高考数学数列专题数列与数学归纳法(含详解)[试卷]

1、优秀学习资料欢迎下载20XX届高考数学难点突破训练数列与数学归纳法1. 如图，曲线 y 2x( y 0) 上的点 Pi 与 x 轴的正半轴上的点 Qi 及原点 O 构成一系列正三角形 OPQ， QP Q， Q P Q设正三角形Qn 1PnQn 的边长为 an ,n N1 112 2n-1 n n(记Q0为O),QnSn ,0 . （ 1）求 a1 的值 ;（2）求数列 an 的通项公式 an 。2.设an , bn 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有 an ,bn2 , an 1 成等差数列，bn2 , an 1,bn2 1 成等比数列（ 1）试问bn 是否成等差数列？为什么？（

2、2）如果 a11, b12 ，求数列1的前 n 项和 Sn an3.已知等差数列an 中， a2 8， S6 66.（）求数列an 的通项公式；（）设 bn2， Tn b1 b2bn ，求证： Tn1 .(n1)an631（ n 2， nN14. 已知数列 an 中 a1， an 2），数列 bn ，满足 bn5an 1an 1优秀学习资料欢迎下载（ n N ）（ 1）求证数列 bn 是等差数列；（ 2）求数列 an 中的最大项与最小项，并说明理由；（ 3）记 Snb1 b2 bn ，求 nlim (n 1)bn Sn 15. 已知数列 a 中， a >0,且 a =3an，n1n+12

3、()试求1 的值，使得数列 n 是一个常数数列；aa>a 对任何自然数n 都成立；( ) 试求 a 的取值范围, 使得 a()若 11n+1n= 1 ，2， 3， ) ，并以n 表示数列 n 的前项的= 2 ，设 n = |n+1 n| (nnabaaSb5和，求证 ： Sn<6. （ 1）已知： x (0) ，求证11ln x 11 ；xxx（2）已知： n N且n2 ，求证： 111ln n 111。23n2n17. 已 知 数 列 an各 项 均 不 为 0 ， 其 前 n项 和 为 Sn ， 且 对 任 意 n N ， 都 有(1 p) Snp pan（ p为 大 于1的常

4、数），并记1C1aC 2aC naf (n)n1n2nn .2nSn（1）求 an ；优秀学习资料欢迎下载（ 2）比较 f (n1) 与 p 1f() 的大小nN；2 pn2n12n1p1p1（ 3）求证： (2n1) f (n)f (i )1( n N ).i1p1p18. 已知 nN，各项为正的等差数列a满足na2a621, a3 a510 ，又数列lg bn的前 n 项和是Snn n1 lg31n n 1 。2（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）求证数列 bn 是等比数列；（ 3）设 cn anbn ，试问数列 cn 有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。9.设

5、数列an 前项和为 sn , 且 (3m)sn2manm3(nN), , 其中 m为常数 ,m3.(1) 求证 : 是等比数列 ;若 数 列 an的 公 比q=f(m), 数 列 bn满 足 b1 a1,bn3f (bn 1 )( n N , n 2), 求2证:1为等差数列 , 求 bn .bn10. 已知数列 an 满足： a1 1 , a21, 且 3 ( 1) n an 2 2an2( 1) n1 0，2优秀学习资料欢迎下载nN * （）求 a3 ， a4 ， a5 ， a6 的值及数列 an 的通项公式；（）设 bna2 n 1 a2n ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn ；11.

6、将等差数列 an 所有项依次排列，并作如下分组：( a1 ),( a2 , a3 ),( a4 , a5 , a6 ,a7 ), 第一组 1 项，第二组2 项，第三组4 项，第 n 组 2n1 项。记 Tn 为第 n 组中各项的和。已知T348,T40 。（ 1）求数列 an 的通项；（ 2）求 Tn 的通项公式；（ 3）设 Tn 的前 n 项的和为 Sn ，求 S8 。12. 设各项为正数的等比数列an 的首项 a11，前 n 项和为 Sn ，且2210 S30(2101)S20 S100 。（）求an的通项；（）求nSn 的前 n 项和 Tn 。13. 设数列 an 是首项为 0 的递增数

7、列，（ n N ）， fn ( x) nis1 (x an ) , x an , an 1n满足：对于任意的 b 0,1), fn (x) b 总有两个不同的根。优秀学习资料欢迎下载（ 1）试写出 yf1 ( x) ，并求出 a2；（ 2）求 an 1an ，并求出 an 的通项公式；（3）设 Sn a1a2 a3 a4( 1)n 1 an ，求 Sn 。14. 已知数列 a, a, , a30，其中 a , a, a 是首项为 1，公差为 1121210的等差数列；a10 , a11 , a20 是公差为 d 的等差数列； a20 , a21 ,a30 是公差为 d 2 的等差数列（ d0

8、）.( ) 若 a2040，求 d ；（）试写出 a30 关于 d 的关系式，并求a30 的取值范围；（）续写已知数列，使得把已知数列推广为无穷数列究，你能得到什么样的结论？a30 , a31 , a40 是公差为 d 3 的等差数列，依次类推，.提出同（ 2）类似的问题（ 2）应当作为特例） ，并进行研 ( 所得的结论不必证明 )15. 一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，按照某种运算程序：当从A 口输入自然数 1 时，从 B 口得到 1，记为 f11；当从 A 口输入自然数 n n2 时，33在 B 口得到的结果 f n是前一个结果fn 12 n11的1倍.2 n3（1）当从

9、 A 口分别输入自然数 2， 3， 4时，从 B 口分别得到什么数？试猜想fn 的关系式，并证明你的结论；（2）记 Sn 为数列 f n的前 n 项的和。 当从 B 口得到16112195 的倒数时， 求此时对应的Sn 的值 .16.已知数列 an ，其前 n 项和 Sn 满足 Sn 12 Sn1(是大于 0 的常数），且 a1=1，a3=4.（ 1）求 的值；（ 2）求数列 an 的通项公式 an；（ 3）设数列 na n 的前 n 项和为 Tn，试比较 Tn 与 Sn 的大小 .2优秀学习资料欢迎下载17.定义：若数列 An 满足 An 1An2 ，则称数列 An 为“平方递推数列”已知数

10、列 an 中， a12 ，且 an 1 2an22an ，其中 n 为正整数(1) 设 bn2an 1 ，证明：数列 bn 是“平方递推数列”，且数列(2) 设 (1) 中“平方递推数列” bn 的前 n 项之积为 Tn ，即 Tn 求数列 an 的通项及 Tn 关于 n 的表达式；(3) 记 cnlog 2an1 Tn ，求数列 c 的前 n 项之和 S，并求使 Snnnlg bn 为等比数列；(2 a11)(2a21)(2an1) ，2008 的 n 的最小值18. 在不等边 ABC中，设A、B、C所对的边分别为 a，b，c，已知 sin 2 A ， sin2 B ，sin 2 C依次成等

11、差数列，给定数列cos A ， cos B ， cosC abc（ 1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号：数列 cos A ， cos B ， cosC （）abcA是等比数列而不是等差数列B是等差数列而不是等比数列C既是等比数列也是等差数列D既非等比数列也非等差数列（ 2）证明你的判断19. 已知 an 是等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 a2=8，S10 =185，（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 anlog 2 bn ，证明 bn 是等比数列，并求其前n 项和 Tn.20. 已知数列 a 中， a111（ n 2， 3， 4，）， an an

12、 1nan1（ I ）求 a2 、 a3 的值；（ II ）证明当n 2， 3，4，时，2n1an3n2优秀学习资料欢迎下载21.已知等差数列 an 中， a38， Sn 是其前 n 项的和且 S20610（ I ）求数列 an 的通项公式。（ II ）若从数列 an 中依次取出第2 项，第 4 项，第 8 项，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列 bn ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn 。22.已知正项等比数列an 满 足 条 件 ： a1 a2 a3a4 a5 121 ； 11111，求 an 的通项公式 an a1a2a3a425a523. 已知函数 f （ x） log 3 （a

13、x b）图象过点 A（ 2， 1）和 B（ 5， 2）（ 1）求函数f （ x）的解析式；（ 2 ） 记 an3f ( x)N*，是否存在正数11， nk ， 使 得 (12 )(1a2 ) a(11 ) k 2n1 对一切 nN * 均成立，若存在，求出k 的最大值，若不存在，请说明an理由24.已知 f(x)=log (x+m),m R2（1）如果 f(1)， f(2) ， f(4) 成等差数列，求m的值；（2）如果 a,b,c是两两不等的正数，且 a,b,c依次成等比数列， 试判断 f(a)+f(c)与 2f(b)的大小关系，并证明你的结论。优秀学习资料欢迎下载25. 已知等差数列a n

14、 的公差d>0.S n 是它的前n 项和，又1S4 与1S6 的等比中项是1146a17 1 ，S4 与S6 的等差中项是 6，求 an。4626. an 和 bn 分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120 和 60，而第二项与第四项的和分别是90 和 34，令集合22221，2 ， a3 ， an ，1，2， 3，A aaB bbbbn 求证： AB 27. 已知曲线 C： y11（ nN ）。从 C 上的点 Q n ( xn, yn ) 作 x 轴， C n ： yx 2 nx的垂线，交 Cn 于点 Pn ，再从点 Pn 作 y 轴的垂线，交 C 于点 Qn 1 ( xn

15、 1 , yn 1 ) ，设 x1 1, an xn 1xn , bn ynyn 1 。（ I ）求 Q1,Q2 的坐标；（ II ）求数列 an 的通项公式；（ III）记数列anbn的前 n 项和为 Sn ，求证： Sn13答案：1.解：由条件可得13,代 入2P1 2 a1,2a1y(x y 0 得)3 a21 a ,a0, a24121113Sna1a2an Pn 1 (Sn1an 1 ,3an 1 ) ；代入曲线 y2x( y0) 并整理22优秀学习资料欢迎下载得 Sn3 an211 an1 , 于是当 n 2, n N *42( 3 an2 11 an 1) ( 3 an21 an

16、 )时, an SnSn 14242即 1 (an 1an )3 (an 1 an ) (an 1an )an 1an0, an 1an2 (n 2, n N * )243又当n1时1,S3 22 a 12 , a24a 舍(2去； ） a2a12,故42333an 1an2 (nN * )所以数列 an 是首项为2 、公差为2 的等差数列 ,an2 n 。33332. 由题意，得2bn2anan1 ，（ 1）an2 1bn2 bn2 1（ 2）（ 1）因为 an0, bn0 ，所以由式（ 2）得 an 1bnbn1 ，从而当 n2 时，anbn 1 bn ，代入式（ 1）得2bn2bn 1b

17、nbnbn 1 ，即 2bb1bn 2 ，故 b是等差数列nnn 1n（ 2）由 a11,b12 及式（ 1），式（ 2），易得 a23,b232,2因此 b的公差 d2，从而 bnb1n1d2 n1 ，n22得 an 11n 1 n 2（ 3）2又 a11也适合式（3），得 annn 1nN * ，2所以 12211，ann n1n n 1从而 S21111.112 112nn223nnn1n 11a1d83. 解：（）6a16 5 d66a16, d22an2n4d优秀学习资料欢迎下载2211（） bn（ n1)(2 n 4)n 1n 2，(n 1)anTnb1b2bn11111111，2

18、33445n1n 211=2n2而 112是递增数列，TnT11111 .2n23664. （ 1） bn11an1，an11an 112an 1 1而bn 11，an11bnbn 1an111 ( n N )an 11an11 bn 是首项为 b1151 的等差数列a11，公差为2（ 2）依题意有an 11，而 bn5(n1) 1 n3.5 ，bn2an11n3.5对于函数y1，在x3.50y'0，在（3.5，）上为减函数x时， y ，3.51故当 n 4 时， an1取最大值 3n3.5而函数y1在 x 3.5时， y 0，y'10，在（， 3.5 ）上也x(x3.5) 2

19、3.5为减函数故当 n 3 时，取最小值，a3 -1 ( n1)(52n5)(n1)(n5)（ 3） Sn122， bnn3.5 ，22( n 1)bn2(n1)(n3.5)limlim2 nSn1n(n1)(n5)优秀学习资料欢迎下载5. ( ) 欲使数列 an 是一个常数数列，则an+1 =3an = an2又依 a >0，可得 a>0 并解出： a =3，即 a= a=31nn21n2( ) 研究 an+1an=3an 3 a n 1=ana n 1( n2)2223a n3an 1223an3an 1>0注意到 222因此，可以得出： an+1 an， anan 1，

20、an 1 an2， a2 a1 有相同的符号 7 要使 an+1>an 对任意自然数都成立 , 只须 a2 a1>0 即可 .由3 a1a1>0，解得： 0<a <3212( ) 用与 ( ) 中相同的方法，可得当 a >3时， a <a 对任何自然数n 都成立 .12n+1n因此当 a1=2 时， an+1 an<0 Sn= b1+b2+bn=| a a | + | a a | + + | a a |2132n+1n=a1 a2 a2 a3 a a +1=a a=2 annn+11n+13a n 1<a +1，可解得a +1>3,又

21、： a +2=n2nn2故 Sn<2 3 = 1 2 26. （1）令 11t ，由 x>0， t>1 ， x1xt 1原不等式等价于 11ln tt 1令 f(t)=t-1-lntt， f (t ) 11当 t(1,) 时，有 f(t)0 ，函数 f(t)在 t (1,) 递增tf(t)>f(1)即 t-1<lnt另令 g(t)ln t11，则有 g (t)t 10tt 2 g(t) 在 (1, ) 上递增， g(t)>g(1)=0 ln t 11t1x11综上得lnxxx1（ 2）由（ 1）令 x=1,2, (n-1) 并相加得111ln 2ln 3ln

22、n11123n12n12n 1优秀学习资料欢迎下载即得 111ln 11123n2n 17. (1)易求得 anp n（ 2） f ( n)1 Cn1 a1Cn2 a2Cnn an 1 p(1 p ) n12 nSn221 p n作差比较易得： f (n 1)p1 f (n)2 p（ 3）当 n 1时，不等式组显然成立 .当 n2时，先证 f (1)f (2)f (2n1)p1p12n 1p1()1p1由（ 2）知 f (n1)p1 f (n)( p1) 2 f ( n1)( p1) n f (1)p1p1p1( p 1) n 1f (n) ( p 1)n ( n 2)2 p2 p2n11(

23、p 1) 2n 1p 1( p 1) 2( p 1) 2 n 1p 12 pp 1 1 ( p 1)2n 1f (i)i 12 p2 p2 p2 pp 1p 12 p12 p再证 f (1)f (2)f (2n1)( 2n1) f (n)f (1)f ( 2n 1)2 f (1) f (2n1)21p (1p ) n1 ( p2 n 11p) p 2np2而 1 ( p 2n 1p) p 2 n1 2 p 2n 1 p p2 n(1 p n ) 2f (1)f (2n1)2f (1)f (2n 1)2 1p (1p ) n1p2(1pn )22 1 p (1 p ) n112(1 p )(1

24、p )n12 f ( n)p2p np21 p n同理： f (2)f (2n2)2 f (n) ， f (3)f ( 2n3)2 f (n) ，f (2n1)f (1)2 f ( n)以上各式相加得：2 f (1)f (2)f ( 2n1)2( 2n1) f ( n)优秀学习资料欢迎下载2 n 1即f (i )(2n 1) f ( n) .i 18. （ 1） a2a6 a3 a5 10 ，又 a2 a6 21a23a27a67或3a6a27，则 an9n ， a101 与 an0 矛盾；若3a6a23，则 ann1，显然 an0 ，若7a6ann1（2） lg b1S12lg 3,b19，

25、n 1n 1当 n29时， lg bn Sn Sn 1 lg9，欧bn991010n 1n 1时， bn9 b1， b 99, n Nn10bn19bn10数列是以9 为首项，9 为公比的等比数列。10n 1（ 3） cn9n19，设 ck k 2是数列 cn中的最大项，则10由ckck 1可得 8k9ckck 1数列 cnc8c99有最大项，最大项是81107。9. （ 1）由 (3m) sn 2man m 3得 (3 m)sn 1 2man 1 m 3,两式相减得 (3m) an 1 2man , m3,an 12m,anm 3优秀学习资料欢迎下载 an 是等比数列。（2） b1a11,

26、qf ( m)2m , n N n 2m33bnf (bn 1 )32bn 1bn bn 11113bn3bn 1.21 是1为首项bn1 n 11bn33bn.n2（）经计算10.2 bn 1 31 为公比的等差数列3n 2 ,3a3 3 ， a41 ， a54bnbn 135 ， a61 8当 n 为奇数时，an 2an2 ，即数列 an 的奇数项成等差数列，a2 n 1a1(n1) 22n1；当 n 为偶数， an 21 an ，即数列2a2 n a2 ( 1 ) n 1( 1 )n 22 an 的偶数项成等比数列，n(n为奇数 )因此，数列 an 的通项公式为an1n)2(n为偶数)(2（）bn(2n1)( 1) n ，112111Sn13 () 25() 3(2n3)()n 1( 2n1) ()n（ 1）2222211)23(1351)4( 2n3)(1n(2n1)