试验的方差分析

1、第3章 试验的方差分析 n方差分析（方差分析（analysis of variance，简称，简称ANOVA）检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性n试验指标（试验指标（experimental index） 衡量或考核试验效果的参数衡量或考核试验效果的参数 n因素（因素（experimental factor） 影响试验指标的条件影响试验指标的条件 可控因素可控因素（controllable factor） n水平（水平（level of factor）因素的不同状态或内容因素的不同状态或内容 3.1 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析（one

2、-way analysis of variance）3.1.1 单因素试验方差分析基本问题单因素试验方差分析基本问题（1）目的：检验一个因素对试验结果的影响是否显著性）目的：检验一个因素对试验结果的影响是否显著性（2）基本命题：）基本命题：n设某单因素设某单因素A有有r种水平：种水平：A1，A2，Ar，在每种水平，在每种水平下的试验结果服从正态分布下的试验结果服从正态分布n在各水平下分别做了在各水平下分别做了ni（i1，2，r）次试验）次试验n判断因素判断因素A对试验结果是否有显著影响对试验结果是否有显著影响 （3） 单因素试验数据表单因素试验数据表 试验次数试验次数A1A2AiAr1x11x

3、21xi1xr12x12x22xi2xr2jx1jx2jxijxrjnix1n1x2n2xinixrnr3.1.2 单因素试验方差分析基本步骤单因素试验方差分析基本步骤 （1）计算平均值）计算平均值n组内平均值组内平均值 ：111inrijijxxn11iniijjixxnn 总平均总平均 ：（2）计算离差平方和）计算离差平方和总离差平方和总离差平方和SST（sum of squares for total）211()inrTijijSSxxn 表示了各试验值与总平均值的偏差的平方和表示了各试验值与总平均值的偏差的平方和n 反映了试验结果之间存在的总差异反映了试验结果之间存在的总差异 组间离差

4、平方和组间离差平方和 SSA （sum of square for factor A）22111()()inrriiAiijiSSxxn xxn 反映了各组内平均值之间的差异程度反映了各组内平均值之间的差异程度n 由于因素由于因素A不同水平的不同作用造成的不同水平的不同作用造成的 组内离差平方和组内离差平方和 SSe （sum of square for error）n反映了在各水平内，各试验值之间的差异程度反映了在各水平内，各试验值之间的差异程度 n由于随机误差的作用产生由于随机误差的作用产生 211()inrieijijSSxx三种离差平方和之间关系：三种离差平方和之间关系： TAeSSS

5、SSS（3）计算自由度（）计算自由度（degree of freedom） n总自由度总自由度 ：dfTn1n组间自由度组间自由度 ：dfA r1n组内自由度组内自由度 ： dfe nr 三者关系三者关系： dfT dfA dfe（4）计算平均平方）计算平均平方n均方离差平方和除以对应的自由度均方离差平方和除以对应的自由度 /AAAMSSSdf/eeeMSSSdfMSA组间均方组间均方MSe组内均方组内均方/误差的均方误差的均方（5）F检验检验n服从自由度为（服从自由度为（dfA,dfe）的）的F分布（分布（F distribution）n对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ，从，从F分

6、布表查得临界值分布表查得临界值F (dfA，dfe) n如果如果FA F (dfA，dfe) ，则认为因素，则认为因素A对试验结果有显著影对试验结果有显著影响否则认为因素响否则认为因素A对试验结果没有显著影响对试验结果没有显著影响 AAeMSFMS组间均方组内均方（6）方差分析表）方差分析表 n若若 FA F0.01(dfA，dfe) ，称因素，称因素A对试验结果有非常显著的对试验结果有非常显著的影响，用影响，用 “* *”号表示；号表示； n若若 F0.05(dfA，dfe) FA F0.01(dfA，dfe) ，则因素，则因素A对试验对试验结果有显著的影响，用结果有显著的影响，用“*”号表

7、示；号表示； n若若 FA F0.05(dfA，dfe) ，则因素，则因素A对试验结果的影响不显著对试验结果的影响不显著单因素试验的方差分析表单因素试验的方差分析表 差异源差异源SSdfMSF显著性显著性组间（因素组间（因素A）SSAr1MSASSA（r1）MSAMSe组内（误差）组内（误差）SSenrMSeSSe（nr）总和总和SSTn13.1.3 Excel在单因素试验方差分析中的应用在单因素试验方差分析中的应用n利用利用Excel “分析工具库分析工具库”中的中的“单因素方差分析单因素方差分析”工具工具 3.2 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析n讨论两个因素对试验结果影响的显著性

8、，又称讨论两个因素对试验结果影响的显著性，又称“二元方差二元方差分析分析”3.2.1 双因素无重复试验的方差分析双因素无重复试验的方差分析（1）双因素无重复试验）双因素无重复试验B1B2BsA1x11x12x1sA2x21x22x2sArxr1xr2xrs（2）双因素无重复试验方差分析的基本步骤）双因素无重复试验方差分析的基本步骤 计算平均值计算平均值 n总平均总平均 ：111rsijijxxrs 11siijjxxs11rjijixxrn Ai水平时水平时 ：n Bj水平时：水平时： 计算离差平方和计算离差平方和 n总离差平方和：总离差平方和：n因素因素A引起离差的平方和：引起离差的平方和：

9、n因素因素B引起离差的平方和：引起离差的平方和：n误差平方和：误差平方和：211rsTijABeijSSxxSSSSSS22111()()srriiAjiiSSxxsxx22111()()rssjjBijjSSxxrxx211()rsijeijijSSxxxx计算自由度计算自由度 nSSA的自由度：的自由度：dfA r1nSSB的自由度：的自由度：dfBs1 nSSe的自由度：的自由度：dfe（r1）（）（s1）nSST的自由度：的自由度：dfTn1rs1 ndfT dfA dfB dfe计算均方计算均方 1AAAASSSSMSdfr1BBBBSSSSMSdfs(1)(1)eeeeSSSSMS

10、dfrsF检验检验 nFA服从自由度为（服从自由度为（dfA,dfe)的的F分布；分布；nFB服从自由度为（服从自由度为（dfB,dfe)的的F分布；分布；n对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ，查，查F分布表：分布表： F （dfA,dfe)， F （dfB,dfe)n若若FAF （dfA,dfe)，则因素，则因素A对试验结果有显著影响，否对试验结果有显著影响，否则无显著影响；则无显著影响； n若若FBF （dfB,dfe)，则因素，则因素B对试验结果有显著影响，否对试验结果有显著影响，否则无显著影响；则无显著影响；BBeMSFMSAAeMSFMS差异源差异源SSdfMSF显著性显著性

11、因素因素ASSAr1因素因素BSSBs1误差误差SSe总和总和SSTrs1无重复试验双因素方差分析表无重复试验双因素方差分析表 1AASSMSrAAeMSFMS1BBSSMSsBBeMSFMS(1)(1)rs(1)(1)eeSSMSrs无重复试验双因素方差分析表无重复试验双因素方差分析表因素因素B1B2BsA1A2Ar3.2.2 双因素重复试验的方差分析双因素重复试验的方差分析 （1）双因素重复试验方差分析试验表）双因素重复试验方差分析试验表 11111211,.,cxxx12112212,.,cxxx1 11 21,.,ssscxxx21121221,.,cxxx22122222,.,cxx

12、x2 12 22,.,ssscxxx11121,.,rrr cxxx21222,.,rrr cxxx12,.,rsrsrscxxx双因素重复试验方差分析试验表双因素重复试验方差分析试验表 （2）双因素重复试验方差分析的基本步骤）双因素重复试验方差分析的基本步骤计算平均值计算平均值n总平均总平均 ：n任一组合水平（任一组合水平（Ai，Bj）上）上 ：nAi水平时水平时 ：nBj水平时水平时 ：1111rscijkijkxxrsc 11cijijkkxxc11siijkjxxsc11rjijkixxrc计算离差平方和计算离差平方和n总离差平方和：总离差平方和：n因素因素A引起离差的平方和：引起离差

13、的平方和：n因素因素B引起离差的平方和：引起离差的平方和：n交互作用交互作用AB引起离差的平方和：引起离差的平方和：n误差平方和：误差平方和：2111()rscTijkABABeijkSSxxSSSSSSSS 21()riAiSSscxx21()sjBjSSrcxx 211()rsijijA BijSScxxxx 2111()rscijeijkijkSSxx 计算自由度计算自由度nSSA的自由度：的自由度：dfA r1nSSB的自由度：的自由度：dfBs1 nSSAB的自由度：的自由度： dfAB (r1)(s1)nSSe的自由度：的自由度：dfers(c 1)nSST的自由度：的自由度：df

14、Tn1rsc1 ndfT dfA dfB dfAB dfe计算均方计算均方1AASSMSr1BBSSMSs(1)(1)A BA BSSMSrs(1)eeSSMSrs cF检验检验n若若FAF （dfA,dfe)，则认为因素，则认为因素A对试验结果有显著影响，对试验结果有显著影响，否则无显著影响；否则无显著影响； n若若FBF （dfB,dfe)，则认为因素，则认为因素B对试验结果有显著影响，对试验结果有显著影响，否则无显著影响；否则无显著影响；n若若FABF （dfAB,dfe)，则认为交互作用，则认为交互作用AB对试验结对试验结果有显著影响，否则无显著影响果有显著影响，否则无显著影响。AAeMSFMSBBeMSF