高二数学简单的涂色问题

1、学习必备欢迎下载课题：简单的涂色问题课型：高三复习课【教学目标】一、基础知识目标：1、使学生能利用分步计数原理（乘法原理） 、分类计数原理（加法原理） ，解决线形区域涂色、环形区域涂色问题 .2、使学生能掌握利用分类计数原理涂色时的分类标准：（ 1）根据对称区域是否涂相同颜色进行分类；（ 2）根据涂色所用颜色的种数进行分类。二、能力训练目标：通过学生讨论、分析，逐步培养学生观察、分析、综合和类比的能力，尤其是提高学生分类讨论的思维能力与创新能力，使学生会准确地阐述自己的思路和观点。三、创新素质目标：引导学生从日常生活中寻找和构造数学模型， 并提高学生应用数学去解决问题的能力， 逐步培养学生的发

2、现意识和能力。【教学重点、难点】重点： 利用两个基本原理解决线形区域与环形区域的涂色问题难点：利用分类计数原理时如何选择分类的标准（ 1）根据着色种数进行分类涂色；（ 2）根据对称区域涂色是否相同进行分类涂色。【教学过程】一、问题引入：前面几节课我们主要复习了排列、组合的应用问题，在解决排列、组合的应用问题时，我们首先要弄清什么？（要完成怎样的一件事）然后考虑如何去完成这件事？（是分类还是分步）（陈嘉舒）在现实生活中， 我们经常会碰到这样的问题：比如说为了某个庆典活动，用几种不同颜色的花卉，能摆放出各种各样的花坛；又如我们经常看到的中国地图、世界地图（教室的后墙也有）它们都是利用6 种不同的颜

3、色对各个省、市或者不同的国家进行着色，为了区分起见都是对相邻的区域涂成不同的颜色。实际上如果要绘制一张世界地图，图中把每个国家（或地区）各涂上一种颜色，为使每相邻的两个国家 （或地区） 的颜色不同， 问至少需要几种颜色？四种颜色是否已够？这就是著名的四色问题 。这是在 1852 年，英国人喀斯里写信给德.摩根， 从数学上提出这个问题，德 .摩根又将这个问题请教数学家哈密顿；1878 年，英国数学家凯利在伦敦数学年会上又提出这个问题。近百年来，不少数学家对此进行了研究，并推动了图论的发展，直到1976 年，才有两位年青的美国数学家阿皮尔和海肯借助高速电子计算机，用了一千二百小时的计算时间证明了四

4、色问题。二、例题分析学习必备欢迎下载【例题】 用 5 种不同颜色给图 1 中的四个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色， 相邻区域不能同色，那么涂色方法有种。（同桌的同学可以相互讨论）分析一： 这是一类线形区域的涂色问题，我们可以对各个区域依次涂色：ABCD第一个区域 A 共有 5 种涂色方法；第二个区域 B 只要与第一个区域A 不同色，则共有4 种涂色方法；图 1第三个区域 C 只要与第二个区域B 不同色，则共有4 种涂色方法；第四个区域 D 只要与第三个区域C 不同色，则共有4 种涂色方法；根据分步计数原理（乘法原理）依次对这四个区域涂色共有54 44320种.还有其它方法吗？（如果没有学生想

5、到，作适当提示）用5 重颜色给4 个区域涂色，最多可用几种颜色，最少呢？因此可以对所用颜色的种数进行分类讨论。例题：分析二： 这里共有 5 种颜色可供选择，根据题意：我们最多选择4种颜色，最少选择 2种颜色 .我们也可对所选择的颜色的种类进行分类讨论：第一类：用4 种颜色进行涂色，共有A4 种；5第二类：用3 种颜色进行涂色，则有且只有两个区域必须涂同种颜色，那么有A与C同色，或者有 A 与 D 同色，或者有 B 与 D 同色，共有三种情况，其中每一种情况都有A53 种；共有 3A53种；第三类：用2 种颜色进行涂色，则必须满足有A 与 C同色且 B 与 D 同色，共有 A52种.根据对涂色种

6、数进行分类，对这四个区域涂色共有A543 A53A52320 种.两种方法进行比较， 这里显然是利用第一种方法简单， 直接利用分步计数原理对各区域依次进行涂色 .【变题 1】在例题 1 的基础上，请同学们加上一个区域，有哪些加法？如何解决？（分组讨论：六人一组，第一排的右边这个同学为组长，每组把讨论的情况汇总给组长，组长做好纪录，再回答问题）1、列式，并给出答案；2、讲出所列式子的道理；3、如果哪一组有多种解法，可都列出来；4、如果小组出现意见分歧，无法判断，也可均列出，供大家判别；5、小组其他成员可以补充.ABCD学习必备欢迎下载ABCDABCDABCDABCDABCD如果把例题的四个矩形沿

7、B、 C 剪开再翻折：ABABCDDC【变题 2】给图 2 中的四个矩形涂色，使得有公共边的矩形颜色不同，现有四种颜色供选择，这AB学习必备欢迎下载样的涂法种数有_.（先同例1 进行比较，它们都是四个矩形，有什么不同？）分析：这里是A 、 B 、C、 D 四个区域首尾相连的环形区域的涂色问题假如也利用分步计数原理（乘法原理）对这四个区域依次涂色可以吗？问题出在哪里？请大家思考，同桌可以讨论？这时第四个区域 D 不再有 3 种涂色方法了？是不是2 种呢？（不是）要分 A 与 C 涂色是否相同 .当 A 与 C 同色时，则 D 有 3 种涂色方法，则共有4 31336种；当 A 与 C 不同色时，

8、则D 有 2 种涂色方法，则共有432 248 种；总共有： 36 48 84种涂色方法 .教师总结：根据先对称区域是否涂同色进行分类，然后再依次涂色。分析二：最多可用 4 种颜色，最少可用2 种颜色去涂色根据着色种数进行分类：（ 1）用 4 种颜色去涂色则有 A4424 种.（ 2）用 3 种颜色去涂色则有两类（1）A 与 C 同色；（2）B 与 D 同色.若 A 与 C 同色，则只要在4 种颜色中任意选择3 种颜色去涂 A、 B、 D 这 3 个区域即可，共 A4324 种；若 B 与 D 同色，则只要在4 种颜色中任意选择3 种颜色去涂 A、 B、 C 这 3 个区域即可，共 A4324

9、 种。（ 3）用 2 种颜色去涂色，则 A 与 C 同色并且 B 与 D 同色，那么只要在4 种颜色中任意选择 2种颜色去涂 A 、B 这两个区域即可，共A4212 种；根据对涂色种数进行分类，对这四个区域涂色共有：24 24 24 1284 种涂色方法 .将例题与变题 2 进行比较有何不同，例题中 A 、 B 、 C、 D 四个区域连成一条线，是线形区域的涂色问题，利用分步计数原理直接对各区域依次涂色比较简单，变题2 中 A、B、C、D 首尾相连组成一个环，是环形区域的涂色问题，一般利用分类计数原理。常用的分类标准是（一）根据对称区域是否图相同颜色进行分类；（二）是根据着色时所用颜色的种数进

10、行分类。如果我们在变题2 的基础上，中间再挖一块出来，那么如何来涂色.ABABEDCDC如果将此图形适当改变，则可转化为变题3【变题 3】如图 3 一圆面分成五个部分，有4 种颜色的涂料，要求相邻部分涂不同的颜色，则涂231学习必备欢迎下载法种数为A、 72B、 36C、 24D、 12（ A ）（ 20XX年高考全国卷）先涂 E ，再涂其余四块可知共有 A41 (2 A33A32) 72 种分四色涂和三色涂。如果再把区域 D 一分为二，那又该如何涂色 .【变题 3】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分（如图4），现要求栽种4 种不同颜色的花，每部分栽种1 种，且相邻部分不能栽种同

11、种颜色的花，不同的栽种方法有_种（ 20XX 年高考江苏卷）654123图 4分析 :这个问题是用四种颜色涂6 个区域，经分析必须要用到四种颜色（全部用，颜色种数分类不行） 因此我们要把6 个区域分成4 组（每一组涂一色） ，相邻区域不能分在同一组，所以1 号区域单独一组，其余三个区域只能分成 2、 2、 1 三组，也就是这五个区域有一个区域单独一组，可分为 2、3、 4、 5、 6 号五种情况：每种情况都有 A4424 。然后对每一种情况再进行涂色，比如2 与 4， 3 与 5 同色，我们只须涂1、2、3、6 共 A4424总共由 5 A44120 。三、演练反馈学习必备欢迎下载练习 2：四棱锥的8 条棱代表 8 种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的， 没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的4 个仓库存放这8 种化工产品，那么安全