Sn 2np,( p R), 数列 bn满足 bnlog 2 an .求：（1）求 p 的值；（2）写出通项 an 的表达式；（3）记 tlim a1b1a2 b2nan bn , 求 t 的值；n(n1)2（4）求和 Tnb12b22b32b42( 1) n 1 bn2 .3已知数列 an 满足： a12, an

2、 12(11 ) 2 an .n（1）求数列 an 的通项公式；（2）设 bn( An2BnC) 2n ，试推断是否存在常数 A，B，C，使对一切 n N都有 anbn 1bn 成立？说明你的理由；（3）求证： a1a2an2 n 264设定义在 R 上的函数 f ( x) ，满足当 x0时，f (x)1, 且对任意 x, y R,有 f ( xy)f (x)f ( y), f (1)2.（1）求 f (0)；（2）求证：对任意 xR,都有 f ( x)0;（3）解不等式 f (3xx2 )4 ；（4）解方程 f ( x) 21f ( x3)f ( 2) 1.25若 F1、F2 分别为双曲线y

3、2x21 下、上焦点， O 为坐标原点， P22ab在双曲线的下支上，点M 在上准线上，且满足：F2O MP ，F1M( F1PFO1) (>0)。|F1P| FO1|(1)求此双曲线的离心率；(2)若此双曲线过 N(3，2)，求此双曲线的方程(3)若过 N(3，2)的双曲线的虚轴端点分别B1，B2(B2 在 x 轴正半轴上 )，点 A、B 在双曲线上，且 B2 AB2 B ，求 B1 AB1B 时，直线AB 的方程。6已知数列 a n 的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=kSn+2，又 a1=2，a2=1。(1) 求 k 的值；（2) 求 S；nm1nSSn 1m 2成立 ?若存在求

4、出这（3) 是否存在正整数 m，n，使样的正整数；若不存在说明理由7已知数集序列 1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, 17, 19,其中第 n 个集合有 n 个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数()求数集序列第 n 个集合中最大数 an 的表达式；（）设数集序列第n 个集合中各数之和为Tn （i ）求 Tn 的表达式；n（ii ）令f (n)= 11*，求证： f ( n)3 ( nN)3 Tn28对于函数 f (x) ，若存在 x0 R，使 f ( x0 )x0 成立，则称点 ( x0 , y0 ) 为()ax2bx(

5、0)有不动点（， ）函数的不动点。（1）已知函数 fxb a11和（ -3 ， -3 ） 求 a 与 b 的 值；（ 2 ） 若对于 任 意实数 b ，函 数f ( x)ax 2bxb(a0) 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）若定义在实数集R 上的奇函数 g ( x) 存在（有限的） n 个不动点，求证：n 必为奇数。9）设点集 L= ( x, y) | y c d ,其中向量 c =(2,1), d =(x,1), 点 Pn (an ,bn ) 在 L 中, P1 为 L 与 y 轴的交点 ,数列 bn 的前 n 项和 Sn n2 .(1) 求数列 an 、 bn 的通项公式。

6、(2) 若 cn10(n2) ，计算 lim( c2 c3cn ) 。n | PP |n1n（3）设函数 f(n)an( 1)n bn , n N ，是否存在 kN ，使 f（k+10）=3f（k），若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由10已知两个函数 f (x)7x 228x ， g(x) 2x34x 240xc .（） F ( x)图像与 f ( x)图像关于原点对称 , 解不等式 F ( x)f ( x)x 3 ；（）若对任意 x3，3，都有 f (x)g( x) 成立，求实数 c 的取值范围11 四边形 ABCD，是梯形，up7( ( )AB· up7( ( )0ADup

7、7( ( )AB 与 up7( ( )CD 共线， A，B 是两个定点，其坐标分别为（ 1，0），（1，0），C、D 是两个动点，且满足 CDBC 。（）求动点 C 的轨迹 E 的方程；（）设直线 BC 与动点 C 的轨迹 E 的另一交点为 P，过点 B 且垂直于 BC 的直线交动点 C 的轨迹 E 于 M ，N 两点，求四边形 CMPN 面积的最小值。12 已 知 函 数 yf ( x) 对 于 任 意k（ kZ ），都有式子2f ( atan)cot1成立（其中 a 为常数）（）求函数 yf ( x) 的解析式；（）利用函数 yf (x) 构造一个数列，方法如下：对 于给定的定 义域中的

8、x1 ，令 x2f ( x1 ) ， x3f (x2 ) ， ，xnf ( xn 1 ) ，在上述构造过程中，如果xi （ i =1，2，3，）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果xi 不在定义域中，那么构造数列的过程就停止 .（）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求 a 的取值范围；（）是否存在一个实数 a ，使得取定义域中的任一值作为 x1 ，都可用上述方法构造出一个无穷数列 xn ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（）当 a1 时，若 x11，求数列 xn 的通项公式13 在 各 项 均 为 正 数 的 数 列 an 中 ， 前n项 和Sn 满 足2Sn1an (2

9、an1)， nN *。（I ）证明 an 是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n 项和的公式；2（II ）在 XOY 平面上，设点列 Mn（xn，yn）满足 annxn，Snn yn ，且点列 M n 在直线 C 上，M n 中最高点为 M k ，若称直线 C 与 x 轴、直线 xa、 xb 所围成的图形的面积为直线C 在区间 a，b上的面积，试求直线 C 在区间 x 3，xk 上的面积；（ III ）是否存在圆心在直线 C 上的圆，使得点列 M n 中任何一个点都在该圆内部？若存在， 求出符合题目条件的半径最小的圆； 若不存在，请说明理由。14已知函数 f (x)11 ,（ x>0）

10、x（ I）当 0<a<b，且 f(a)=f(b) 时，求证： ab>1；（ II ）是否存在实数 a，b（a<b），使得函数 y=f(x) 的定义域、值域都是a，b ，若存在，则求出 a，b 的值，若不存在，请说明理由（ III ）若存在实数 a，b（a<b），使得函数 y=f(x) 的定义域为 a，b时，值域为 ma， mb(m0),求 m 的取值范围15已知定义在 R 上的单调函数 f (x)，存在实数 x0 ，使得对于任意实数 x1 , x2 总有 f ( x0 x1 x0 x2 ) f ( x0 ) f (x1 )f (x2 ) 恒成立 .（1）求 x0

11、的值 .（2）若 f ( x0 )1 ，且对任意正整数 n，有 an1,bnf ( 1n ) 1，f (n)2记Sna1 a2a2 a3an an 1 ,Tnb1b2b2 b3bnbn 1 ，比较4 Sn 与3Tn 的大小关系，并给出证明；（3）若不等式 an 1 an 2a2n4 log1(x 1)log 1(9 x21) 1 对任3522意不小于 2 的正整数 n 都成立，求 x 的取值范围 .16设 M是由满足下列条件的函数f ( x) 构成的集合： “方程f ( x) x0有实数根；函数 f (x) 的导数 f ( x) 满足 0 f (x) 1.”（I ）判断函数 f (x)x si

12、n x 是否是集合 M 中的元素，并说明理由；2 4（ II ）集合 M 中的元素 f ( x) 具有下面的性质：若 f ( x) 的定义域为D，则对于任意m ， nD ， 都 存 在 x0m ， n ， 使 得 等 式f (n)f ( m)(nm) f ( x0 ) 成立”，试用这一性质证明：方程f ( x)x0 只有一个实数根；（III）设x1是方程f (x)x0 的实数根，求证：对于f (x) 定义域中任意的x2 , x3 ,当 | x2x1 | 1,且| x3x1|1时, | f ( x3 )f (x2 ) |2 .17 设曲线yax 31 bx 2cx 在点x 处的切线斜率为k(x)

13、, 且k (1)=0.32对一切实数x,不等式xk (x) 1(x21) 恒成立 ( a 0).2(1) 求 k (1)的值 ;(2) 求函数 k (x) 的表达式 ;(3) 求证: 111 2nk(1)k (2)k( n)n 218如图所示，曲线段 OMB 是函数 f (x)=x2(0<x<6) 的图象， BAx 轴与 A,曲线段 OMB 上 M（t, f (t)）处的切线 PQ 交线段 AB 于 P，与 x 轴交于 Q.（1）试用 t 表示切线 PQ 的方程 ;（2）试用 t 表示QAP 的面积 g(t)在（ m,n）上单调递减，试求出m的最小值 .（3）若SQAP64121，

14、 ，试求出点 P横坐标的取值范围419（陕西） 已知点 A1，A2， An，依次在 x 轴上， A1（1，0），A2（5，0）， An An 1 = 1An 1 An (n=2,3 ， )；点 B1，B2， Bn2依次在射线 y=x（ x0）上，且 B（3，3），|OB2（，）1n |+2n=2,3.（1）用 n 表示 An 与 Bn 的坐标；（2） 设直线 An Bn 的斜率为 kn ,求 lim kn的值 ;x(3)若四边形 An An+1Bn+1 Bn 的面积为 S，求证： 9S12.20在等差数列 an 中，a4 S414，S5a514 ，其中 Sn 是数列 an 的前 n 项之和，曲

15、线 Cn 的方程是 x 2y 21，直线 l 的方程是 yx 3。an4（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2 ） 当 直 线 l 与 曲 线 Cn 相 交 于 不 同 的 两 点 An ， Bn 时 ， 令M nan4An Bn ，求 M n 的最小值；（3）对于直线 l 和直线外的一点P，用“ l 上的点与点P 距离的最小值”定义点 P 到直线 l 的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的，若曲线 Cn 与直线 l 不相交，试以类似的方式给出一条曲线Cn 与直线 l间“距离”的定义，并依照给出的定义，在Cn 中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线l 的“距离”。21（石家庄市） 设 H是A

16、BC 的外心， A(1,0), B(1,0) ，O为坐标原点，动点 G满足： 3OGOA BC, 且 GHAB,Ry·P(1) 求顶点 C的轨迹 E 的方程；o Dx(2)如图，从点 D (7发射出一个质点 m沿抛物线 C1：,0)2y ax2 h 向上飞行到点 P时，立即得到变轨指令，即开始沿着曲线 E运动，两曲线 C1和E在公共点 P处的切线相同，求抛物线 C1的方程22（保定市）已 知函 数 f(x)= a b , 其 中 向 量a(ln x x ,1), b(1, ln( x1) x 1 ),x 1x1设 g(x)=f ' (x) (x12) ,(其中 f '

17、( x) 是 f(x) 的导数 )x试比较 10 g (10)与 g( 2) 的大小2 设数 列 a n满 足 ang(n) ；是 否存 在最大 的实数 t ， 使函 数f ( x) x 24x3g (n) ，当x t 时，对于一切正整数 n ，都有 f (x) 0( 其中 e=2.71828 )23（江苏南京） 过曲线 C : y x3 上的点 P1 (x1 , y1 ) 作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于 P2 ( x2 , y2 ) ，过点 P2 作曲线 C 的切线 l2 与曲线 C 交于点P3 (x3 , y3 ) ， 依 此 类 推 ， 可 得 到 点 列 ： P1 ( x1

18、 , y1 )，P2 ( x2 , y2 ), P3 ( x3 , y3 ), , Pn ( xn , yn ), ,已知 x1 1（1）求点 P2、P3 的坐标 .（2）求数列 xn 的通项公式 .（3）记点 Pn 到直线 ln 1 (即直线 Pn 1 Pn2 ) 的距离为 dn ，求证： 1114 .d1d 2dn924（宜昌市） 已知抛物线 y24x 内一点 P 的坐标为 P(5,1)2（ 1）过点P作直线与抛物线交于、 两点，若点P刚好为弦ABlA B的中点，求直线 l的方程；（ 2）若过线段 AB 上任一点 P1（不含端点 A, B ）作倾斜角为arctan2的直线 l1 与抛物线交

19、于 A1B1 两点，求证： | P1A | | P1B | | P1 A1 |P1B1|.（ 3）过 P 作斜率分别为 k1,k 2 （ k1k 2 ）的直线 l 2 ,l 3 ， l 2 交抛物线于A2 ， B2 ，l 3 交抛物线于 A3 ，B3 ，若 | PA2 | | PB2 | | PA3 | | PB3|，求 k1k2 的值.参考答案1解： ( 理) f ( x) axx· ax ln a (1 xln a) ax( a>1) 1由 f ( x)>0 得 1xln a>0，解得 x>ln a；由 f ( x)<0 得 11xln a<0

20、，解得 x<ln a1f ( x) 的单调增区间为 ( ln a， ) ，单调减区间为 ( ，1ln a) 2 分1时，f ( x) min f ( 11111当 x) ·aln a1· lnaln aln aln ae11 eln a1，又 lim f ( x) 1， lim f ( x) ， f ( x) 的值域为 11，elnxxa ) 4 分又 f (0) 1<0， lim f ( x) ，又 f ( x) 在0 ， ) 上递增，x 方 程 f ( x) 0 在 0 ， ) 上 有 唯 一 实根 6 分而 lim f ( x) 1<0，方程 f(

21、x) 0 在( ， 0) 上无实根x方程 f ( x) 0 有唯一实根， yf ( x) 在( ， 0) 上函数值 y 均小于 0 7 分函数 f (| x|) 为偶函数，故只需讨论x0 时，方程 f (| x|) 0亦可求 f ( x) 0 的实根的个数。 . 当a 1时 ， 方 程f ( x) 0有 唯 一 实 根x 1；8 分. 当 0<a<1 时，由式，同理可知x0 时，f ( x) 的单调增区间111为(0 ， ln a) ，单调减区间为 ( ln a， ) 。当 x ln a时，1f ( x) max eln a1，9 分又 f (0) 1<0， lim f (

22、x) 1，故有x11时，方程 f ( x) 0 无实根；当1<0 即 0<a<e eeln a11当10 即 a e e时，方程 f ( x) 0 有唯一实根；eln a11当 eln a 1>0 即 e e <a<1 时 ， 方 程 f ( x) 0 有 两 个 实根； 12 分综上可知：1当 0<a<e e 时，方程 f (| x|) 0 无实根；1时，方程 f (| x|) 0当 a e e 或 1有两个实根；1<a<1时 ， 方 程 f(| x|) 0当 e e有四个实根。14 分2 （1）n2 时 an=SnSn1=2n 1

23、, | an| 成 G、P，且公比 q= an 1 =2，a1=2+p 也应满足 an=2n1,anp=1（2 分）（文科 4 分）（2）通项 an=2n1, (n N*).（4 分）（文科 8 分）（3） bn=n1,且 Qn=a1b1+a2b2+anbn,则 Qn =0·1+1·2+2·22+3·23+(n1) ·2n 12Qn=1·22+2·23+(n 2) ·2n 1+(n 1) ·2n，相减可得n于是 tlim(n 2)2nn21Q=(n2) ·2 +2.nn(n 1)2（4）n=2k

24、 时(k N*) ，Tn (b12b22 ) (b32b42 )(b2k21 b22k )（9 分）=(b 1+b2+b2k )= 1+2+ +(2k 1)=2k2+kn=2k 1 时(k N*), T n=( b12b22 )(b22k 3 b2k22 )2b22k 1=1+2+ +(2k 3) =2k23k+1,Tn2k 2k(n2k ),N *) （14分）（文科 14 分）2k 2(k3k 1,( n 2k 1),3（1）由已知 an12n1 2an ,即an 1an()(n 1)22 2nn（2 分）数列 an 是公比为 2的等比数列，又a12n221an2n.an2 nn2 n 2

25、（ 4 分）（2）bn 1bn An 2( 4AB)n2 A2BC 2n （6 分）若 anbn 1bn恒成立 , 则n 2An2( 4A B) n 2A 2B C 恒成立 .A1A14AB0B4 ，故存在常数 A、B、C满足条件2A2BC 0C6（9 分）（3） a1a2an(b2b1 )(b3b2 )(bn 1bn )bn 1b1 （ 11分）(n1)24(n1)62n 16(223)2n 16nn(n1)222n 16 2n 164（1） f ( x)f ( x0)f ( x)f (0),x0时 , f ( x)1,f (0)1（2） f (x)f ( xx ) f ( x) 20 .2

26、22假设存在某个, 使 (x0) 0，x0 Rf则对任何 x0,有fxf(x x0)x0fx x0)fx0) 0与已知矛( )(盾，xR 均为满足f ( x)0（3）任取 x1 ,x2 R且x1x2 ,则 x2x10, f (x2x1 ) 1f ( x2 ) f ( x1 )f ( x2x1 )x1 f ( x1 )f (x2x1 ) f ( x1 ) f ( x1 )f (x1 ) f ( x2x1 ) 10x R 时， f ( x) 为单调递增函数f (1)2, 则f (2)f (1)f (1)4f (3xx 2 )4f (2),3xx221 x2不等式的解集为 x | 1x 2（4） f

27、 (3)f (12)f (1)f (2)8方程 f ( x) 21 f( x 3) f (2) 1可化为 f ( x) 21f (3) f (x) 5,22即 f (x) 24f ( x)50, 解得 f ( x)1或f ( x)5（舍），由（ 1）得 x=0.故原方程的解为 x=0.5： (1)F2O MPOF1MP，1OM为平行四边形，PF又F1MF1 PFO1)知在1O的角平分线上，(| FO1MPF| F1P|四边形PF1OM为菱形，且边长为|PF|FO11c2 分| PF2|2a+c2 | PF2 |2a+| PF1 |2a+c，由第二定义 | PM| e 即 c e，e+1 e 且

28、 e>1e=2 4 分22y2x2(2) 由 e=2， c=2a 即 b=3a ，双曲线方程为a23a21432又 N(3，2) 在双曲线上， a23a21， a 3双曲线的方程y2x2为 3 917 分(3) 由 B2 AB2 B 知 AB过点 B2，若 ABx 轴，即 AB的方程为 x=3，y2x2此时 AB1 与 BB1 不垂直；设 AB的方程为 y=k( x3) 代入 3 9 1得(3 k21) x218k2x+27k2 9=09 分22121由题知 3k10 且 >0 即 k >6且 k 3，设交点 A(x1 ，y1) ，B(x2，y2) ， B1 A ( x1+3

29、，y1) ， B1B ( x2+3，y2) ，B1 AB1B ， B1 A B1B 0即x1x2 +3(x1+x2)+9+y1y2 0 11 分18k2此时 x1+x23k21，x1·x2=9，22254k2y1y2 k( x13) (x2 3)k x1x2 3( x1+x2)+9=k18 3k2118k23k2118k218k225933k2193k210， 5 k1， k± 5 AB的方程为y= ±5( x 53) . 14 分6(I) S2=kS1+2a1+a2 =ka1+2又 a1=2，a2=1,2+1=2k+2k12 2 分（）由（）知Sn 11 Sn

30、22当 n2 时，Sn1 Sn-1 22-，得an 11 an2(n2) 4分又a21 a1，易见 an 0(n N*)2an 11an(n N*)212于是 a n 是等比数列，公比为2( 1) n 1Sn24(1 -)12n12 6 分不等式 Snm1 即( )Sn 1m24(1 -1) - m12n4(1 -11 ) - m2n2，所以整理得22n(4-m)68 分假设存在正整数m，n 使得上面的不等式成立， 由于 2n 为偶数， 4-m为整数，则只能是2n(4-m)=42n2,或2n44m2;4m1 10 分Snm1Sn 1m2因此，存在正整数m=2，n=1；或7( ) 第 n 个集合

31、有 n 个奇数，在前n 个集合中共有奇数的个数为1 23(n1)n1 n(n1) 22分则 第n个集合中最大的奇数an= 2 1 n(n 1)1 n2n 1 4 分2（）（i ）由 ( ) 得 ann2n 1，从而得Tnn(n2n 1)n( n 1)2n3 6 分2nn（ ii） 由（ i）得 Tnn3， f (n) 11113 Tnn( nN*)7 分（ ） 当 n1时 ， f ( 1 ) ， 显 然2 f (1)3 8 分（）当n2时，11nn01 011n1n1 29 分 )21nnCn n(n n)nnC(C()>C 0n ( 1) 0C1n (1 )12，nn 10 分k1kn

32、( n 1)(n 2)(n k 1) 1 1Cn (n)nkk ! k!111 12 分(k 1)kk 1k 1 1n(1)1( 1)2Cnn (1 )nCn0 ( 1 )0C1nC2nnnnnn<11(11)( 11)( 11) 223n 1n 13 分133n 14 分即f ( n)3 15 分综上所述，2f ( n) 3 16 分8。（1）由不动点的定义： f ( x) x 0， ax2(b 1) x b0 ，代入 x1知 a1 ，又由 x3 及 a1 知b 3。 a 1， b 3 。（2）对任意实数b ，f ( x)ax 2bxb(a 0) 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数

33、 b，方程f ( x)x0总有两个相异的实数根。 ax 2(b1) xb0中(b1) 24ab 0，即 b 2(4a2)b10 恒成立。故1( 4a2)24 0 ， 0 a 1。故当 0a1时，对任意的实数 b ，方程 f (x) 总有两个相异的不动点。（3） g( x) 是 R上的奇函数，则 g (0)0 ，（0，0）是函数 g( x) 的不动点。若 g ( x) 有异于（ 0，0）的不动点 ( x0 , x0 ) ，则 g( x0 )x0 。又 g( x0 )g(x0 )x0 ， ( x0 ,x0 ) 是函数 g( x) 的不动点。 g( x) 有限个不动点除原点外， 都是成对出现的，有 2k 个（ kZ ），加上原点，共有 n2k1个。9（ 1） L中 yc d =2x+1，点 Pn ( an , bn ) 在 L中 , bn2an1 ，a1 0,b11 3又 bn 的前 n 项和 Snn2 ，利用 bn sn sn1 (n2), 得bn2n1 anbn1n 1 52（2）| P1 Pn |(ana1 )2(bnb1 ) 2(n 1) 2(2n 2) 25 | n 1 |