高二二项式定理(理科)

1、优秀学习资料欢迎下载年级内容标题编稿老师高二学科二项式定理（理科）胡居化数学一、教学目标1.理解二项式定理的内容及其通项公式的概念，掌握二项式定理的应用.2. 理解二项式系数与展开式中某项系数的区别，掌握二项式系数的性质及其简单的应用.3. 理解方程的数学思想、转化的数学思想及赋值法等数学思想方法的应用.二、知识要点分析1.二项式定理：(a b)nC n0 anC n1 an 1bC n2 a n 2 b2C nr a n r brC nnbn 这个 公式表示的规律叫二项式定理 .（ 1）二项式 ( a b) n 的展开式的特点： （ i）展开式共有n+1项；（ ii ）各项的次数之和等于 n

2、；（ iii ）a 的次数由 n 降到 0，b 的次数由 0升到 n.（ 2）二项展开式的系数：C nr ,(0rn, rN , n N）（ 3）二项展开式的通项公式： Tr1C nr a nr br ， r=0， 1， 2n ，表示二项展开式的第（ r+1）项 .注：（ i ）二项式 (ab)n 的展开式的第（ r+1）项 C nr a nr b r 与二项展开式（ b+a） n 的第（r+1 ）项 C nr b n r a r 是有区别的，应用时a， b 不能随便交换 .（ ii ）二项展开式的系数C nr 与展开式中的对应项的系数不一定相等，二项式系数C nr 恒为正 . 而某项的系数可

3、以是任意的实数 .（ iii ）二项式 (ab) n 的展开式的通项公式是Tr 1 ( 1) r C nr a n r br，各项的二项式系数是 C nr ，各项的系数是( 1) r C nr2. 二项式定理的应用： （ 1）进行近似计算； （ 2）证明整除或求余数问题； （ 3）证明有关的不等式 .3. 二项式系数的性质：（ 1） C nr1C nr 1C nr （组合性质（ 2）的体现） .（ 2） C nmC nn m （与首末两端等距离的两项的二项式系数相等），即对称性 .（ 3）增减性：当 kn1时，二项式系数 Cnk 是逐渐增大的；当kn 1时，二项式22系数是逐渐减小的 .（ 4

4、）最大二项式系数：当n 是偶数时， n+1 是奇数，展开式共有（n+1 ）项，故展开式优秀学习资料欢迎下载nn中间一项的二项式系数最大，即第（1) 项的二项式系数最大. 最大的二项式系数是Cn2 ；2当 n 为奇数时，（ n+1）是偶数，共有（ n+1）项，故中间有两项， 即第 n1 项、（ n 11）项22n1n 1的二项式系数最大，这两项的二项式的系数相等且最大，为Cn21Cn2 .（ 5）二项式的系数和是2n，即 C n0C n1C n2C nn2n ，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C n0C n2C n1C n32n 1.二项展开式的各项系数和：一般的，设f（ x）

5、= a0a1 xa2 x2an xn 的各项的系数和是f （ 1 ），其中 x的奇次项系数和等于1 f (1)f ( 1)； x的偶次项系数和等于21 f (1)f ( 1) .2【典型例题】知识点一：二项式定理及其简单应用.例 1.(x1)12展开式中的常数项是（）3xA. 1320B. 1320C. 220D. 220【题意分析 】本题是利用二项式定理求二项展开式中的某项问题，即通项公式的应用.【思路分析】 可设第（ r+1）项是常数项，利用通项公式及x 的次数是零确定r 的值，即可确定常数项 .1 ) r12r( 1)r C12rx12 r (r【解题步骤】 设第（ r+1）项是常数项，

6、则Tr 1( 1) r C12r x33xx的次数是零，r0 r9 ，故第 10 项是常数项 .12 r3T( 1)9C 9220 ，选 C1012【解题后的思考】 关于利用二项式定理求二项展开式中的某项或某项的系数问题，是二项展开式的通项公式的应用，一般设第（r+1）项是要求的项 . 根据要求确定r 的值，即可确定要求的项 .易错点：把通项公式中的第（r+1）项误认为是第 r 项 .例 2.利用二项式定理解决下列问题求：（ 1）（ x32） 5 的展开式中 x5 的系数；x2（ 2）在 ( 3x32)100 的展开式中，系数为有理数的项的个数.【题意分析】 这两道试题都是二项展开式中的通项公

7、式Tr 1 C nr an r b r 的应用 .【思路分析】 （1）假设第（ r+1 ）项是展开式中含 x5 的项，根据 x 的次数是5 确定 r 的值 .优秀学习资料欢迎下载（ 2）假设第（ r+1 ）项是有理项，根据通项公式中的各个因数的次数都是整数确定r 的取值个数，从而确定有理项的个数.【解题步骤】 （1）假设第（ r+1 ）项是展开式中含x5的项，则 T r 1 C5r (x3 )5 r (22 ) r( 2) r C5r x15 5 r ，x依题意 15 5r 5，解得 r 2，故（ 2） 2 C 52 40 为所求 x5 的系数 .（ 2）假设第（ r+1 ）项是展开式中的有理

8、项，50rrr100r3rr100r则 T r 1( 3x)(2 )C1003223x， C100要使 x 的系数为有理数，指数50 r 与 r 都必须是整数，23因此 r 应是 6的倍数，即 r 6k（ k Z ），又 06k100，解得 0k162 （k Z ），3 x 的系数为有理数的项共有17 项.【解题后的思考】求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围 . 应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分. 易错点是：在通项公式中漏掉( 1) r .例 3. （ 1）求证： 32n324n37 能被 64 整除（ 2）求证： (2) n 1

9、n2, (nN,n3)31【题意分析】 本题是应用二项式定理证明整除问题和证明不等式问题.【思路分析】 （1）将已知含有n 的式子中的2n 3进行变形，3即 32 n3332 n23(81) n 1 ，然后用二项式定理展开 .（2） (2) n 12(3) n1n1，把 (3) n 1(11) n 1 用二项式定理展开 .3n 12222【解题步骤】证明：（ 1） 32 n 324n373 (81) n124n37 3(C n0 1 8n 1C n11 8n 364(C n01 8n 1Cn11 8n 2 364(C n01 8n 1C n11 8n 2 364(C n018n 1C n11

10、8n 2故原式可被64 整除 .C nn 11 82C nn 18 C nn 11 ) 24n37C nn 11 )24C nn 124n40C nn11 )24(n1) 24 n40C nn11 )64（ 2） ( 2) n 12( 3) n 1n 13n 122优秀学习资料欢迎下载( 3 ) n 1(11) n 1Cn0 1C n11 1Cn2 1 ( 1 ) 2C nn 11 ( 1 )n 1222221n 1C n2 1 ( 1 )2( 1 )n 11n 1 n 122222故原不等式成立 .【解题后的思考】 利用二项式定理证明整除问题时关键是找除数或其倍数的因式，要对已知的式子变形（

11、如32 n 3n1）利用二项式定理展开含有除数或除数的倍数的式变形为 （）381子或数 . 证明不等式问题也同样要对已知的不等式进行等价变形，目的是为使用二项式定理创造条件，体现了等价转化的数学思想的应用.【小结】本题组主要是二项式定理的通项公式的应用及利用二项式定理证明整除问题或证明不等式 .在通项公式的应用过程中，注意它是第（r+1 ）项而不是第r 项 . 在证明整除或不等式问题时要对含有n 的式子变形为利用二项式定理提供条件.知识点二：求特定项的系数及二项式系数的性质的简单应用.例 1.（ 2x 5y） 20 展开式中各项系数之和是（）A .320B.320C.220D.2 20【题意分

12、析】 本题是利用赋值法求二项展开式的各项系数之和的问题.【思路分析】 假设各项的系数是a0 ,a1 , a2, a20，在 ( 2x5 y)20 中取 x=y=1 代入可求 .【解题步骤】 假设各项的系数是a0 ,a1 , a2, a20，令 x=y=1 得：a0 a1a20(2 1 5 1)20320 ，选 B【解题后的思考】 在求二项展开式的各项系数之和问题常采用赋值法，要体会这种数学方法的应用 .易错点是：混淆各项系数与各项二项式系数，误选答案C例 2.已知（ 12x) n 中第 6项的系数与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 .【题意分析】 本题首先确定n

13、，要根据 n 的值确定二项式系数最大的项，要注意二项式系数与某项系数的区别 .【思路分析】 由已知确定 n 的值，根据二项式系数的增减性可确定第几项二项式系数最大.对于系数最大的项的确定可以假设第（r+1 ）项的系数最大是T 0，第 r 项的系数是 T 1，第（ r+2 ）项的系数是 T 2，则 TT;T2T0 ，由此确定 r 的值 .10【解题过程】 T6T5 1Cn5 (2x) 5 ,T7 T6 1 C n6 (2x)6 ,C n5 25C n6 26n 8 ，故二项展开式（12x)8中共有9 项，中间一项第 5 项的二项式系数最大，所以所求的二项式系数最大的项是T5 T4 1 C84 2

14、4 x 41120 x 4 ，假设第（ r+1 ）项的系数最大是T 0，第 r 项的系数是 T1，第（ r+2）项的系数是 T 2T C r2r , T C r 12 r 1 ,T2C r 1 2r 1 ，08188优秀学习资料欢迎下载C 8r 2 rC 8r1 2 r 12C8rC8r1(1)C 8r 2 rC 8r1 2r 1C8r2C8r1(2)由（ 1）得： 28!8!216 ，r!(8r )!(r1)! (8r 1)!rr9 r同理由（ 2）得： r5，故 5r6, r 0,1,2,8 ，即系数最大的项是第6 项、第7项，T1792 x5 , T71792 x 66【解题后的思考】

15、对于求二项式系数最大项的问题可根据二项式系数的性质求解，对求系数最大项的问题通过建立不等式求解，本题的易错点是：混淆二项式系数与某项系数的概念.例3. 设(23x)100a0a1 xa2 x2a100 x100，求下列各式的值 .（ 1） a1a3a5a99（ 2） (a0a2a100 ) 2(a1a3a99 ) 2（ 3） | a0| a1 | a100|【题意分析】 本题为采用赋值法求值的问题，根据所求的系数和赋予x 不同的值 .【思路分析】 对于（ 1）设 f ( x)a0a1xa2 x 2a100 x100 ，则 a1 a3a5a99 f (1)f (1) ，2对于（ 2）用平方差公式

16、分解得： (a0a2a100 ) 2(a1a3a99 )2 f（ 1）f （ 1） .（ 3）对于 | a0 | a1 | a100| 等价于 (23x)100 的各项系数之和 .【解题步骤】（ 1）设 f ( x)a0 a1 xa2 x 2a100 x100，则 a1a3a5a99 f (1)f (1) (23)100( 23)10022（ 2） (a0a2a100 ) 2(a1a3a99 ) 2 (a0a1a2a100 )(a0a1a2a3a98a99a100 ) f (1)f (1) (23)100 (23)1001（ 3）令 x 1 得： f (1)| a0 | a1 | a100 |

17、(23)100【解题后的思考】 像这类求二项展开式各项系数和的问题，或求奇次项系数和、 偶次项系数和的问题常采用赋值法解决，要根据不同的系数之和赋予不同的值.【小结】 本组三个例题是关于二项展开式的系数的问题，对于二项式的系数问题要利用二项式系数的性质解决， 对于求某些特定的项的系数或系数和问题要采用赋值法和方程、不等式的数学思想方法解决. 容易产生的错误是：把二项式系数与某项的系数混淆.【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述二项式定理和二项式系数性质的简单应用. 在解决问题的过程中体现了方优秀学习资料欢迎下载程的数学思想、不等式的数学思想、转化的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间： 6

18、0 分钟，满分60 分）一、选择题 （共 3 小题，每题5 分，计15 分）1.( x 1)55( x1) 410(x1) 310( x1) 25( x 1) ()A . x 5B . x 51C. x 51D . ( x 1)512.若 nN, ( 21)n2anbn , (an ,b nZ), 则b n()A .一定是奇数B . 一定是偶数C.与 n 的奇偶性相反D . 与 n 有相同的奇偶性3.在二项式 ( x21 ) 5的展开式中，含 x4项的系数是（）xA. 10B. 10C. 5D . 5二、填空题 （共 3 题，每题5 分，计 15 分）4.设 nN, C1n6Cn2Cn3 6

19、2Cnn 6n 1_5.已知 (1ax) 5110 x bx 2a5 x5 ，则 b= _6.若 (x1)n 的展开式的各项系数之和是32，则 n= _x三、计算题 （ 30 分，每题10 分）7.已知（ 2x x lg x ） 8 的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求 x 的值 .8. 求：（ 1）（ x2） 10（ x2 1）的展开式中 x10 的系数；（ 2）（x1） （ x1） 2（ x1） 3（ x1） 4（ x 1） 5 的展开式中x2 的系数 .39. 求：（ 1） x12 的展开式中的常数项；x（ 2）若（ 2x 3 ）4 a0 a1x a2x2 a3x3a4x4

20、，求（ a0 a2a4） 2 （ a1a3） 2 的值 .优秀学习资料欢迎下载【试题答案】一、选择题1. B 解析：原式C0(x 1)5C 1 ( x 1) 4C2( x 1) 3C 3 ( x 1)2C4(x 1) C5555555C55( x 1) 151 x512. A 解析：特值法：取n=1 时， (21)121, 此时 b=1 ，是奇数取 n=2 时， ( 21)23 22，此时 b=3，为奇数3. B 解析：设第（ r+1）项是含 x 4 的项，则 Tr 1( 1) r C5r ( x2 )5 r (1 ) r( 1) r C5r x10 3r ，x令 10 3r 4 知： r=2 ，故含 x 4 项的系数是 ( 1) 2 C 5210二、填空题4.1 (7 n1)解析：(16) nC n0C n1 6C n2 62Cnn 6n67n16(Cn16Cn2Cn3 62Cnn 6 n1 )Cn16Cn2Cn3 62Cnn 6n 11 (7n1)65.40，解析：据题意知： b 是展开式中含 x 2