北师大版九年级上第一章特殊平行四边形导学案

1、3.2特殊平行四边形学习目标、重点、难点【学习目标】1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力 2、能运用综合法证明矩形、菱形、正方形性质定理和判定定理 3、体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法【重点难点】 掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定以及证明方法知识概览图新课导引【生活链接】 如图（1）所示，田村有一口呈四边形的池塘，在它的4个顶点A，B， C，D处均有一棵大核桃树田村准备挖池塘建养鱼池，想使养鱼池面积为原池塘面积的两倍，又想保持核桃树不动并要求扩建后的养鱼池为平行四边形田村能否实现这一设想? 【问题探究】 问题中要求扩建后的养鱼池面积为原池塘面积的两倍，

2、形状成平行四边形，且核桃树不动，即设法使A，B，C，D四点在所作平行四边形的边上，联想平行四边形的性质，将原四边形分成四个三角形，把每一个三角形都补成一平行四边形，即得到满足条件的平行四边形设计出符合题意的图形，如图（2）所示【点拨】分别以AB，BC，CD，DA为对角线作 AEBO， BFCP， CGDO， DHAO，则ABOBAE，BCOCBF，CDODCG，ADODAH，所以SABO+SBCO+SCDO+SADOSEFGH.即S四边形ABCDSEFGH教材精华知识点1 矩形的性质定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质除此之外，它

3、还有自己特有的性质，矩形的相关性质定理如下（1）矩形的四个角都是直角用数学符号语言表示：如图340所示，如果四边形ABCD是矩形，那么AB CD90°（2）矩形的对角线相等用数学符号语言表示：如图34l所示，如果四边形ABCD是矩形，那么ACBD.性质定理的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半用数学符号语言表示：如图3-42所示，在RtABC中，AD是斜边BC的中线，则ADBC这是证明线段相等、线段倍分关系、角相等的重要依据拓展 矩形的两条对角线把矩形分成四个腰长相等的等腰三角形，当两条对角线夹角为60°时，必有一边长等于对角线长的一半，即这四个三角形中有两个是等边三

4、角形知识点2 矩形的判定矩形的判定（1）用定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的判定定理l：有三个角是直角的四边形是矩形（3）矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的判定定理的证明 （1）判定定理1的证明： 已知：如图3-43所示，在四边形ABCD中，ABC90°求证：四边形ABCD是矩形证明：AB90°，A+B180°， ADBC同理，ABDC 四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）（2）判定定理2的证明：已知：如图344所示，四边形ABCD是平行四边形，且ACBD求证：平行四边形ABC

5、D是矩形证明：四边形ABCD是平行四边形，ADCBADCBCD180°DCCD，ACBD，ADBC，ADCBCD（SSS）ADCBCDADCBCD90°平行四边形ABCD为矩形拓展（1）矩形的每种判定方法都有两个条件定义：是平行四边形；有一个角是直角判定定理1：是四边形；有三个角是直角判定定理2：是平行四边形；对角线相等（2）注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理知识点3 菱形的性质定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还有自己特有的性质，菱形的性质定理如下（1）菱形的四条边都相等用数学符号语言表

6、示：如图3-45所示，若四边形ABCD是菱形，则ABBCCDDA（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角 用数学符号语言表示：如图3-46所示，若四边形ABCD是菱形，AC，BD是对角线，则ACBD，且AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADC.拓展（1）菱形的面积等于两条对角线乘积的一半用数学符号语言表示：如图3-47所示，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，则S菱形 AC·BD（2）如果菱形有一个内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形另外，两条对角线把菱形分成了四个全等的含30°角的直角

7、三角形探索交流 我们知道，若菱形的两条对角线长分别为a，b，则菱形的面积Sab.那么在对角线互相垂直的四边形中，面积也为它的对角线长的乘积的一半吗? 为什么?点拔 菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一公式可以推广到对角线互相垂直的四边形中如图3-48所示，在四边形ABCD中，ACBD，则S四边形ABCDAC·BD理由如下：设AC，BD交于点O，ACBD，SABDAO·BD，SBCDOC·BD，S四边形ABCDSABD+SBCDAO·BD+ OC·BDBD（AO+OC）BD·AC即菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一公式可以推广到对角线

8、互相垂直的四边形中知识点4 菱形的判定用定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定定理l：四条边都相等的四边形是菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形拓展（1）菱形的判定定理1，2的起点不同，一个是四边形，一个是平行四边形判定的条件也不同，一个是四条边都相等，一个是对角线互相垂直（2）注意这里的起点和条件不能张冠李戴，否则会得出错误的结论。知识点5 正方形的性质 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形拓展（1）正方形既是有一组邻边相等的矩形又是有一个角是直角的菱形（2）既是矩形又是菱形的四边形是正方形（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是

9、特殊的菱形正方形的性质正方形是平行四边形中性质最丰富的图形，它既是矩形又是菱形正方形的具体性质如下正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角用数学符号语言表示：如图3-49所示，若四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD交于点O，则DABABCBCDCDA90°，ABBCCDDA，OAOBOCOD，ACBD，AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADC拓展（1）正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，根据它的轴对称性可知，在正方形一条对角线上任取一点，它到另外两个顶点的距离相等（2）正方形的两条对角线分正方形成四个大等腰直角三角形和四个小等

10、腰直角三角形，每条对角线长是边长的倍，且对角线分正方形的内角成45°角，这是在证明或计算中常用到的知识点6正方形的判定判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种（1）先证明它是矩形，再证明有一组邻边相等（2）先证明它是菱形，再证明有一个角为直角还可以根据正方形的特殊性进行判定：（1）对角线相等的菱形是正方形（2）对角线互相垂直的矩形是正方形判定正方形的一般顺序（1）先证明是平行四边形（2）再证明有一组邻边相等（或有一个角是直角）（3）最后证明有一个角是直角（或有一组邻边相等）拓展 （1）证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件（2）四边形之间的关系如图3-50

11、所示，对各种四边形的性质和判定可以从边、角、对角线三个方面分类识别（3）正方形、矩形、菱形、平行四边形之间的包含关系如图3-5l所示知识点7 中点四边形定义：顺次连接四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形，如图3-52所示，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，四边形EFGH就是中点四边形那么，任意四边形的中点四边形是什么形状呢?连接AC，易证HGAC，EFAC，所以HG EF，可得四边形EFGH为平行四边形任意四边形的中点四边形都是平行四边形特殊四边形的中点四边形的形状从探索中我们发现中点四边形与原四边形的对角线有密切关系先将原四边形分为：（1）一般四边形；

12、（2）一般平行四边形；（3）矩形；（4）菱形；（5）正方形；（6）一般梯形；（7）等腰梯形；（8）直角梯形为了便于观察、探索，我们列表如下：序号名称图形两条对角线的关系中点四边形1一般四边形不垂直、不相等平行四边形2一般平行四边形不垂直、不相等平行四边形3矩形不垂直但相等菱形4菱形垂直但不相等矩形5正方形垂直且相等正方形6一般梯形不垂直、不相等平行四边形7等腰梯形不垂直但相等菱形8直角梯形不垂直、不相等平行四边形原四边形的对角线与中点四边形形状的关系由上表我们可以发现如下规律：原四边形对角线间的关系中点四边形举例相等菱形矩形、等腰梯形，对角线相等的四边形互相垂直矩形菱形，对角线垂直的四边形互相

13、垂直且相等正方形正方形，对角线相等且垂直的四边形不垂直也不相等平行四边形一般四边形、平行四边形、直角梯形规律·方法小结1类比思想：可以类比平行四边形的性质与判定来学习矩形、菱形、正方形的性质和判定2数形结合思想：是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式，利用解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化为代数问题来解决的方法3转化思想：在本节学习的过程中还要用到转化思想，即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题课堂检测基础知识应用题1、如图3-53所示，在菱形ABCD中，CEAB于E，CFAD于F，求证AEAF2

14、、如图3-54所示，在四边形ABCD中，BEDF，AC和EF互相平分于O，B90°，求证四边形ABCD是矩形3、如图3-55所示，在RtABC中，BAC90°，ADBC于D，BE平分ABC，交AD于F，交AC于E，EGBC于G，连接FG，求证四边形AFGE是菱形4、如图3-56所示，在正方形ABCD中E为BC上一点，EFAC，垂足是F，EGBD，垂足是G，AC5，求EFEG5、如图3-57所示，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PEDC，PFBC，E，F分别是垂足，求证APEF6、如图3-58所示，ABC中，ABAC，AD，AE分别是BAC和BAC的外角的平分线，BEAE

15、（1）求证DAAE；（2）试判断AB与DE是否相等并证明你的结论综合应用题7、如图3-59所示，菱形ABCD的一个内角ABC为120°，平分这个内角的对角线BD长为12 ，求菱形的周长8、如图3-60所示，在矩形ABCD中，AB8，BC6，对角线AC上有一动点P（不与点A和点C重合）设APx，四边形PBCD的面积为y（1）写出y与x的函数关系式，并确定x的取值范围；（2）关于动点P，PBC的面积与PAD的面积之和为常数这种说法是否正确?说明理由 9、如图3-61所示，矩形ABCD中，四个内角平分线交于E，F，G，H求证四边形EFGH为正方形10、如图3-62所示四边形ABCD中，E，

16、F，G，H分别为各边的中点，顺次连接E，F，G，H，把四边形EFGH称为中点四边形，连接AC，BD，容易证明中点四边形EFGH一定是平行四边形（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现： 当四边形ABCD的对角线满足ACBD时，四边形EFGH为菱形；当四边形ABCD的对角线满足_时，四边形EFGH为矩形；当四边形ABCD的对角线满足_时，四边形EFGH为正方形（2）探索AEH，CFG和四边形ABCD的面积之间的等量关系，并加以证明（3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少? 探索与创新题 11、在一片正方形土地上修筑两条笔

17、直的道路，把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修路方案 体验中考 1、如图3- 65所示，在梯形ABCD中ABC和DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF3，则梯形ABCD的周长为 （ ） A9 B105 C1 2 D 152、如图3-66所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交点OAB5，AC6过D点作DEAC，交BC的延长线于点E （1）求BDE的周长； （2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q 求证BPDQ3、数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图3-67(1)所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，

18、AEF=90°，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证AEEF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路，取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF在此基础上，同学们做了进一步的探究(1)小颖提：如图3-67(2)所示，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B，C外)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立你认为小颖的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由(2)小华提出：如图3-67(3)所示，点E是BC的延长线上(除点C外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立，你认为小华的观点正

19、确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 要证明AEAF，我们可以根据条件，先证ACEACF 证明：连接AC，四边形ABCD是菱形， AC平分BADl2 又CEAB，CFAD，AECAFC90°在ACE和ACF中，ACEACFAEAF2、分析 因为EF和AC互相平分于O，易证AOECOF，所以FCEA，34，所以CDAB又因为DFBE，所以ABCD，所以四边形ABCD为平行四边形因为B90°，所以四边形ABCD为矩形证明：EF和AC互相平分，OCOA，OFOE 又12，FOCEOA 34，FCEAABCD 又D

20、FBE，ABCD四边形ABCD是平行四边形 B90°，四边形ABCD是矩形3、分析 要证四边形AFGE是菱形，要先证明它是平行四边形，然后寻找邻边相等的条件，而要证明它是平行四边形，要找出平行四边形的判定条件证明：BAC90°，1290°. 又ADBC， 1C90°2C 又AFE23，AEBC4，34， AFEAEFAFAE BE平分ABC，BAC90°，EGBC， EAEGAFEG ADBC，EGBC，ADEG 又AFEG，四边形AFGF是平行四边形 又AFAE，四边形AFGE是菱形【解题策略】 判定一个四边形是特殊的平行四边形，要逐步证明，

21、先证明它是平行四边形，然后证明它是特殊的平行四边形4、分析 设AC，BD交于点O，易证BGE为等腰直角三角形，四边形EFOG为矩形，GEBG，EFOG，EFEGOB=AC =解：设O为AC，BD的交点， 四边形ABCD为正方形， OBODAC，BOC90°，OBC45° 又EGOB，EFOC， BGE为等腰直角三角形，四边形GEFO为矩形 EGBG，EFOG EFEGOGBGOB5、分析 由题意可得四边形FECF是矩形，连接PC，则EFPC，而P为正方形对角线BD上一点，可证PCPA证明：连接PC，PEDC，PFBC， 四边形PFCE是矩形，PCEF 四边形ABCD是正方形

22、， 12，ADDC在ADP和CDP中，ADPCDPPCPAPAEF【解题策略】正方形一条对角线上任意一点到另一条对角线两端点的距离相等6、分析本题综合考查角平分线的定义，三线合一定理以及矩形的有关性质根据题目已知条件判定四边形DAEB是矩形是解决本题的关键证明：（1）AD平分BAC，AE平分BAF， BADBAC，BAEBAF 又BACBAF180°， BADBAE（BACBAF）×180°90°， 即DAE90°， DAAE解：（2）ABDE现由如下： 在ABC中，ABAC，AD平分BAC， ADBC， ADB90° 在四边形AEB

23、D中，ADB90°，DAE90° BEAE，AEB90°， 四边形AEBD是矩形， ABDE7、分析 若菱形有一个内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形解：因为ABADBCCD，ABDABC×120°60°， 所以ABD为等边三角形， 所以ABBD12， 所以菱形的周长为48 8、解：（1）过动点P作PEBC于点E，在RtABC中，由AB8，BC6，得AC10，PCACAP10x 因为PEBC，ABBC，所以PECABC 所以：所以PE8x 所以SPBCPE·B

24、C24x 又SPCDSPBC24x，所以y48x（0x10） （2）这种说法是正确的 由（1）可得SPADx ，所以SPBCSPAD24【解题策略】 本题是几何与函数的综合题求三角形的面积与自变量x的函数关系式，关键是确定三角形的底边长后，用含x的代数式表示出三角形的高9、分析 先证明是矩形，再证一组邻边相等证明：四边形ABCD是矩形， DABABCBCDCDA90° 又AE，BE，CG，DG分别为四个内角的平分线，1234567845° 9101190° 四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） 7845°， FAFD（等角对等边） 在AB

25、E和DCG中， l645°，ABCD，2545°， ABEDCG（ASA）AEDG FAAEFDDG，即FEFG 四边形EFGH是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）【解题策略】（1）本题图中所有的直角三角形均可证得是等腰直角三角形，并且还是对应全等的这一点从图形中可以看出来，所以我们要认真观察图形，从图形中寻找证题线索（2）不管是平行四边形、矩形、菱形、正方形中的哪一类问题，都要熟记它们的性质和判定，再看题中的条件或结论能符合哪一条另外，还要能从图形中找出符合它们的基本图形10、解：（1）ACBD ACBD且ACBD （2）SAEH + SCFGS四边形ABCD证明过程如

26、下： 因为E，H分别为AB，AD的中点， 所以EHBD且EHBD 所以AEHABD，且相似比为 所以SAEHSABD同理SCFGSCBD 所以SAEH+SCFG（SABD+SCBD）， 即SAEH+SCFGS四边形ABCD （3）由（2）可得SBEF+SDGH（SABC+SADC）S四边形ABCD， SAEH +SCFG +SBEF 十SDGH S四边形ABCD+S四边形ABCDS四边形ABCDS四边形EFGH S四边形ABCD11、解：三种方案如下： （1）如图363（1）所示，连接AC，BD，交于点O （2）如图3-63（2）所示，连接正方形两组对边中点EF，GH，交于点O （3）如图36

27、3（3）所示，取AE：BGCFDH，连接EF，GH，交于点O规律·方法 目前，中考中关于开放和探索性试题的设计主要有三种形式：（1） 条件的开放与探索；（2）结论的开放与探索；（3）解题方法的开放与探索本题是结论开放式问题实际上，两条对角线绕着它们的交点旋转任何一个角度，都是符合要求的体验中考1、分析 本题综合考查角平分线的性质、等腰三角形的判定定理和梯形中位线的性质BP平分ABCEBPPBCEF是梯形ABCD的中位线，EFBC，EPBPBC，EBPEPB，EBEPAE，同理可知FPFCFD梯形的周长（AD+BC）+（AB+CD）2EF+2EP+2PF2EF+2（EP+PF）4EF4

28、×312故选C2、分析 (1)本题主要考查菱形的性质定理由菱形的对角线互相垂直，得ACBD在RtAOB中，AB=5又AC，BD互相垂直平分，而AC=6，OA=3，OB=4,BD=8又ADCE，ACDE，四边形ACED为平行四边形，故DE，BE可求长(2)本题的关键是由四边形ABCD是菱形得到BO=OD，即可证BOPDOQ，BP=DQ解：(1)四边形ABCD是菱形，BEAD 又ACDE， 四边形ACED为平行四边形 则有BE=BCCE=BCAD=10 又ACBD，ACDE，BDDE，且DE=AC=6 在RtBDE中，由勾股定理，得BD2+DE2=BE2，解得BD=8 BDE的周长为BD

29、+DE+BE=8+6+10=24证明：(2)四边形ABCD是菱形， OB=OD BCAD，DBC=BDA，BPO=DQO， BOPDOQ，BP=DQ3、分析 (1)作辅助线是解题的关键，在AB上取点M，使AM=EC，连接ME，则由题意可证AMEECFAE=EF(2)在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，则由题意可证ANEECF，AE=EF解：(1)正确证明如下如图3-68所示，在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME， BM=BE，BME=45°，AME=135°CF是外角平分线，DCF=45°，ECF135°，AME=ECFAEB+BAE=

30、90°，AEB+CEF=90°，BAE=CEF，AMEECF(ASA)，AE=EF (2)正确证明如下：如图3 -69所示，在BA的延长线上取一点N，使AN=CE， 连接NE，BN=BE， N=FCE=45°四边形ABCD是正方形，ADBE，DAE=BEA，NAE=CEF，ANEECF(ASA)，AEEF【解题策略】 熟练掌握有关证明三角形全等的系统知识是解决此类问题的关键把特殊四边形和三角形综合在一起考查空间想象力和逻辑判断能力是中考的常见题型1.2菱 形学习目标、重点、难点【学习目标】1、理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用 2、灵活运用判定方法进行有

31、关的证明和计算【重点难点】1、 掌握并会应用菱形的判定方法2、 菱形判定方法的应用知识概览图定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形性质：四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角判定：(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形新课导引 【问题链接】如右图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分构成一个四边形ABCD，四边形ABCD一定是平行四边形吗?它与一般平行四边形比较有什么区别? 教材精华知识点1 菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形如图437所示拓展

32、 菱形是一种特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”菱形的定义既是它的性质，也是它的差别方法如果已知一个四边形是菱形，那么它一定是平行四边形并且有一组邻边相等；反之，如果已知一个四边形是平行四边形且有一组邻边相等，那么它一定是菱形知识点2 菱形的性质 (1)具有平行四边形的一切性质 (2)菱形的四条边都相等 (3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 (4)菱形是轴对称图形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线 如图438所示，在菱形ABCD中，有如下结论： (1)ABBCCDAD四条边都相等 (2)OAOC，OBOD，ACBD一对角线互相垂直平分 (3)l2，34

33、，56，78每一条对角线平分一组对角拓展 菱形性质的作用是：利用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、两直线平行、两直线垂直及有关计算知识点3 菱形的判定 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)四条边都相等的四边形是菱形 (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形拓展 菱形的判定方法(1)和(3)是以平行四边形为基础的，而判定方法(2)和(4)是以四边形为基础的，这两点一定要区别清楚 菱形的判别方法可用图439表示探究交流 (1)有一组邻边相等的四边形是菱形吗?(2)对角线互相垂直的四边形是菱形吗?点拨 (1)如图440所示，ABAD，显然它不是菱形，所

34、以四边形若只有一组邻边相等，则它不一定是菱形(只有当四边形是平行四边形且有一组邻边相等时，它才是菱形) (2)对角线互相垂直的四边形不一定是菱形 如图441所示，ACBD，但显然四边形ABCD不是菱形只有当四边形对角线互相垂直平分时，它才是菱形知识点4 菱形的面积菱形的面积等于两条对角线长的积的一半如图442所示，菱形ABCD中，ACBD，S菱形ABCDSABDSCBD=BD·OABD·OC BD(OAOC)BD·AC拓展 (1)菱形的面积除了用对角线长求以外，也可以用底乘高来求，这取决于已知条件 (2)凡是对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线长的积的一半

35、课堂检测基础知识应用题1、已知菱形的两条对角线AC，BC的长分别为6 cm和8 cm，则边长为 cm，周长为 cm，面积为 cm2，高为 cm2、如图444所示，在菱形ABCD中，正是AB的中点，且DEAB，ABa (1)求ABC的度数； (2)求对角线AC的长； (3)求菱形ABCD的面积 综合应用题3、如图446所示，在菱形ABCD中，BAD2B试说明ABC是等边三角形 4、如图447所示，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为16 cm和12cm，DEBC于E，求DE的长 探索创新题5、先阅读下面的题目及解题过程，再根据要求回答问题 如图448所示，在ABCD中，BAD的平分线与B

36、C边相交于点E，ABC的平分线与AD边相交于点F，AE与BF相交于O，试说明四边形ABEF是菱形解：四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABEBAF180° AE，BF分别是BAF，ABE的平分线，1=2=BAF，34ABE13(BAFABE)90°AOB90°AEBF 四边形ABEF是菱形(1)上述解题过程是否正确? ； (2)如有错误，在第 步到第 步推理错误，应在第 步后添加如下步骤： 体验中考1、如图449所示，将一个长为10 cm、宽为8 cm的长方形纸片对折两次后，沿所得矩形的两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形(如图450所示)的面积

37、为 ( ) A10 cm2 B20 cm2 C40 cm2 D80 cm2 2、如图451所示，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm，若墙上钉子间距离ABBC16 cm，则l 度学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 如图443所示，由菱形对角线互相垂直平分可知OAAC3 cm，OB BD4 cm，由对角线互相垂直和勾股定理可求出边长AB=5(cm)，由于菱形四条边都相等，所以周长是边长的4倍，即周长为20 cm，由于菱形面积等于两条对角线长的积的一半，所以它的面积为AC·BD×6×824(cm2)，又因为S菱形边长×高24，所以高4

38、.8(cm) 答案：5 20 24 48【解题策略】 此题运用了菱形的性质，应重点掌握，灵活运用2、分析 本题考查菱形的性质，解题的关键是作辅助线，将菱形问题转化为三角形问题进行求解 解：(1)连接BD，交AC于点O 四边形ABCD是菱形，ADAB E是AB的中点，且DEAB， ADBDABD是等边三角形 ABC60°×2120° (2)四边形ABCD是菱形，AC，BD互相垂直平分， OB=BD=AB=a OA= AC2AO (3)S菱形ABCD=AC·BD=··a=【解题策略】 有一内角为60°的菱形，已知边长，便可求出对

39、角线长、高、面积3、分析 要说明ABC是等边三角形，已知中给出了BAD2B，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以B60°，因为菱形的邻边相等，可知ABC是等腰三角形，从而得出ABC是等边三角形 解：因为四边形ABCD是菱形，所以ABBC，BADB=180° 又BAD2B，所以B60° 所以ABC是等边三角形4、分析 已知菱形的两条对角线长，便可由勾股定理求出边长，然后再利用菱形面积的两种计算方法便可求出DE的长 解：在菱形ABCD中， BOBD=6cm，COAC8cm，BOCO 在RtBOC中，BC2=BO2CO26282102，BC10 S菱形ABCDAC

40、83;BDBC·DE， ×16×1210·DE，DE9.6(cm)【解题策略】 菱形两条对角线分菱形为4个直角三角形，勾股定理常用于菱形的有关计算，另外菱形的面积的两种计算方法可以用来列方程，求出未知量5、分析 要说明四边形ABEF是菱形，只得到对角线互相垂直是不够的，还需要说明此四边形是平行四边形，此题主要考查逻辑推理能力 答案：(1)不正确 (2) 4AFB，43，3AFB，AF=AB.同理BEABAFBE，又AFBE，四边形ABEF为平行四边形体验中考1、分析 由题意可知所得菱形两条对角线AC，BD的长分别为4 cm，5 cm，S菱形ABCDAC&

41、#183;BD×4×510(cm2)故选A.【解题策略】 利用轴对称性质解题也是常用的方法2、分析 连接AB，则ABADBD16 cm，因此ABD为等边三角形，所以ADB60°，这就不难求出1120°故填1201.3矩形、正方形学习目标、重点、难点【学习目标】1、理解矩形、正方形的概念2、掌握矩形、正方形的性质【重点难点】 1、矩形、正方形的性质的理解和掌握2、矩形、正方形的性质的综合应用知识概览图定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形矩形性质：(1)矩形的对角线相等；(2)矩形的四个角都是直角；(3)矩形是轴对称图形，有两条对称轴判定：(1)有一个

42、角是直角的平行四边形是矩形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)有三个角是直角的四边形是矩形定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形性质：(1)正方形的四条边相等，对边平行；(2)正方形的四个角都是直角；(3)正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；(4)正方形是轴对称图形，有四条对称轴判定：(1)一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形； (3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；(4)既是矩形，又是菱形的四边形是正方形新课导引【问题链接】 1某居民小区搞绿化，要在一块正方形空地上建造花坛(如图(1)所示)，打算将其四等分，

43、在每一等份中种上不同颜色的花草如果你是园艺师，请你设计出比较美观且符合要求的方案 2小明家买了一张茶几，他想检查一下茶几面是否为长方形(如图(2)所示)如果你手头只有一把卷尺，你能设计一个方案帮他检查一下吗?请说说你的理由教材精华知识点1 矩形的概念有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形如图459所示拓展 矩形也就是我们小学学过的长方形，它是有一个角是直角的平行四边形如图460所示，在ABCD中，若A90°，则ABCD就是一个矩形矩形是一种特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一个角是直角”矩形的定义既是它的性质，也是它的判别方法若已知一个四边形是矩形，则它一定是平行四边形注意：有一个角是

44、直角的四边形不一定是矩形，如图461所示的四边形ABCD中，C90°，但四边形ABCD不是矩形知识点2 矩形的性质 (1)矩形具有平行四边形的一切性质 (2)矩形的对角线相等 (3)矩形的四个角都是直角 (4)矩形是轴对称图形，有两条对称轴 如图462所示，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O，则直线EG，FH是矩形ABCD的两条对称轴，ABCBCDCDADAB90°，OAOBOCODAC=BD拓展 由矩形的对角线相等这一性质可得出直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图462所示，RtABD中

45、，OBOD，AO是它斜边上的中线，AO=AC=BD知识点3 矩形的判别(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)对角线相等的平行四边形是矩形(3)有三个角是直角的四边形是矩形(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形拓展 欲判定一个四边彤是矩形，可直接判定，也可先判定其是平行四边形，再判定其是矩形，至于选择哪种方法，取决于已知条件和对知识灵活掌握的程度矩形的判别可用图463表示知识点4 正方形的概念一组邻边相等的矩形叫做正方形如图464所示拓展 由正方形的定义可知，正方形是有一组邻边相等的矩形，也是有一个角是直角的菱形，也就是说，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以我们在说明一个四边形是

46、正方形时；可以先说明它是矩形，再说明它是菱形，或先说明它是菱形，再说明它是矩形知识点5 正方形的性质 (1)正方形的四条边相等，对边平行 (2)正方形的四个角都是直角 (3)正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 (4)正方形是轴对称图形，有四条对称轴 如图465所示，在正方形ABCD中，有如下结论： (1)ABBCCDDA；ADBC，ABCD四边相等，对边平行 (2)DABABCBCDCDA90°四个角都是直角 (3)ACBD，ACBD，OAOCOBOD，1234567845°对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角拓展 (1)由于正方

47、形是特殊的矩形和菱形，所以它具备矩形和菱形的所有性质(2)正方形的两条对角线将正方形分成8个等腰直角三角形，所以等腰直角三角形的性质在正方形的有关计算中经常用到知识点6 正方形的判别(1)一组邻边相等的矩形是正方形(2)有一个角是直角的菱形是正方形(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形(4)既是矩形，又是菱形的四边形是正方形拓展 几种特殊平行四边形的判别可用图466表示规律方法小结 从一般到特殊的思想：从四边形到平行四边形再到菱形、矩形，再到正方形，就是从一般情况到特殊情况的认识，体现了从一般到特殊的思想四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系如图467所示课堂检测基

48、础知识应用题1、如图469所示，矩形ABCD的两条对角线AC，BD交于O，DEAC，CEBD，CE与DE交于E试说明四边形DOCE是菱形 2、如图470所示，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CEAC，连接AE交CD于F，则E . 3、如图471所示，在矩形ABCD中，AB20 cm，BC4cm，点P从点A开始沿折线ABCD以4 cm/s的速度移动，点Q从C点开始沿CD边以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达D点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD为矩形? 4、如图472所示，ABC中，ACB90°，CD平分ACB，交AB于0，DEAC，DFBC，E，F是垂足，那么四边形DECF是正方形吗?说明理由 综合应用题5、如图474所示，四边形ABCD是正方形，E，F是AD，DC上的点，且EBF45°，则EF与CFAE相等吗?说明理由6、如图475所示，在矩形ABCD中，AB