定积分的概念,曲边图形求面积

1、曲边图形求面积 2xy 例：如何求由与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积呢？ 解解：在：在区间区间0, 1上等间隔的插入上等间隔的插入n-1个点，将他等分成个点，将他等分成n个小区间个小区间(i1 2 n1) nxi1(i1 2 n) 2xy 例：如何求由与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积呢？1,1,.2,1,1,0nnnnn记第i个区间为nini,1(i 1, , n),其区间长度为分别过上述n-1个点做x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形他们的面积记作n21SSS，显然n1iiSS 2xy 例：如何求由与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积呢？2xxf）（记记当当n

2、n很大时，即很大时，即S很小时，在区间很小时，在区间nin1-i，上，可以认为函数上，可以认为函数2xy 的值变化很小，近似的等于的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为近似的等于左端点一个常数，不妨认为近似的等于左端点n1-i处的函数值处的函数值n1-if从图形上看就是用平行于从图形上看就是用平行于x x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边（图轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边（图1.5-41.5-4）这样，在区间这样，在区间nin1-i，上，用小矩形的面积上，用小矩形的面积/iS近似的代替近似的代替iS即在局部小范围内即在局部小范围内“以直代曲以直代曲”则有则有Xn1-iXn1-ifS

3、S2/iin1n1-i2(i 1, 2, , n) n1n1-ixi1-ifS2n1in1in1i/inSn1n1-nn1n1n1022 22231-n21n1 1-n21-nn61n13n21-1n1-131从而得到S的近似值n21-1n1-131nSS分别将区间【0,1】等分成8,16,20.等份（图1.5-5），可以看到，当向于无穷大，即x趋向于0时，n21-1n1-131nS趋向于S，从而有n1-ifn1limlimn1innnSS31n21-1n1-131limn 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形

4、, 其中曲线弧称为曲边. abxyoy=f(x)x=bx=a曲边梯形曲边梯形如何计算其面积？abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积：显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与

5、曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯

6、形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系abxyo)(xfy ? AOxyab1x1ixix)(xfy n 令 . )(lim :1nniiixfS曲曲边边梯梯形形面面积积分割近似代替求和取极限 abxyo)(xfy ? A由直线x=0，x=2，y=0与曲线2xy 所围成曲边图形的面积 通过本节课的学习，我们知道了曲边图形面积的求法，具体步骤为分割，近似代替，求和，取极限。通过本节课的学习，我们还掌握了化归转化，以直代曲，极限逼近的数学思想。1. 定积分的定义(i1, 2, n), niiixf1)( 作和(i1, , n), 在小区间xi1, xi上任取一点i 记xi=xi-xi1 入n-1个分点: ax0 x1x2 xn1xnb; 设函数f(x)在区间a, b上有界. 极限存在, 则称此极限为函数f(x)在区间a, b上的定积分 badxxf)( 即 二、定积分的定义二、定积分的定义在区间a, b内平均插如果当n 时, 上述和式的此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .na-b )( if求求 记记做做 )(li