江苏省高校历届专科类数学竞赛试题

1、江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分）1已知，则 2 3 4若级数收敛，则的取值为 5 二、选择题（每小题3分，共15分）1函数的可去间断点为（ ）a b c d 无可去间断点2设，则当时，是的（ ）a同阶无穷小但不等价 b低阶无穷小 c高阶无穷小 d等价无穷小3设常数，函数在内零点个数为（ ）a b c d 4设对一切满足，若且，则函数在点（ ）a取得极大值 b取得极大值 c某个邻域内单调增加 d某个邻域内单调减少5过点且与直线 垂直的平面方程是（ ）a b c d三、（8分）设，求常数四、（6分）已知函数由方程组 确

2、定，求五、（6分）设在上连续，在内可导，且对于内的一切均有，证明：若在内有两个零点，则介于这两个零点之间，至少有一个零点六、（6分）设，其中是实数，且，试证：七、（6分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线所围成的图形面积最小？八、（6分）当时，的导数与为等价无穷小，求九、（8分）求级数的收敛域及和函数.十、（8分）将展为的幂级数，并指明收敛域十一、（6分）求十二、（8分）设可微函数在上有定义，其反函数为，且满足 ，试求第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1 2设，则 ， 3设在上可导，下列结论中成立的是 a若，则在上有界b若，则在上无界c若

3、，则在上无界4设，则 5设由确定，则 6 7 8 幂级数的收敛域为 二、（8分）设在上连续且单调减少，求证：三、（9分）设（1）若，求证：在上恰有一个零点；（2）若，且在上恰有一个零点，求常数的取值范围四、（8分）求五、（9分）设（1）当为何值时为一圆？ （2）当时，求的圆心和半径六、（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与所包围的立体的体积七、（9分）求八、（9分）设为常数，试判别级数的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？ 第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1是周期为的奇函数，当时，则当时， 2当时，与为等价无穷小，则 ，

4、3 4 5已知，则当时， 6 7以直线为对称轴，且半径的圆柱面方程为 8 二、（10分）设在上连续，在内可导，求证：在内至少有一点，使得三、（10分）设在的边界上任取一点，设到原点的距离为，作垂直于，交的边界于（1）试将的距离表示为的函数；（2）求绕旋转一周的旋转体体积四、（10分）设在上有定义，在处连续，且对一切实数有，求证：在上处处连续五、（10分）设为常数，方程在上恰有一根，求的取值范围六、（10分）已知点与，在平面上求一点，使得最小七、（10分）求幂级数收敛域 第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1 2 3若，则 ， 4设，则 5设，则 6 7为

5、空间的4个定点，与的中点分别为，（为常数），为空间的任一点，则的最小值为 8 已知点为原点，则四面体的外接球面的方程为 二、（8分）设 ，试问：为何值时，在处一阶导数连续，但二阶导数不存在三、（9分）过点作曲线的切线（1）求的方程；（2）求与所围平面图形的面积；（3）求图形的的部分绕轴旋转一周所得立体的体积四、（8分）设在区间上是导数连续的函数，求证：五、（8分）求六、（9分）设圆柱面被柱面截下的（有限）部分为为计算曲面的面积，我们用薄铁片制作的模型，其中为上三点，将沿线段剪开并展成平面图形建立平面直角坐标系，使位于轴正上方，点的坐标为试写出的边界的方程，并求的面积七、（9分）对常数，讨论级数

6、何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？八、（9分）求幂级数的收敛域与和函数第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1 ， 时，2 3设，则 4当 ， 时，在时关于的无穷小的阶数最高5 6点关于平面的对称点的坐标为 7通过点与直线：的平面方程为 8 幂级数的和函数为 ，收敛域为 二、（8分）设数列为，求证数列收敛，并求其极限三、（8分）设函数在上连续，求证：存在，使得四、（8分）将平面上的曲线绕直线旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积五、（8分）求六、（10分）在平面内作一条直线，使该直线经过另一直线与平面的交点，且与垂直，求直线的参数方程七、（8

7、分）判别级数的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）八、（10分）求函数的幂级数展开式，并指出其收敛域第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1 2，则 3设由确定，则 4，则 5 6 7圆的面积为 8 级数的和为 二、（10分）设为正常数，使得对一切正数成立，求常数的最小值三、（10分）设函数在上连续，且，求证：存在，使得四、（12分）求反常积分五、（12分）过原点作曲线的切线，求该切线、曲线与轴所围的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积六、（12分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正方形的中心（1）试求过点的平面与底面所成的二面角的值；（2）试求点到

8、过点的平面的距离七、（12分）已知数列单调增加，满足 ，记，判别级数的敛散性第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1 2 3 4，则 5 6 7点到直线的距离为 8 级数为条件收敛，则常数的取值范围是 二、（每小题6分，共12分）（1）求（2）设在处可导，且，求三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明（1）函数在上有定义（），当时，严格增加，当时，严格减少，存在，且是的极小值（2）函数在上一阶可导（），为极值，且为曲线的拐点四、（10分）求一个次数最低的多项式，使得它在时取极大值，在时取极小值五、（12分）过原点作曲线的切线，设是以曲线、切线及轴为边界的无界区域（1）求切线的方程；