数学建模——层次分析法

1、数学建模数学建模2 2 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1 1 建立层次结构模型建立层次结构模型将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。出层次结构图。 最高层：决策的目的、要解决的问题。最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为

2、因素层。 下面举例说明。下面举例说明。 例例1 1 大学毕业生就业选择问题大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，在获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择双向选择”时，时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：说选择单位的标准和要求是多方面的，例如： 能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自己的专长）；自己的专长）； 工作收入较好（待遇好）；工作收入较好（待遇好）； 生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；生活环境好（大城市、

3、气候等工作条件等）； 单位名声好（声誉等）；单位名声好（声誉等）； 工作环境好（人际关系和谐等）工作环境好（人际关系和谐等） 发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。 1.建立层次结构模型建立层次结构模型1.建立层次结构模型建立层次结构模型例例2 2 选择旅游地选择旅游地 如何在如何在3 3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择。个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择。 1.建立层次结构模型建立层次结构模型例例3 3 科研课题的选择科研课题的选择 某研究所现有三个科研课题，限于人力及物力，只某研究所现有三个科研课题，限于人力及物力，只能研究一个课

4、题。有三个须考虑的因素：能研究一个课题。有三个须考虑的因素：(1)(1)科研成果贡科研成果贡献大小献大小( (包括实用价值和科学意义包括实用价值和科学意义) )；(2)(2)人材的培养；人材的培养；(3)(3)课题的可行性课题的可行性( (包括课题的难易程度、研究周期及资金包括课题的难易程度、研究周期及资金) )。在这些因素的影响下，如何选择课题在这些因素的影响下，如何选择课题? ? 1.建立层次结构模型建立层次结构模型1.建立层次结构模型建立层次结构模型 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方

5、的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。选择方案的原则。1.建立层次结构模型建立层次结构模型2 2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵确定各层次各因素之间权重的方法：确定各层次各因素之间权重的方法：（1 1）不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较；）不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较；（2 2）采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较）采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。的困难，以提高准确度。 1.1.两两比较两两

6、比较 假设要比较某一层假设要比较某一层 个因素个因素 对上一层一个因素对上一层一个因素 的影响，如旅游决策问题中比较景色等个准则在选择旅游的影响，如旅游决策问题中比较景色等个准则在选择旅游地这个目标中的重要性。每次取两个因素地这个目标中的重要性。每次取两个因素 和和 ，用，用 表示表示 和和 对对 的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵表的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵表示。示。n12, ,.,nc ccoiCijajCoiCjC 由于（由于（.1）式给出了）式给出了 的特点。的特点。 称为正互反矩阵。称为正互反矩阵。显然必有显然必有 ，如用，如用 依次表示景色、费用

7、、依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途居住、饮食、旅途5 5个准则，设某人用成对比较法（做个准则，设某人用成对比较法（做 次对比）得到的成对比较阵（正互反阵）为：次对比）得到的成对比较阵（正互反阵）为：ijaA1iia 12,.,nC CC255 42C11/ 2433217551/ 41/711/ 21/31/31/52111/31/5311A(8.2.2) 1(),0,ijn nijjiijAaaaa（8.2.1） 2 2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵2 2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵2.2.比较尺度比较尺度 当比较两个可能具有不同性质的因素当比较两个可能具有不同性质的因素 和和

8、 对于一个上层对于一个上层因素因素 的影响时，的影响时，SaatySaaty提出用提出用1 19 9尺度（见下表），即尺度（见下表），即 的取值范围是的取值范围是 ，及其互反数，及其互反数 。其理由。其理由如下：如下： （1 1）在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有）在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5 5种明显种明显的等级，分别为相同、影响稍强、影响强、影响明显强、影的等级，分别为相同、影响稍强、影响强、影响明显强、影响绝对的强。响绝对的强。 （2 2）心理学家认为，进行成对比较的因素太多，将超出人）心理学家认为，进行成对比较的因素太多，将超出人的判断能力。最多大致在的判断能力。最

9、多大致在 范围。如以范围。如以9 9个为限，用个为限，用1 19 9尺度表示它们之间的差别正合适尺度表示它们之间的差别正合适 iCjCOija1,2,91,1/2,1/972 1-91-9尺度的含义尺度的含义尺度尺度含义含义1 1 与与 的影响相同的影响相同3 3 比比 的影响稍强的影响稍强5 5 比比 的影响强的影响强7 7 比比 的影响明显的强的影响明显的强9 9 比比 的影响绝对的强的影响绝对的强2 2，4 4，6 6，8 8 与与 的影响之比在上述两个相邻等级的影响之比在上述两个相邻等级之间之间1 1，1/21/2，1/9 1/9 与与 的影响之比为上面的互反数的影响之比为上面的互反数

10、iCjCiCiCiCiCiCiCjCjCjCjCjCjC2 2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵3 3、问题的提出、问题的提出 （.2）中）中 表示景色表示景色 与费用与费用 对选择旅游对选择旅游地这个目标地这个目标 的重要性之比为的重要性之比为1 1：2 2 ； 表示景色表示景色与居住条件与居住条件 之比为之比为4 4：1 1； 表示费用表示费用 与居住条件与居住条件 之比为之比为7 7：1 1。可以看出此人在选择旅游地时，费用因素最。可以看出此人在选择旅游地时，费用因素最重，景色次之，居住条件再次。重，景色次之，居住条件再次。 问题问题1 1. .怎样由成对比较阵确定诸因素

11、怎样由成对比较阵确定诸因素 对上层因对上层因素素 的权重呢？的权重呢？134aO1C212a2C3C3C1C237a12,.,nC CCo2C2 2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵 由给出的成对比较阵由给出的成对比较阵 可以发现，既然可以发现，既然 与与 之比为之比为1:21:2， 与与 之比为之比为4:14:1，那么，那么 与与 之比应为之比应为8:1,8:1,而不而不是是7:17:1，才能说明成对比较是一致的。但是，才能说明成对比较是一致的。但是， 个要素要作个要素要作 次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了。次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了。 问题问题2 2. . 怎样确定这种不一致

12、的容许范围？怎样确定这种不一致的容许范围？ 为了解决上面两个问题，为了解决上面两个问题，我们先考察成对比较完全一致的我们先考察成对比较完全一致的情况情况 n1C2C2C3C3C1CA(1)2n n 2 2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵 设想把一块单位重量的大石头设想把一块单位重量的大石头 砸成砸成 块小石头块小石头 如果精确地称出它们的重量为如果精确地称出它们的重量为 ，在作成对比较时，在作成对比较时令令 ，那么得到，那么得到O12, ,.,nC CC1,.,nww/ijijaww111122221212nnnnnnwwwwwwwwwwwwAwwwwww (8.2.3) 2 2 构造成对比

13、较矩阵构造成对比较矩阵 这些比较显然是一致的，这些比较显然是一致的， 块小石头对大石头的权重（即块小石头对大石头的权重（即在大石头中的重量比）可用向量在大石头中的重量比）可用向量 表示，表示，且且 . . 显然，显然， 的各个列向量与的各个列向量与 仅相差一个比例仅相差一个比例因子。因子。 一般地，如果一个正互反阵一般地，如果一个正互反阵 满足满足 （8.2.4）nw12(,.,)Tnww ww11niiw, , ,1,2,.,ijjkikaaai j knAA2 2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵则则 称为称为一致性矩阵一致性矩阵，简称，简称一致阵一致阵。A 容易证明阶一致阵容易证明阶一致

14、阵 有下列性质。有下列性质。 1. 1. 的秩为的秩为1 1， 的惟一非零特征根为的惟一非零特征根为 ； 2. 2. 的任一列向量都是对应于特征根的任一列向量都是对应于特征根 的特征向量。的特征向量。 如果得到的成对比较阵是一致阵，像（如果得到的成对比较阵是一致阵，像（.3）式的）式的 自自然应取对应于特征根然应取对应于特征根 的，归一化的特征向量（即分量之的，归一化的特征向量（即分量之和为和为1 1）表示诸因素）表示诸因素 ，对上层因素，对上层因素 的权重，的权重，这个向量称为这个向量称为权向量权向量。AnnOAn12,.,nC CC2 2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵A

15、AA 如果成对比较阵如果成对比较阵 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，不是一致阵，但在不一致的容许范围内，则用最大特征根（记作则用最大特征根（记作 ）对应于的特征向量（归一化后）作）对应于的特征向量（归一化后）作为权向量为权向量 。 直观地看，因为矩阵直观地看，因为矩阵 的特征根和特征向量连续地依赖于的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当矩阵的元素，所以当 离一致性的要求不远时，离一致性的要求不远时， 的特征根的特征根和特征向量与一致阵的相差不大。和特征向量与一致阵的相差不大。ijaAAwA2 2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵 对应于成对比较矩阵的最大特征根对应于成对比较矩阵的

16、最大特征根 的特征向量，的特征向量，经归一化经归一化( (使向量中各元素之和等于使向量中各元素之和等于1)1)后记为后记为 。 的元的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为排序权值，这一过程称为层次单排序层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对一致性检验是指对 确定不一致的允许范围。确定不一致的允许范围。 定理定理1 1 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为 。 3 3 计算权向量并做一致性检验计算权向量并做一致性检

17、验nnAmaxWW 定理定理1 1 阶正互反阵阶正互反阵 的最大特征根的最大特征根 ， 当且仅当且仅当当 时时 为一致阵。为一致阵。 由于由于 连续的依赖于连续的依赖于 ，则，则 比比 大的越多，大的越多， 的不的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用起的判断误差越大。因而可以用数值的大小来衡量数值的大小来衡量 的不一致程度。的不一致程度。nAnnAiiannAA3 3 计算权向量并做一致性检验计

18、算权向量并做一致性检验 定义定义一致性指标一致性指标: : ，有完全的一致性，有完全的一致性 ； 接近于接近于 ，有满意的一致性；，有满意的一致性； 越大，不一致越严重。越大，不一致越严重。 0CI 1nCInCICI03 3 计算权向量并做一致性检验计算权向量并做一致性检验 2.则可得一致性指标则可得一致性指标 ： 12500,CI CICI12500125005005001nCICICIRIn3 3 计算权向量并做一致性检验计算权向量并做一致性检验为衡量为衡量 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 。方法为：。方法为： 1.1.随机构造随机构造500500个成对比较矩阵：个

19、成对比较矩阵：CIRIn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 12500,A AA 一般，当一致性比率一般，当一致性比率 时，认为时，认为 的不一致程的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵矩阵 ，对，对 加以调整。加以调整。ACICRRIAijaCICRRI注：随机一致性指标注：随机一致性指标 定义

20、定义一致性比率一致性比率 ： RI3 3 计算权向量并做一致性检验计算权向量并做一致性检验“选择旅游地选择旅游地”中，准则层对目标的成对比较阵中，准则层对目标的成对比较阵最大特征根：最大特征根： 权向量权向量( (特征向量特征向量) )： 一致性指标：一致性指标： 随机一致性指标随机一致性指标 ( (查表可得查表可得) )，一致性比率为一致性比率为 通过一致性检验。通过一致性检验。 T=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)=0.018/1.12=0.0160.1CR5.0731.12RI3 3 计算权向量并做一致性检验计算权向量并做一致性检验 计算某一层次所有因素对于

21、最高层计算某一层次所有因素对于最高层( (总目标总目标) )相对重要性的权相对重要性的权值，称为值，称为层次总排序层次总排序。 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。4 4 计算组合权向量并做组合一致性检验计算组合权向量并做组合一致性检验 层层 个因素个因素对总目标对总目标 的排序为：的排序为： ， 层层 个因素对上层个因素对上层 中因素中因素 的层次的层次单排序为单排序为 层的层次总排序为：层的层次总排序为：12,mA AAAmB12,ma aanAjA12,1,2,jjnjbbbjmB11 112 12121 2122221122:mmmmnn

22、nmnmBa ba ba bBa ba ba bBa ba ba bZ4 4 计算组合权向量并做组合一致性检验计算组合权向量并做组合一致性检验 即即 层第层第 个因素对总目标的权值为：个因素对总目标的权值为： 1mjijja biB4 4 计算组合权向量并做组合一致性检验计算组合权向量并做组合一致性检验 层次总排序的一致性检验：层次总排序的一致性检验： 设设 层的层的 对上层对上层( ( 层层) )中因素中因素 的层次单排序一致性指标为的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指标为，随机一致性指标为 ，则层次总排序的一致性比率为：则层次总排序的一致性比率为： 当当 时时 ，认为层次总排序通过一致

23、性检验。层，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。元素取值。 到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。最后决策。 B12,nB BBA(1,2,)jAjmjCIjRI11221122mmmmaCIa CIa CICRa RIa RIa RI0.1CR 4 4 计算组合权向量并做组合一致性检验计算组合权向量并做组合一致性检验 在旅游决策问题中我们已经得到了第二层（准则层）对在旅游决策问题中我们已经得到了第二层（准则层）对第一层（目标层）

24、的权向量，记作第一层（目标层）的权向量，记作 用同样的方法构造第用同样的方法构造第3 3层（方案层）对第层（方案层）对第2 2层的每一个准则的层的每一个准则的成对比较阵，不妨设它们为：成对比较阵，不妨设它们为：(2)(2)(2)15(,.,)Twww1234511111112513 4384113111112 ,31,113 ,1 1 ,11233411114418311111 133524BBBBB4 4 计算组合权向量并做组合一致性检验计算组合权向量并做组合一致性检验 这里矩阵这里矩阵 中的元素中的元素 是方案（旅游地）是方案（旅游地） 与与 对于准则对于准则 （景色、费用等）的优越性的比较尺度。（景色、费用等）的优越性的比较尺度。 由第由第3 3层的成对比较阵层的成对比较阵 计算出权向量计算出权向量 ，最大特征，最大特征根根 和一致性指标和一致性指